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Satz von Gauß

auch gaußscher Integralsatz, Divergenzsatz

Mit dem Satz von Gauß kannst du ein Gebietsintegral in ein Oberflächenintegral umwandeln und umgekehrt. 



Satz von Gauß

 

Sei ein kompakter Körper im Raum, der die Randfläche hat. Dieser Rand lässt sich als Parameterdarstellung darstellen. Der Oberflächenvektor von soll nach außen, also aus dem Körper heraus, orientiert sein.

Für den Fluss gilt dann: 

Der Satz von Gauß beschreibt also den Zusammenhang zwischen der Divergenz eines Vektorfeldes und dem Fluss des Feldes durch eine geschlossene Fläche. 

Die Vorgabe, dass der Körper kompakt ist, bedeutet einfach, dass er beschränkt und abgeschlossen ist. 

ist die Divergenz des Vektorfeldes

Beispiel: 

Betrachte das Vektorfeld in dem Gebiet  

Wir wollen den Fluss des Feldes durch die Oberfläche von berechnen.

Zunächst stellen wir fest, dass ein Würfel mit der Kantenlänge ist. 

Nach der Definition des Flusses müssten wir also 6 Integrale berechnen, um auf den Gesamtfluss zu kommen und somit auch alle 6 Seiten des Würfels einzelnd parametrisieren. 

Um uns diese Arbeit zu sparen, können wir jetzt den Satz von Gauß anwenden: 

Wir berechnen also das Gebietsintegral  

 

 

 

Mithilfe des Satzes von Gauß mussten wir also nur ein Integral lösen und sind so relativ schnell auf die Lösung 3 gekommen.