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Satz von Stokes

Mit dem Satz von Stokes kannst du ein Oberflächenintegral in ein Kurvenintegral umwandeln und umgekehrt. 



Satz von Stokes

 

Sei eine Fläche im Raum, die sich mit der stetig differenzierbaren Parameterdarstellung beschreiben lässt. ist ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf 

Für die Zirkulation (Arbeit) von entlang der (glatten) Randkurve gilt dann: 

 

Der Satz von Stokes sagt also aus, dass ein Oberflächenintegral über die Rotation eines Vektorfeldes in ein geschlossenes Kurvenintegral über die zur Kurve tangentiale Komponente des Vektorfeldes umgewandelt werden kann. Die Kurve ist dabei der Rand Fläche .

Beispiel: 

Wir wollen die Zirkulation (Arbeit) des Vektorfeldes entlang des räumlichen Dreiecks berechnen. Das Dreieck hat die Eckpunkte , die durch folgende Ortsvektoren gegeben sind:

Um die Zirkulation mithilfe des Kurvenintegrals zu berechnen müsste man diese Integrale lösen: 

 

Bei dieser Methode müssten wir die Parameterdarstellungen für bestimmen und das Ergebnis wäre dann:  

Wegen dem Satz von Stokes reicht es aber aus, zu berechnen, wobei die Dreiecksfläche ist.

mit

Wir berechnen also zunächst die Rotation:

Damit ergibt sich für das Integral:  

und wir haben die gesuchte Lösung.