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Satz von Green

Der ebene Satz von Green

Es sei ein Gebiet und sein Rand sei eine Vereinigung aus endlich vielen, stückweise stetig differenzierbaren, positiv parametrisierten Kurven .

Dann gilt für jedes stetig differenzierbare Vektorfeld mit und :

Man nennt eine Randkurve positiv parametrisiert, wenn sie so parametrisiert ist, dass sie das Gebiet gegen den Uhrzeigersinn umrundet.

Eine sehr nützliche Anwendung des ebenen Satzes von Green ist die folgende Formel, mit der du den Flächeninhalt von mithilfe eines vektoriellen Kurvenintegrals berechnen kannst.

Flächenberechnung mit dem Satz von Green

Wenn ein beschränktes Gebiet im mit einem positiv parametrisierten Rand ist, dann ist der Flächeninhalt von folgendermaßen zu berechnen:

Man nennt diese Formel auch die Leibniz'sche Sektorformel für geschlossene Bereiche.

Beispiel:

Gegeben sei

Die Kurve schließt einen Kreis ein. Wenn wir nun die Fläche dieses Kreises berechnen wollen, benutzen wir die Formel für die Flächenberechnung mit dem Satz von Green:

Wir bekommen also genau das Ergebnis, das wir erwarten.