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Berechnung der Schnittgrößen

In diesem Kapitel widmen wir uns den inneren Kräften, die einem Balken wirken. Mit diesen Kräften können wir Aussagen bezüglich der Materialbelastung des Balkens und somit auch bezüglich seiner Tragfähigkeit treffen.


Um die Kräfte zu berechnen, schneiden wir zunächst den Balken senkrecht zu seiner Achse an der zu untersuchenden Stelle. Die Verteilung der Kräfte vernachlässigen wir hier zunächst (Teilgebiet der Elastostatik) und ersetzen die Kräfte durch ihre resultierende Kraft und ihr resultierendes Moment. Die resultierende Kraft teilen wir in ihre Komponenten, die Normalkraft (normal zur Schnittebene) und die Querkraft (innerhalb der Schnittebene bzw. senkrecht zur Balkenachse) auf. Diese beiden Komponenten und das resultierende Moment bezeichnen wir als Schnittgrößen. Die Schnittgrößen wirken nach dem Wechselwirkungsprinzip (actio = reactio) auch am gegenüber liegende Teilbalken, den wir durch den Schnitt erhalten, in entgegengesetzter Richtung.

hier Beispielskizze [Gross - Abb. 7.3]

Hinweis: Damit sich jeder Teilbalken im Gleichgewicht befindet, müssen die Gleichgewichtsbedingungen an jedem Teil erfüllt sein.

 

 

 

Dementsprechend können wir bei statisch bestimmten Systemen die Schnittgrößen aus den Gleichgewichtsbedingungen ermitteln.

Wir führen ein Koordinatensystem ein (konventionell zeigt die - Achse in Richtung der Längsachse des Balkens, die - Achse nach unten und die - Achse aus der Zeichenebene heraus).

Merke: Wir bezeichnen das Schnittufer des ersten Teilbalkens mit dem Normalenvektor aus der Schnittebene heraus in Richtung der - Achse als positives und das des gegenüber liegende Balkens als negatives Schnittufer.

 

Am positiven Schnittufer haben die Schnittgrößen dem Namen nach eine positive Richtung und einen positiven Drehsinn und am negativen dementsprechend umgekehrt.

Wir können die Vorzeichenkonvention auch mit einer gestrichelten Linie an der unteren Seite des Balkens, der gestrichelten Faser angeben. Dabei erzeugt die Normalkraft eine Zugkraft an der Faser, die positive Querkraft zeigt nach unten senkrecht zur gestrichelten Linie hin und das positive Schnittmoment erzeugt ein Ziehen an der Faser.

Die Schnittgrößen können wir punktweise ermitteln oder mittels der Lösung von Differentialgleichungen. Im folgenden ist das Vorgehen für die punktweise Berechnung dargestellt.

Allgemeines Vorgehen zur Schnittgrößenberechnung

 
  1. Bestimme zunächst nur notwendige äußere Kräfte. Du kannst evtl. durch geeignete Auswahl der Seite, auf der du anfängst, auf die Berechnung einiger Auflagergrößen verzichten, wenn nur nach den Schnittgrößen gefragt ist.

  2. Lege dann die zu berechnenden Abschnitte und das Koordinatensystem fest. Dabei schneidest du den Balken an Stellen vor und hinter einer wirkenden Kraft oder eines wirkenden Moments.

  3. Zeichne das Freikörperbild mit allen äußeren Lasten und den Schnittgrößen und berücksichtige dabei das in 2. festgelegte Koordinatensystem und die Vorzeichenkonvention.

  4. Stelle die Gleichgewichtsbedingungen für den Teilkörper auf (in der Ebene 3 und im Raum 6 Gleichungen).

  5. Löse das Gleichungssystem nach den Schnittgrößen auf.

Zur Berechnung der Schnittgrößen können wir auch Differentialbeziehungen (also die lokalen Gleichgewichtsbedingungen) verwenden, die im folgenden gegeben sind. Dazu müssen wir sie integrieren.

hier Skizze [Kern - Abb. Seite 13 - Berechnung der Schnittgrößen]

Differentialbeziehungen zur Schnittgrößenberechnung an Balken oder geraden Rahmenstücken

 

Als Integrationskonstanten können wir die Randwerte aus folgender Tabelle verwenden (wenn die jeweilige Schnittgröße gleich Null ist).

Lagerart oder Verbindungselement
gelenkiges Lager
Einspannung
freies Ende
Parallelführung
Schiebehülse

Gelenk

Querkraftgelenk

 



Im Folgenden ist das allgemeine Vorgehen zur grafischen Darstellung der Schnittgrößenverläufe dargestellt.

Allgemeines Vorgehen zur grafischen Darstellung der Schnittgrößenverläufe

 
  1. Skizziere den Körper, an dem du die Verläufe einzeichnest und kennzeichne dabei die Abschnitte.

  2. Nachdem du die Gleichgewichtsbedingungen für jeden Abschnitt aufgestellt hast, setze in diese die Randkoordinaten des Abschnitts ein.

  3. Zum Zeichnen einfacher Schnittgrößenverläufe kannst du die typischen Verläufe aus der Tabelle Schnittgrößenverlauf abhängig von der Belastungsart nutzen. Du kannst aber auch die Graphen der Schnittgrößengleichungen zeichnen. Achte dabei darauf, die Vorzeichen anzugeben.

In der nachfolgenden Tabelle sind typische Schnittgrößenverläufe in Abhängigkeit von Belastungsarten dargestellt. Diese können hilfreich sein, wenn wir die Verläufe grafisch darstellen möchten.

Belastungsart hier evtl. grafischen Verlauf hinzufügen hier evtl. grafischen Verlauf hinzufügen
Einzelkraft Sprung Knick    
Moment stetig ohne Knick Sprung    
Streckenlast konstant linear    
Streckenlast linear quadratische Parabel    
lineare Streckenlast quadratische Parabel kubische Parabel    
Sprung in Streckenlast Knick stetig und kein Knick    

 

Hinweis: In vielen Fällen, vor allem bei mehrteiligen Tragwerken, ist es schneller die Schnittreaktion punktweise statt in analytischer Form (mittels DGL) zu berechnen.

 

Die vorigen Ansätze lassen sich auch auf Rahmen und Bögen übertragen. Jedoch können wir den Ansatz der Differentialgleichungen nur auf gerade Rahmenstücke und nicht auf Bögen anwenden.

Hinweis: Im Rahmen sollten auch bei reiner Normalkrafteinwirkung oder reiner Querkrafteinwirkung stets alle Schnittgrößen berechnet werden, da sie auch dann in den entsprechenden Abschnitten als Quer- bzw. Normalkraft auftreten.

 

Dies lässt sich gut am Übergang der Schnittkräfte an einer unbelasteten rechtwinkligen Ecke des Rahmens erkennen. Schneiden wir die Ecke (beidseitig) frei und tragen an ihr die Schnittgrößen ein, wird nach dem Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen klar, dass die Normalkraft in die Querkraft und die Querkraft in die Normalkraft übergehen. Dabei werden die Biegemomente ohne Änderung übertragen. Ist die Ecke nicht rechtwinklig, müssen für den Übergang die Schnittkräfte in ihre entsprechenden Komponenten zerlegt werden. Wollen wir die Schnittgrößen an einem Kreisbogen berechnen, ist es oft hilfreich Polarkoordinaten zu verwenden. Das Vorzeichen legen wir hierbei über die gestrichelte Faser fest. Diese kann man als Unterseite des Tragwerkstücks auffassen. Die -Achse zeigt in Richtung der gestrichelten Faser, die -Achse zur gestrichelten Seite hin.

hier Beispielskizze der freigeschnittenen Ecke [Abb. 7.22b - Gross]