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Beschränktheit von Folgen

Wie der Name schon sagt, geht es beim Thema Beschränktheit um obere und untere Schranken einer Folge. Die Beschränktheit ist gemeinsam mit der Monotonie oft ein sehr nützliches Tool, um Aussagen über die Konvergenz einer Folge zu treffen. Hierbei spielen oft die kleinste obere Schranke (das Supremum) und die größte untere Schranke (das Infimum) eine wichtige Rolle. 

Man nennt eine Folge nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, sodass kein Wert, den die Folge annehmen kann, größer als diese obere Schranke ist. MIt anderen Worten: Alle Werte von sind kleiner oder gleich

Dabei gibt es natürlich oft mehrere Werte, die diese Bedingung erfüllen. Daher interessiert man sich sehr oft nur für die kleinste obere Schranke, das Supremum

Analog nennt man eine Folge nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, sodass kein Wert, den die Folge annehmen kann, kleiner als diese untere Schranke ist. MIt anderen Worten: Alle Werte von sind größer oder gleich

Auch hier existieren natürlich oft mehrere Werte, die die Bedingung erfüllen. Daher interessiert man sich sehr häufig nur für die größte untere Schranke, das Infimum

Beschränktheit von Folgen

 
  • Nach oben beschränkt: Es gibt eine Zahl , sodass
    • Supremum: kleinste obere Schranke
       
  • Nach unten beschränkt: Es gibt eine Zahl , sodass
    • Infimum: größte untere Schranke

Wenn obere und untere Schranke existieren, dann nennt man beschränkt.

Eine Folge ist beschränkt, wenn es eine endliche obere und untere Grenze gibt. 

 

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