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Spannung (Elastostatik)

Wir betrachten einen geraden Stab mit konstanter Querschnittsfläche Wenn wir die Schwerpunkte der Querschnittsflächen miteinander verbinden, erhalten wir die Stabachse. Belasten wir die Enden des Stabs durch die Kräfte mit der Wirkungslinie durch die Stabachse. Durch die äußere Kraft werden innere Kräfte im Stab erzeugt. Zur Ermittlung dieser inneren Kräfte führen wir gedanklich einen Schnitt durch den Stab durch. Die Kräfte, die innerhalb der Schnittfläche wirken, sind Flächenkräfte mit der Einheit N/mm². In der Statik haben wir uns nur mit der resultierenden Kraft der inneren Kräfte befasst. Die Flächenkräfte, die wir als Spannungen bezeichnen, sind Teil der Elastostatik.

Hinweis: Wenn wir den Stab senkrecht (normal) zu seiner Stabachse schneiden, wirken in der Schnittfläche die sogenannten Normalspannungen.

 

Normalspannung

 

 

N: Normalkraft (Resultierende aus den inneren Kräften durch die Schnittfläche )

A: Schnittfläche

Die Normalspannungen können wir wie folgt darstellen.

hier Beispielskizze TM2 Gross Abb. 1.1a-c

Ist die Normalkraft (Zugstab), so ist auch die Normalspannung . Bei einer negativen Normalkraft (Druckstab) ist auch die Normalspannung

Bei einem Schnitt durch den Stab um den Winkel zur Stabachse wirken in der Schnittfläche, die nun durch die Gleichung beschrieben ist, wirken senkrecht zur Schnittfläche die Normalspannung und parallel zur Schnittfläche die Schubspannung

hier Beispielskizze TM2 Gross Abb. 1.1d-e

folgender Text in rot bezogen auf obige Abbildung 1.1d und 1.1e:

Bilden wir das Kräftegleichgewicht am linken Stabteil, erhalten wir die Summe der Horizontal- und Vertikalkräfte:

Nach Einsetzen von ergibt sich für

  und   .

Lösen wir diese Gleichung nach und auf, ergeben sich die Gleichungen für Normalspannung

  und Schubspannung .

Vereinfachen wir die trigonometrischen Ausdrücke durch

ergeben sich mit der Normalspannung   in einem senkrechten Schnitt zur Stabachse schließlich die Gleichungen wie folgt.

Spannungen im geraden Stab mit konstanten Querschnittsfläche abhängig vom Schnittwinkel

 

.

Demnach sind die Spannungen bei gegebenem nur vom Schnittwinkel abhängig. Die Normalspannung erreicht ihr Maximum für und die Schubspannung für   und 

Beachte, dass abhängig von der Nähe des Schnitts zum Kraftangriffspunkt der angreifenden Kraft die Normalspannung nicht gleichmäßig verteilt ist. In unmittelbarer Nähe zum Kraftangriffspunkt treten Spannungsüberhöhungen auf, die jedoch mit zunehmendem Abstand abklingen. (Prinzip von de Saint-Venant)

 

Weist der Stab einen sich stark ändernden Querschnitt auf, z.B. Kerben, treten ebenfalls ungleichförmige Spannungsverteilungen auf. Diese können wir nicht mit den obigen Gleichungen berechnen. Bei kleinen Änderungen des Querschnitts, können wir die Normalspannung näherungsweise berechnen. Dabei sind die Schnittfläche und somit auch die Spannung von der Lage des Schnitts abhängig.Für die Spannung gilt mit einer entlang der Stabachse laufende Koordinate : Hierbei gilt die Annahme, dass die Spannung bei festem Wert für gleichförmig ist.

Ist das System statisch bestimmt, können wir mit den Gleichgewichtsbedingungen die Normalkraft bestimmen. Daraus lässt sich bei gegebenem Querschnitt die Spannung bestimmen.

Im Anwendungsfall ist es oft notwendig, das Bauteil so zu dimensionieren, dass eine vorgegebene maximale Belastung nicht überschritten wird, d. h. gilt. Dabei muss beachtet werden, dass bei manchen Werkstoffen die zulässige Spannung für Druck- und Zugbelastung unterschiedlich sein können.

Hinweis: Ein schlanker auf Druck belasteter Stab kann knicken, bevor seine maximal zulässige Spannung erreicht wird.

 

Für die Dimensionierung gilt dann folgende Gleichung.

Dimensionierung eines Stabs bei maximal zulässiger Spannung

 

 

:  erforderlicher Querschnitt

:      Normalspannung

:   zulässige Spannung