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Einzelstab

Wollen wir die Spannungen und Verformungen in einem Stab bestimmen, stehen uns drei Arten von Gleichungen zur Verfügung: Die statischen Methode (Gleichgewichtsbedingung), das Elastizitätsgesetz und die kinematische Beziehung.

Im Folgenden stellen wir diese Gleichungen für ein Stabelement eines Stabs auf, der durch Linienkräfte in seiner Stabachse und an seinen Enden durch Einzelkräfte belastet wird. Schneiden wir das Stabelement von dem Stab frei, wirken auf dem linken Schnittufer die Kraft und auf dem rechten Schnittufer die Kraft , vgl. dazu folgende Abbildung.

hier Abb. 1.8a+b [Gross TM2]

Stellen wir für das Stabelement das Kräftegleichgewicht

  

in Stabachsenrichtung auf, erhalten wir die Gleichgewichtsbedingung

 

Das Elastizitätsgesetz ist gegeben durch  und die kinematische Beziehung durch 

Setzen wir nun in das Elastizitätsgesetz die kinematische Beziehung und   ein, erhalten wir das Elastizitätsgesetz für den Stab wie folgt:

 

Um die Verschiebung eines Stabquerschnitts zu bestimmen, integrieren wir die Dehnung folgendermaßen.

 

Für die gesamte Verlängerung des Stabs ersetzen wir die obere Integralgrenze durch und setzen anschließen ein wie folgt.

 

Hat der Stab eine konstante Dehnsteifigkeit und wird er nur durch eine Einzelkraft belastet, d.h und und erfährt nur eine gleichförmige Temperaturänderung, ergibt sich die Änderung der Länge wie folgt:

 

Weiterhin gilt für folgende Gleichung.

Längenänderung eines Einzelstabs

 

Unter den Bedingungen, dass der Stab eine konstante Dehnsteifigkeit hat, nur durch eine Einzelkraft belastet wird und keinen Wärmeeinfluss erfährt, gilt für die Längenänderung:

 

  

 

Für den Fall, dass nur ein Wärmeeinfluss auf den Stab wirkt, und keine Längenänderung, gilt für die Längenänderung:

 

Allgemeines Vorgehen zur Ermittlung der Spannungen und Dehnungen in einem statisch bestimmten Stab

 
  1. Bestimme mithilfe der Gleichgewichtsbedingungen aus der äußeren Belastung die Normalkraft
  2. Die Dehnung kannst du mit und dem Elastizitätsgesetz bestimmen.
  3. Integrierst du die Dehnung, erhältst du daraus die Verschiebung und Verlängerung des Stabs

 

Hinweis: Bei statisch bestimmten Einzelstäben verursacht eine Temperaturänderung nur Wärmedehnungen, aber keine Spannungen.

 

 

Fortzusetzen ab Seite 16 Gross TM2. Bei statisch unbestimmten Problemen....