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Aufgabenstellung:

Beweise per vollständiger Induktion, dass für alle gilt:

 

Die n-te Ableitung von

 

ist gegeben durch:

Lösungsweg:

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1. Induktionsanfang:

Bilde die erste Ableitung von mittels Produkt- und Kettenregel:

Zeige das diese Ableitung der gegebenen Aussage für entspricht:

Somit ist die kleinste natürliche Zahl, für die die Aussage gilt.

2. Induktionsvoraussetzung (IV):

Es existiert ein , sodass die -te Ableitung von durch gegeben ist.

3. Induktionsbehauptung und Induktionsschluss:

Induktionsbehauptung:

Induktionsschluss:

Schreibe zunächst die linke Seite der Induktionsbehauptung um:

Nutze, dass gilt , setze die IV ein und berechne anschließend die Ableitung mittels Produkt- und Kettenregel:

Führe nun die rechte Seite der Induktionsbehauptung auf diesen vereinfachten Ausdruck zurück:

Ziehe eine aus dem Vorfaktor raus und verrechne diese mit dem Ausdruck der rechten Klammer:

Somit sind die rechte und linke Seite der Induktionsbehauptung identisch.

Schlusssatz:

Lösung:

Mit Schritt 1, 2 und 3 ist bewiesen, dass die Aussage für alle erfüllt ist.