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Aufgabenstellung:

Beweise per vollständiger Induktion, dass für alle gilt:

 

Die -te Ableitung von

 

ist gegeben durch:

Lösungsweg:

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1. Induktionsanfang:

Bilde mit der Quotientenregel die erste Ableitung von :

Zeige das diese Ableitung der gegebenen Aussage für entspricht:

Somit ist die kleinste natürliche Zahl, für die die Aussage gilt.

2. Induktionsvoraussetzung (IV):

Es existiert ein , sodass die Ableitung von durch gegeben ist.

3. Induktionsbehauptung und Schluss:

Induktionsbehauptung:

Induktionsschluss:

Nutze, dass gilt , setze die IV ein und berechne anschließend die Ableitung:

Dieser Ausdruck entspricht der rechten Seite der Induktionsbehauptung.

Schlusssatz:

Lösung:

Mit Schritt 1, 2 und 3 ist bewiesen, dass die Aussage für alle erfüllt ist.