Rekursive Folgen

Komplexe Zahlen

Induktion mit zwei Variablen

Viele Summen können durch explizite Formeln ersetzt bzw. ausgerechnet werden. Mittels vollständiger Induktion nachzuweisen, dass eine solche Formel immer Gültigkeit hat ist Kern dieses Themas.

Summen

Hier werden verschiedene Aussagen über Ungleichungen untersucht und bewiesen. Das Abschätzen von Ausdrücken spielt bei der Beweisführung eine wichtige Rolle.

Ungleichungen

Ungleichungen umformen

Hier lernst du nachzuweisen, ob ein gegebener Ausdruck immer durch eine bestimmte Zahl teilbar ist.

Teilbarkeit

Die Ableitungen mancher Funktionen weisen ein klares Schema auf und können durch eine entsprechende Formel berechnet werden. Die Richtigkeit solcher Formeln beweisen zu können spielt zum Beispiel beim Finden von Taylorreihen eine Rolle.

Ableitungen

Ableitungsregeln (Übersicht)

Wichtige Funktionen und ihre Ableitung

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>Mit Schritt 1, 2 und 3 ist bewiesen, dass die Aussage für alle $n \in \mathbb{N}$ erfüllt ist.</p>

<p>Mit Schritt 1, 2 und 3 ist bewiesen, dass die Aussage für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n \in \mathbb{N}" style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.757ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2544.6 723" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6494-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-6494-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-6494-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6494-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-6494-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1822.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6494-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> erfüllt ist.</p>

<p>Für $n=1$ gilt:</p>
<p>\begin{aligned} </p>
<p>n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{3} &amp; \overset{n=1}{=} 1^{3}+(1+1)^{3}+(1+2)^{3} \\</p>
<p>&amp; \ =36 \\</p>
<p>&amp; \ =4 \cdot 9 \ \ \checkmark</p>
<p>\end{aligned}</p>


<p>Es existiert ein $n \in \mathbb{N}$, sodass $n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{3}$ durch $9$ teilbar ist.</p>


<p>Es existiert ein <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n \in \mathbb{N}" style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.757ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2544.6 723" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6487-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-6487-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-6487-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6487-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-6487-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1822.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6487-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>, sodass <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{3}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="23.657ex" height="2.451ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.2 10456.4 1083.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6488-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-6488-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-6488-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-6488-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-6488-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-6488-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-6488-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6488-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(600, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6488-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1225.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-6488-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2226, 0)"><use xlink:href="#MJX-6488-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2615, 0)"><use xlink:href="#MJX-6488-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3437.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-6488-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4437.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-6488-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(4937.4, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-6488-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6488-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5952.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-6488-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6952.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-6488-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(7341.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-6488-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8163.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-6488-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(9163.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-6488-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(9663.9, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-6488-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6488-TEX-N-33"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> durch <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="9" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 688" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6489-TEX-N-39" d="M352 287Q304 211 232 211Q154 211 104 270T44 396Q42 412 42 436V444Q42 537 111 606Q171 666 243 666Q245 666 249 666T257 665H261Q273 665 286 663T323 651T370 619T413 560Q456 472 456 334Q456 194 396 97Q361 41 312 10T208 -22Q147 -22 108 7T68 93T121 149Q143 149 158 135T173 96Q173 78 164 65T148 49T135 44L131 43Q131 41 138 37T164 27T206 22H212Q272 22 313 86Q352 142 352 280V287ZM244 248Q292 248 321 297T351 430Q351 508 343 542Q341 552 337 562T323 588T293 615T246 625Q208 625 181 598Q160 576 154 546T147 441Q147 358 152 329T172 282Q197 248 244 248Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6489-TEX-N-39"></use></g></g></g></svg></mjx-container> teilbar ist.</p>


<p>3. Induktionsbehauptung und Induktionsschluss:</p>


<p>Setze $n+1$ in die Aussage ein und forme um bis du die Induktionsvoraussetzung und einen weiteren durch $9$ teilbaren Ausdruck erhälst:</p>


<p>Setze <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n+1" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.254ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2322.4 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6490-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-6490-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-6490-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6490-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(822.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-6490-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1822.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-6490-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container> in die Aussage ein und forme um bis du die Induktionsvoraussetzung und einen weiteren durch <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="9" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 688" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6491-TEX-N-39" d="M352 287Q304 211 232 211Q154 211 104 270T44 396Q42 412 42 436V444Q42 537 111 606Q171 666 243 666Q245 666 249 666T257 665H261Q273 665 286 663T323 651T370 619T413 560Q456 472 456 334Q456 194 396 97Q361 41 312 10T208 -22Q147 -22 108 7T68 93T121 149Q143 149 158 135T173 96Q173 78 164 65T148 49T135 44L131 43Q131 41 138 37T164 27T206 22H212Q272 22 313 86Q352 142 352 280V287ZM244 248Q292 248 321 297T351 430Q351 508 343 542Q341 552 337 562T323 588T293 615T246 625Q208 625 181 598Q160 576 154 546T147 441Q147 358 152 329T172 282Q197 248 244 248Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6491-TEX-N-39"></use></g></g></g></svg></mjx-container> teilbaren Ausdruck erhälst:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>(n+1)^{3}+(n+2)^{3}+(n+3)^{3} &amp;= (n+1)^{3}+(n+2)^{3}+n^{3}+9 n^{2}+27 n+27 \\</p>
<p>&amp;=\color{#DC6955}{n^{3}+(n+1)^{3}} \color{#000}{+} \ 9 n^{2}+27 n+27 \\</p>
<p>&amp;=\color{#DC6955}{n^{3}+(n+1)^{3}} \color{#000}{+} \ \color{#E6C84B}{9} \color{#000}{} \cdot \left(n^{2}+3 n+3\right) \ \ \checkmark</p>
<p>\end{align*}</p>
<p>Im vorderen Teil steht die IV. (rot) und im zweiten Summanden steht $\color{#E6C84B}{9}$ als Faktor. Somit ist der Ausdruck insgesamt durch 9 Teilbar.</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
(n+1)^{3}+(n+2)^{3}+(n+3)^{3} &= (n+1)^{3}+(n+2)^{3}+n^{3}+9 n^{2}+27 n+27 \\
&=\color{#DC6955}{n^{3}+(n+1)^{3}} \color{#000}{+} \ 9 n^{2}+27 n+27 \\
&=\color{#DC6955}{n^{3}+(n+1)^{3}} \color{#000}{+} \ \color{#E6C84B}{9} \color{#000}{} \cdot \left(n^{2}+3 n+3\right) \ \ \checkmark
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transform="translate(2226, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2615, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3437.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4437.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(4937.4, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-33"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mstyle" fill="#000" stroke="#000" transform="translate(5730, 0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-2B"></use></g></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1028, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-39"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1528, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(600, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2753.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3754, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-32"></use><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-37" transform="translate(500, 0)"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4754, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5576.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6576.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-32"></use><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-37" transform="translate(500, 0)"></use></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -1451.1)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(12956.9, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(12956.9, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mstyle" fill="#DC6955" stroke="#DC6955" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(600, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1225.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2226, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2615, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3437.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4437.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(4937.4, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-33"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mstyle" fill="#000" stroke="#000" transform="translate(5730, 0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-2B"></use></g></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mstyle" fill="#E6C84B" stroke="#E6C84B" transform="translate(1028, 0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-39"></use></g></g><g data-mml-node="mstyle" fill="#000" stroke="#000" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(222.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(722.4, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-SO-28"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(458, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(600, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1683.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2684, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3184, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4006.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(5006.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5506.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-SO-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(6686.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(6936.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(7186.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-6492-TEX-I-2713"></use></g></g></g></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>
<p>Im vorderen Teil steht die IV. (rot) und im zweiten Summanden steht <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\color{#E6C84B}{9}" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 688" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6493-TEX-N-39" d="M352 287Q304 211 232 211Q154 211 104 270T44 396Q42 412 42 436V444Q42 537 111 606Q171 666 243 666Q245 666 249 666T257 665H261Q273 665 286 663T323 651T370 619T413 560Q456 472 456 334Q456 194 396 97Q361 41 312 10T208 -22Q147 -22 108 7T68 93T121 149Q143 149 158 135T173 96Q173 78 164 65T148 49T135 44L131 43Q131 41 138 37T164 27T206 22H212Q272 22 313 86Q352 142 352 280V287ZM244 248Q292 248 321 297T351 430Q351 508 343 542Q341 552 337 562T323 588T293 615T246 625Q208 625 181 598Q160 576 154 546T147 441Q147 358 152 329T172 282Q197 248 244 248Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mstyle" fill="#E6C84B" stroke="#E6C84B"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6493-TEX-N-39"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> als Faktor. Somit ist der Ausdruck insgesamt durch 9 Teilbar.</p>


<p>Beweise per vollständiger Induktion für alle $ n \in \mathbb{N} $:</p>
<p></p>
<p>$n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{3}$ ist durch $9$ teilbar.</p>

<p>Beweise per vollständiger Induktion für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" n \in \mathbb{N} " style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.757ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2544.6 723" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6482-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-6482-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-6482-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6482-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-6482-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1822.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6482-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>
<p></p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{3}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="23.657ex" height="2.451ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.2 10456.4 1083.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6483-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-6483-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Teilbarkeit mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Vollständige Induktion - Teilbarkeit | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading">Vollständige Induktion</h2>
<p><strong>1) Induktionsanfang (IA):</strong></p>
<p>Finde eine natürliche Zahl, für welche die Aussage $A(n)$ gilt. Starte bei $A(1)$ und erhöhe ggf. die eingesetzte Zahl, bis die Aussage zutrifft.</p>
<p> </p>
<p><strong>2) Induktionsvoraussetzung (IV):</strong></p>
<p>Schreibe auf: "Es gibt ein $n \in \mathbb{N}$ für das die Aussage $A(n)$ gilt."</p>
<p> </p>
<p><strong>3) Induktionsbehauptung (IB) und Induktionsschluss (IS):</strong></p>
<p>Formuliere $A(n+1)$. Zeige dann durch geschicktes umformen und einsetzen der I.V. dass die Aussage $A(n+1)$ gilt.</p>
<p> </p>
<p><strong>4) Schlusssatz:</strong></p>
<p>Schreibe auf: "Somit gilt die Aussage $A(n)$ nach dem Prinzip der vollständigen Induktion."</p>



<h2 class="content_sub_heading">Vollständige Induktion</h2>
<p><strong>1) Induktionsanfang (IA):</strong></p>
<p>Finde eine natürliche Zahl, für welche die Aussage <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A(n)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.814ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2128 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-176-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-176-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-176-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-176-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-176-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(750,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-176-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1139,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-176-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1739,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-176-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> gilt. Starte bei <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A(1)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.588ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2028 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-177-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-177-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-177-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-177-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-177-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(750,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-177-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1139,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-177-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1639,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-177-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und erhöhe ggf. die eingesetzte Zahl, bis die Aussage zutrifft.</p>
<p> </p>
<p><strong>2) Induktionsvoraussetzung (IV):</strong></p>
<p>Schreibe auf: "Es gibt ein <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n \in \mathbb{N}" style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.757ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2544.6 723" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-178-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-178-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-178-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-178-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-178-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1822.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-178-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> für das die Aussage <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A(n)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.814ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2128 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-179-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 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379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-179-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-179-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(750,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-179-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1139,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-179-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1739,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-179-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> gilt."</p>
<p> </p>
<p><strong>3) Induktionsbehauptung (IB) und Induktionsschluss (IS):</strong></p>
<p>Formuliere <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A(n+1)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.711ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3850.4 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-180-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-180-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-180-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-180-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-180-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-180-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-180-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(750,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-180-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1139,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-180-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1961.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-180-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2961.4,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-180-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3461.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-180-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Zeige dann durch geschicktes umformen und einsetzen der I.V. dass die Aussage <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A(n+1)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.711ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3850.4 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-181-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-181-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-181-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-181-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-181-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-181-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-181-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(750,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-181-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1139,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-181-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1961.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-181-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2961.4,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-181-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3461.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-181-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> gilt.</p>
<p> </p>
<p><strong>4) Schlusssatz:</strong></p>
<p>Schreibe auf: "Somit gilt die Aussage <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A(n)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.814ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2128 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-182-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-182-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-182-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-182-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-182-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(750,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-182-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1139,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-182-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1739,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-182-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> nach dem Prinzip der vollständigen Induktion."</p>



<h2 class="content_sub_heading"><strong>Tipps zum Induktionsschluss:</strong></h2>
<p> </p>
<p><strong>Summen</strong></p>
<p>Spalte immer zunächst das letzte Summenglied $n+1$ ab, um anschließend die Induktionsvoraussetzung einsetzen zu können.</p>
<p> </p>
<p><strong>Teilbarkeit</strong></p>
<p>Nutze aus, dass jedes Produkt immer als ganzes teilbar ist, solange ein Faktor teilbar ist.</p>
<p>$\quad 6 \cdot\left(n^{2}+2 \cdot n+1\right)$ ist durch 6 teilbar!</p>
<p> </p>
<p>Nutze ggf. die Methode der konstruktiven Null (blau), um deine I.V. zu erhalten. Es kann Helfen erst die I.V. aufzuschreiben und dann Terme zu ergänzen bis die Gleichung wieder stimmt.</p>
<p>$\quad n^{2}+1=n^{2}+1 \color{#60AFD2}{+2 n-2 n} \color{#000000} =(n+1)^{2}-2 n$</p>
<p> </p>
<p><strong>Ableitungen</strong></p>
<p>Falls $f(x)$ von $n$ abhängig ist (z. B. $f_{n}(x)=x^{n}$):</p>
<p>Schreibe zunächst $f^{n+1}(x)=\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(\frac{d}{d x} f(x)\right)$, leite ab und setze anschließend die Induktionsvoraussetzung ein.</p>
<p> </p>
<p>Falls $f(x)$ <strong>nicht</strong> von $n$ abhängig ist (z. B. $f(x)=x e^{-x}$):</p>
<p>Schreibe $f^{n+1}(x)=\frac{d}{d x}\left(f^{n}(x)\right)$, setze sofort die Induktionsvoraussetzung ein und leite anschließend ab.</p>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: