Sandwichkriterium

auch Vergleichskriterium, Schachtelungsprinzip, Einschnürungssatz, Dreifolgensatz

Das Sandwichkriterium ist ein nützliches Tool, um die Konvergenz von bestimmten Folgen zu zeigen. Das funktioniert, indem man die zu untersuchende Folge mit zwei Folgen vergleicht, die den gleichen Grenzwert haben und die die zu betrachtende Folge von oben und unten "einquetschen". Deine Folge hat dann den gleichen Grenzwert, wie die beiden einschließenden Folgen. Jetzt verstehst du auch, woher der eher ungewöhnliche Name "Sandwichkriterium" kommt. 

Definition

Sandwichkriterium

Wenn für drei Folgen mit gilt:

Dann folgt für den Grenzwert der Folge :

Für die konkrete Anwendung des Sandwichkriteriums werden also zwei Folgen und gewählt, die den gleichen Grenzwert besitzen. Achte bei der Wahl darauf, dass eine Folge kleiner () und eine größer () ist als deine zu untersuchende Folge .

Sind diese Bedingungen erfüllt, so gilt:

Vorgehen

Sandwichkriterium

  1. Schätze die gegebene Folge jeweils einmal nach oben und einmal nach unten ab. Ziel ist es hier zwei Folgen zu finden, deren Grenzwerte leichter zu bestimmen sind, als der von . 
    • Für Abschätzungen nach oben: Zähler vergrößern, Nenner verkleinern.
    • Für Abschätzungen nach unten: Zähler verkleinern, Nenner vergrößern.

  2. Berechne den Grenzwert deiner beiden gefundenen Folgen und zeige, dass er identisch ist. Wenn dies gilt, so entsprechen die Grenzwerte auch dem gesuchten Grenzwert .

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