Bildungsunterstützer

Sandwich-Kriterium

Theorie:

Der Sandwichsatz

Der Sandwichsatz ist ein mächtiges Werkzeug, um den Grenzwert einer Folge zu bestimmen. Dieser Satz ist insbesondere hilfreich bei Folgen mit einer komplexen Bildungsvorschrift, bei denen Grenzwertsätze nicht angewandt werden können und bei denen die Epsilon-Definiton der Konvergenz schwer nachgewiesen werden kann. In der Literatur gibt es für den Satz zahlreiche weitere Bezeichnungen, wie Sandwich-Theorem, Sandwich Lemma, Einschnürungssatz oder Einschließungsregel.

Aus der Funktionsweise erklärt sich der Name des Satzes von selbst: Die Folgen und schließen wie die Brötchen eines Sandwiches den Inhalt, also die Folge , ein. Wenn sich nun und immer näher kommen und gegen einen Wert konvergieren, dann muss auch die eingeschlossene Folge gegen diesen Wert konvergieren.

Der Sandwichsatz

 
Definition
Sandwichsatz
Sei eine beliebige Folge. Wenn es zwei Folgen und gibt, so dass für alle und für ein , dann konvergiert auch gegen .
 
Hinweis
Im Sandwichsatz muss die Ungleichung nicht notwendigerweise für alle erfüllt sein. Es genügt, wenn sie bis auf endlich viele Folgenglieder gilt, d.h. wenn es ein gibt, so dass für alle gilt.

Aufgaben:

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