Sandwich-Kriterium

Theorie:

Sandwichkriterium

auch Vergleichskriterium, Schachtelungsprinzip, Einschnürungssatz, Dreifolgensatz

Das Sandwichkriterium ist ein nützliches Tool, um die Konvergenz von bestimmten Folgen zu zeigen. Das funktioniert, indem man die zu untersuchende Folge mit zwei Folgen vergleicht, die den gleichen Grenzwert haben und die die zu betrachtende Folge von oben und unten "einquetschen". Deine Folge hat dann den gleichen Grenzwert, wie die beiden einschließenden Folgen. Jetzt verstehst du auch, woher der eher ungewöhnliche Name "Sandwichkriterium" kommt.

Definition

Sandwichkriterium

Wenn für drei Folgen mit gilt:

Dann folgt für den Grenzwert der Folge :

Für die konkrete Anwendung des Sandwichkriteriums werden also zwei Folgen und gewählt, die den gleichen Grenzwert besitzen. Achte bei der Wahl darauf, dass eine Folge kleiner () und eine größer () ist als deine zu untersuchende Folge .

Sind diese Bedingungen erfüllt, so gilt:

Vorgehen

Sandwichkriterium

Schätze die gegebene Folge jeweils einmal nach oben und einmal nach unten ab. Ziel ist es hier zwei Folgen zu finden, deren Grenzwerte leichter zu bestimmen sind, als der von .
- Für Abschätzungen nach oben: Zähler vergrößern, Nenner verkleinern.
- Für Abschätzungen nach unten: Zähler verkleinern, Nenner vergrößern.
Berechne den Grenzwert deiner beiden gefundenen Folgen und zeige, dass er identisch ist. Wenn dies gilt, so entsprechen die Grenzwerte auch dem gesuchten Grenzwert .

Der Sandwichsatz

Der Sandwichsatz ist ein mächtiges Werkzeug, um den Grenzwert einer Folge zu bestimmen. Dieser Satz ist insbesondere hilfreich bei Folgen mit einer komplexen Bildungsvorschrift, bei denen Grenzwertsätze nicht angewandt werden können und bei denen die Epsilon-Definiton der Konvergenz schwer nachgewiesen werden kann. In der Literatur gibt es für den Satz zahlreiche weitere Bezeichnungen, wie Sandwich-Theorem, Sandwich Lemma, Einschnürungssatz oder Einschließungsregel.

Motivation

Die Aussage des Satzes ist recht einfach. Wir wollen die Konvergenz einer Folge untersuchen. Dies können wir allerdings nicht immer direkt machen, da sie eine komplizierte Bauart haben kann. Oft ist es jedoch möglich zwei einfacher strukturierte Folgen und zu finden, die von unten bzw. oben einschließen, d. h. es gilt für alle . Konvergieren diese beiden Folgen nun gegen denselben Grenzwert , so besagt der Sandwichsatz, dass auch unsere eingeschlossene Folge gegen konvergiert.

Aus der Funktionsweise erklärt sich der Name des Satzes von selbst: Die Folgen und schließen wie die Brötchen eines Sandwiches den Inhalt, also die Folge , ein. Wenn sich nun und immer näher kommen und gegen einen Wert konvergieren, dann muss auch die eingeschlossene Folge gegen diesen Wert konvergieren.