Zeige, dass die rekursiv definierte Folge
Jede beschränkte, monotone Folge konvergiert.
Versuche zunächst den Grenzwert zu berechnen, unter der Annahme, dass dieser existiert. Weise anschließend die Monotonie und Beschränktheit nach.
Grenzwert berechnen:
Als Grenzwert kommt also nur
Folge ist nach oben beschränkt (Nachweis):
Zeige mittels vollständiger Induktion:
Induktionsanfang:
Induktionsvoraussetzung:
Die Behauptung
Induktionsschluss:
Somit gilt die Aussage nach dem Prinzip der vollständigen Induktion.
Die Folge ist nach oben durch
Zeige, dass die Folge monoton wächst:
Beweise:
Somit ist die Folge monoton wachsend.
Leite ein abschließendes Ergebnis aus deinen Berechnungen ab:
Die Folge ist monoton wachsend, beschränkt und konvergiert mit dem Grenzwert:
Die Folge ist monoton wachsend, beschränkt und konvergiert mit dem Grenzwert: