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Aufgabenstellung:

Weise nach, dass die rekursiv definierte Folge konvergiert. Berechne anschließend ihren Grenzwert

Lösungsweg:

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Berechne den Grenzwert, unter der Annahme das er existiert:

Als Grenzwert kommt also entweder oder in Frage.

Weise die Beschränktheit der Folge nach.

Zeige für alle mittels vollständiger Induktion:

Induktionsanfang:

Induktionsvoraussetzung:

Die Behauptung gilt für ein

Induktionsschluss:

Zeige zunächst :

Zeige nun :

Somit gilt die Aussage nach dem Prinzip der vollständigen Induktion.

Die Folge ist durch beschränkt.

Zeige, dass die Folge monoton steigt:

Zeige bzw.

Nutze die oben nachgewiesene Beschränktheit um abzuschätzen.

Die Folge ist monoton steigend.

Leite ein abschließendes Ergebnis aus deinen Berechnungen ab:

Lösung:

Die Folge ist monoton steigend, beschränkt und konvergiert mit dem Grenzwert: