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Aufgabenstellung:

Berechne den Grenzwert und weise nach, dass die rekursiv definierte Folge konvergiert.

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten
Schritt der Lösung anzuzeigen.

Berechne den Grenzwert, unter der Annahme das er existiert:

Damit die Gleichung erfüllt ist muss gelten. Nutze diese Information um weiter umzuformen:

Als Grenzwert kommt also in Frage.

Weise die Beschränktheit der Folge nach.

Zeige für alle mittels vollständiger Induktion:

Induktionsanfang:

Induktionsvoraussetzung:

Die Behauptung gelte für ein

Induktionsschluss:

Somit gilt die Aussage nach dem Prinzip der vollständigen Induktion.

Die Folge ist nach unten durch beschränkt.

Zeige, dass die Folge monoton fällt:

Zeige bzw.

Nutze die oben nachgewiesene Beschränktheit um abzuschätzen.

Die Folge ist monoton fallend.

Leite ein abschließendes Ergebnis aus deinen Berechnungen ab:

Lösung:

Die Folge ist monoton fallend, beschränkt und konvergiert mit dem Grenzwert: