Hier lernst du wie du Flächen zwischen verschiedenen Graphen oder Graphen und Koordinatenachsen bestimmst. Insbesondere das aufstellen eines passenden Integrals und die Wahl der Integrationsgrenzen sind von Bedeutung.

Flächenberechnung

Fläche zwischen zwei Funktionen

Fläche zwischen Funktion und x-Achse

Eine Fläche kann ins Unendliche reichen und dennoch einen endlichen Flächeninhalt besitzen. In diesem Fall spricht man von einem uneigentlichen Integral. Hier lernst du diese Integrale zu berechnen.

Uneigentliche Integrale

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

Der Wert des Integrals beträgt:
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty} e^{-x} d x = 1
\end{align*}

Der Wert des Integrals beträgt:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\int_{0}^{\infty} e^{-x} d x = 1
\end{align*}" style="vertical-align: -2.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.329ex" height="5.232ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1406.3 6333.3 2312.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1540-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-1540-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 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\begin{align*}
\int_{0}^{\infty} e^{-x} d x=\left[-e^{-x}\right]_{0}^{\infty}
\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\int_{0}^{\infty} e^{-x} d x=\left[-e^{-x}\right]_{0}^{\infty}
\end{align*}" style="vertical-align: -2.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="21.885ex" height="5.232ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1406.3 9673 2312.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1537-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-1537-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 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810V850H214V-349H22V-309H174V810H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 5.7)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msubsup"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-1537-TEX-LO-222B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1013.4, 1088.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1537-TEX-N-221E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(556, -896.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1537-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1937.2, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1537-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(466, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-1537-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-1537-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3407.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1537-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3927.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1537-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4777.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-1537-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msubsup" transform="translate(5833.3, 0)"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-1537-TEX-SO-5B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(417, 0)"><use xlink:href="#MJX-1537-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1195, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1537-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(466, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-1537-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-1537-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2665.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1537-TEX-SO-5D"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(3082.6, 576.6) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1537-TEX-N-221E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(3082.6, -384.9) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1537-TEX-N-30"></use></g></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Ersetze die obere Grenze des Integrals durch $a$ und bilde den Grenzwert:

Ersetze die obere Grenze des Integrals durch <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a" style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1538-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1538-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und bilde den Grenzwert:

\begin{align*}
\left[-e^{-x}\right]_{0}^{\infty} &amp;= \lim _{a \rightarrow \infty}\left[-e^{-x}\right]_{0}^{a} \\
&amp;=\lim _{a \rightarrow \infty}-e^{-a}-\left(-e^{-0}\right) \\
&amp;=\lim _{a \rightarrow \infty}-e^{-a}+1 \\
&amp;= 0 + 1 \\
&amp;= 1
\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\left[-e^{-x}\right]_{0}^{\infty} &= \lim _{a \rightarrow \infty}\left[-e^{-x}\right]_{0}^{a} \\
&=\lim _{a \rightarrow \infty}-e^{-a}-\left(-e^{-0}\right) \\
&=\lim _{a \rightarrow \infty}-e^{-a}+1 \\
&= 0 + 1 \\
&= 1
\end{align*}" style="vertical-align: -8.395ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="30.956ex" height="17.922ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -4210.8 13682.5 7921.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1539-TEX-SO-5B" d="M202 -349V850H394V810H242V-309H394V-349H202Z"></path><path id="MJX-1539-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-1539-TEX-I-1D452" d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z"></path><path id="MJX-1539-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 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transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1539-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Bestimme den Wert des folgenden uneigentlichen Integrals, falls er existiert:
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty} e^{-x} d x
\end{align*}

Bestimme den Wert des folgenden uneigentlichen Integrals, falls er existiert:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\int_{0}^{\infty} e^{-x} d x
\end{align*}" style="vertical-align: -2.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.18ex" height="5.232ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1406.3 4499.8 2312.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1536-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-1536-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Uneigentliche Integrale mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Anwendung der Integralrechnung - Uneigentliche Integrale | Aufgabe mit

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: