Wann eine Potenzreihe konvergiert bzw. divergiert wird über den Konvergenzradius der Reihe angegeben. Wie du diesen Radius bestimmst und zusammen mit dem Ausdruck $(x-x_{0})^{n}$ interpretierst erfährst du in diesem Kapitel.

Konvergenzradius bestimmen

Wann eine Potenzreihe konvergiert bzw. divergiert wird über den Konvergenzradius der Reihe angegeben. Wie du diesen Radius bestimmst und zusammen mit dem Ausdruck <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(x-x_{0})^{n}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.1ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4022.3 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-35-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-35-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-35-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389, 0)"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1183.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2183.4, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3159, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> interpretierst erfährst du in diesem Kapitel.

Tipps zur Grenzwertberechnung

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

<p>Die Potenzreihe hat einen Konvergenzradius von $R=\frac{1}{7}$</p>

<p>Die Potenzreihe hat einen Konvergenzradius von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="R=\frac{1}{7}" style="vertical-align: -0.816ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.53ex" height="2.773ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 2886.1 1225.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2901-TEX-I-1D445" d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z"></path><path id="MJX-2901-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2901-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-2901-TEX-N-37" d="M55 458Q56 460 72 567L88 674Q88 676 108 676H128V672Q128 662 143 655T195 646T364 644H485V605L417 512Q408 500 387 472T360 435T339 403T319 367T305 330T292 284T284 230T278 162T275 80Q275 66 275 52T274 28V19Q270 2 255 -10T221 -22Q210 -22 200 -19T179 0T168 40Q168 198 265 368Q285 400 349 489L395 552H302Q128 552 119 546Q113 543 108 522T98 479L95 458V455H55V458Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2901-TEX-I-1D445"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1036.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2901-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2092.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-2901-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-2901-TEX-N-37"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Nutze das Quotientenkriterium zum Bestimmen vom Konvergenzradius. Berechne $R=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|$:</p>


<p>Nutze das Quotientenkriterium zum Bestimmen vom Konvergenzradius. Berechne <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="R=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|" style="vertical-align: -1.113ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.702ex" height="3.358ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -992.1 7824.4 1484.1" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2897-TEX-I-1D445" d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 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transform="translate(5370, 0)"><g data-mml-node="mo"><svg width="278" height="1484.1" y="-492.1" x="27.5" viewBox="0 -183.8 278 1484.1"><use xlink:href="#MJX-2897-TEX-S4-2223" transform="scale(1, 2.228)"></use></svg></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(333, 0)"><g data-mml-node="msub" transform="translate(539.5, 451.6) scale(0.707)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2897-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2897-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2897-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2897-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600, 0)"><use xlink:href="#MJX-2897-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1378, 0)"><use xlink:href="#MJX-2897-TEX-N-31"></use></g></g></g><rect width="1548.4" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2121.4, 0)"><svg width="278" height="1484.1" y="-492.1" x="27.5" viewBox="0 -183.8 278 1484.1"><use xlink:href="#MJX-2897-TEX-S4-2223" transform="scale(1, 2.228)"></use></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>R&amp;=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|\\</p>
<p>&amp;=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{(-7)^{n}}{n+5} \cdot \frac{(n+1)+5}{(-7)^{n+1}}\right|</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{R} </p>
<p>&amp;=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{1}{n+5} \cdot \frac{n+6}{-7}\right| \\</p>
<p>&amp;=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+5} \cdot \frac{n+6}{7}\right) \\</p>
<p>&amp;=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1+\frac{6}{n}}{1+\frac{5}{n}}\right) \\</p>
<p>&amp;=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{7} \cdot \frac{1+\frac{6}{n}}{1+\frac{5}{n}}\right) \\</p>
<p>&amp;=\frac{1+0}{7+0} \\</p>
<p>&amp;=\frac{1}{7}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Interpretiere: Wann konvergiert/divergiert die Reihe?</p>


<p>Für $|x|&amp;lt;R=\frac{1}{7}$ konvergiert die Reihe</p>

<p>Für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="|x|<R=\frac{1}{7}" style="vertical-align: -0.816ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.099ex" height="2.773ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 5347.7 1225.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2900-TEX-N-7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-2900-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-2900-TEX-N-3C" d="M694 -11T694 -19T688 -33T678 -40Q671 -40 524 29T234 166L90 235Q83 240 83 250Q83 261 91 266Q664 540 678 540Q681 540 687 534T694 519T687 505Q686 504 417 376L151 250L417 124Q686 -4 687 -5Q694 -11 694 -19Z"></path><path id="MJX-2900-TEX-I-1D445" d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z"></path><path id="MJX-2900-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2900-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-2900-TEX-N-37" d="M55 458Q56 460 72 567L88 674Q88 676 108 676H128V672Q128 662 143 655T195 646T364 644H485V605L417 512Q408 500 387 472T360 435T339 403T319 367T305 330T292 284T284 230T278 162T275 80Q275 66 275 52T274 28V19Q270 2 255 -10T221 -22Q210 -22 200 -19T179 0T168 40Q168 198 265 368Q285 400 349 489L395 552H302Q128 552 119 546Q113 543 108 522T98 479L95 458V455H55V458Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2900-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(278, 0)"><use xlink:href="#MJX-2900-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(850, 0)"><use xlink:href="#MJX-2900-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1405.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2900-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2461.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2900-TEX-I-1D445"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3498.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-2900-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(4554.1, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-2900-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-2900-TEX-N-37"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> konvergiert die Reihe</p>

<p>Bestimme den Konvergenzradius $R$ der folgenden Potenzreihe und interpretiere dein Ergebnis.</p>
<p>- \begin{align*}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-7)^{n}}{n+5} x^{n}\end{align*}</p>

<p>Bestimme den Konvergenzradius <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="R" style="vertical-align: -0.048ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.593ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 704" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2895-TEX-I-1D445" d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2895-TEX-I-1D445"></use></g></g></g></svg></mjx-container> der folgenden Potenzreihe und interpretiere dein Ergebnis.</p>
<p>- <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-7)^{n}}{n+5} x^{n}\end{align*}" style="vertical-align: -2.611ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.731ex" height="6.354ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1654.2 5627.2 2808.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2896-TEX-LO-2211" d="M60 948Q63 950 665 950H1267L1325 815Q1384 677 1388 669H1348L1341 683Q1320 724 1285 761Q1235 809 1174 838T1033 881T882 898T699 902H574H543H251L259 891Q722 258 724 252Q725 250 724 246Q721 243 460 -56L196 -356Q196 -357 407 -357Q459 -357 548 -357T676 -358Q812 -358 896 -353T1063 -332T1204 -283T1307 -196Q1328 -170 1348 -124H1388Q1388 -125 1381 -145T1356 -210T1325 -294L1267 -449L666 -450Q64 -450 61 -448Q55 -446 55 -439Q55 -437 57 -433L590 177Q590 178 557 222T452 366T322 544L56 909L55 924Q55 945 60 948Z"></path><path id="MJX-2896-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Konvergenzradius bestimmen mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Potenzreihen - Konvergenzradius bestimmen | Aufgabe mit Lösung

<p>Falls ein Bruch $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ von der Form $\left(\frac{\infty}{\infty}\right)$ oder $\left(\frac{0}{0}\right)$ vorliegt:</p>
<ul>
<li>Finde die größte Potenz von $n$ im Nenner und klammere diese in Zähler und Nenner aus. Kürze anschließend und schaue wo Nullfolgen entstanden sind.</li>
</ul>
<p>Falls $a_{n}-b_{n}$ von der Form $(\infty-\infty)$:</p>
<ul>
<li>Nutze zunächst die Umformung $a-b=\frac{(a-b) \cdot(a+b)}{a+b}=\frac{a^{2} b^{2}}{a+b}$ um die Form $\frac{\infty}{\infty}$ zu erhalten. Nun kannst du obigen Tipp verwenden.</li>
</ul>
<p>Falls $a_{n}$ von der Form $\left(1^{\infty}\right)$:</p>
<ul>
<li>Bringe den Ausdruck auf die Form $\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}$ und nutze anschließend, dass gilt $\lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^{x}$</li>
</ul>



<h2 class="content_sub_heading">Potenzreihe</h2>
<p>\[P(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}\]</p>



<h2 class="content_sub_heading">Potenzreihe</h2>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="P(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}" style="vertical-align: -2.819ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="23.008ex" height="6.354ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1562.5 10169.7 2808.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-792-TEX-I-1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 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<h2 class="content_sub_heading">Konvergenzradius bestimmen</h2>
<ol>
<li>Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ mit einem geeigneten Kriterium. Dabei gilt: Das Wurzelkriterium funktioniert immer. Das Quotientenkriterium allerdings nur, wenn tatsächlich ein Grenzwert exisitert.
<ul>
<li><strong>Wurzelkriterium </strong>(für Potenzreihen): <br />\begin{align*} R=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}}\end{align*}<br /><em>Hier muss berücksichtigt werden, dass man $\frac{1}{0}:=+\infty$ und $\frac{1}{\infty}:=0$ definiert.<br /><br /></em></li>
<li><strong>Quotientenkriterium</strong>:<br />\begin{align*}R=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|\end{align*}<br /><br /></li>
</ul>
</li>
<li>Interpretiere dein Ergebnis:<br />
<ul>
<li>
<p>Für $\left|x-x_{0}\right|&amp;lt;R$ konvergiert die Potenzreihe.</p>
</li>
<li>
<p>Für $\left|x-x_{0}\right|&amp;gt;R$ divergiert die Potenzreihe.</p>
</li>
<li>
<p>Für $\left|x-x_{0}\right|=R$ ist keine allgemeine Aussage möglich.</p>
</li>
</ul>
</li>
</ol>
<p style="padding-left: 40px;"><em>Für die Untersuchung des letzten Falls, kannst du ggf. noch die Randpunkte $x=x_{0} \pm R$ einzeln untersuchen (siehe Kapitel Reihen untersuchen).</em></p>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: