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Aufgabenstellung:

Gegeben sei die Funktion mit:

 

  1. Bestimme den Definitionsbereich den Stetigkeitsbereich und den Differenzierbarkeitsbereich der Funktion
  2. Untersuche, ob an der Stelle stetig ergänzbar ist.
  3. Falls in stetig ergänzbar ist.
    Ist die stetig ergänzte Funktion in differenzierbar?

Lösungsweg:

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a)  Bestimmung der Bereiche

Definitionsbereich

Stetigkeitsbereich

da ausschließlich aus jeweils stetigen Funktionen zusammengesetzt ist. (Verkettung stetiger Funktionen sind stetig)

Differenzierbarkeitsbereich

Untersuche den Betrag:

Es gilt also für :

b) Stetige Ergänzbarkeit an der Stelle

ist an der Stelle stetig ergänzbar, falls

Fall :

Fall :

Also lässt sich für durch stetig ergänzen, d.h.:

Damit ist für stetig:

c) Ist für differenzierbar?

ist für differenzierbar, falls: existiert.

Der Fall :

Der Fall

Da ist in differenzierbar

Lösung:

  2. ist an der Stelle stetig ergänzbar
  3. ist in differenzierbar