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Aufgabenstellung:

Approximiere die Funktion durch ein Taylorpolynom 3. Ordnung um den Entwicklungspunkt . Schätze anschließend den Fehler mit dem Restglied von Lagrange im Bereich ab.

Lösungsweg:

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Stelle die Formel für das gesuchte Taylorpolynom auf:

Bestimme die ersten 4 Ableitungen von :

*Die 4. Ableitung brauchst du später für die Fehlerabschätzung.*

Für die erste gilt:

Für die zweite gilt:

Für die dritte gilt:

Für die vierte gilt:

Setze den Entwicklungspunkt in die Funktion und die ersten drei Ableitungen ein:

Setze alles in das zu errechnenden Taylorpolynom ein und fasse zusammen:

Schätze den Fehler mit dem Restglied von Lagrange ab:

Stelle auf:

Mach dir klar, welche Abschätzungen für und gelten:

Da zwischen und gilt und somit auch .

Bilde den Betrag und schätze ab :

Lösung:

Es gilt: