Anfangswertprobleme :)

Newton Verfahren

Fourierreihe

Regel von L`Hospital

Anwenden von L´Hospital

Taylorpolynome

Taylorpolynom

Taylorpolynom mit Fehlerabschätzung

Fehlerabschätzung mit Lagrange

Die Taylorreihe ist ein Taylorpolynom mit unendlich vielen Gliedern und somit eine exakte Darstellung einer Funktion ausgedrückt als Reihe.

Taylorreihe

Vollständige Induktion

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

\[\begin{align*}
T_{2,0}(x) &amp;= 1-x+x^{2} \\\\
R_{2,0}(t) &amp;= \frac{1}{3!}\left(3(t-1)+(t-1)^{3}\right) \cdot e^{\left( \frac{t^{2}}{2} -t\right)}  \cdot x^{3}
\end{align*}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
T_{2,0}(x) &= 1-x+x^{2} \\\\
R_{2,0}(t) &= \frac{1}{3!}\left(3(t-1)+(t-1)^{3}\right) \cdot e^{\left( \frac{t^{2}}{2} -t\right)}  \cdot x^{3}
\end{align*}" style="vertical-align: -4.934ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="44.582ex" height="10.999ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2680.8 19705.4 4861.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-21-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path><path id="MJX-21-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 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xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2531.7,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2920.7,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1333.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2055.8,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3056,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3850.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(4850.4,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,459.7)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2920.7,0)"></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-1472.8)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(36,0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D445" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D445"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(792,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(500,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1745.7,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2134.7,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2495.7,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2920.7,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(359,676)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,-686)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(500,0)"><use data-c="21" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-21"></use></g></g><rect width="978" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(2551.6,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-21-TEX-SO-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(458,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(958,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1347,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1930.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2930.4,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3430.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4041.7,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5041.9,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5430.9,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6014.1,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(7014.3,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(7514.3,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(422,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8339.9,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-21-TEX-SO-29"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(11571.7,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(12071.9,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D452" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(499,569.8) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-21-TEX-LO-28"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(597,0)"><g data-mml-node="msup" transform="translate(220,394) scale(0.707)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(394,363)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(377,-345) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-32"></use></g><rect width="867.5" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1704.5,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2482.5,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2843.5,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-21-TEX-LO-29"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(15275.9,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(15776.1,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-33"></use></g></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Stelle die Formel für das gesuchte Taylorpolynom auf:

\[\begin{align*}
T_{2,0}(x)&amp;=f(0)+\frac{f^{\prime}(0)}{1 !}(x-0)+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !}(x-0)^{2} \\
&amp;= f(0)+f^{\prime}(0)\cdot x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2} \cdot x^{2}
\end{align*}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
T_{2,0}(x)&=f(0)+\frac{f^{\prime}(0)}{1 !}(x-0)+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !}(x-0)^{2} \\
&= f(0)+f^{\prime}(0)\cdot x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2} \cdot x^{2}
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Bestimme die ersten 3 Ableitungen von $f(x)$:
*Die 3. Ableitung brauchst du später für die Fehlerabschätzung.*

Bestimme die ersten 3 Ableitungen von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(x)" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.299ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1900 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-11-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-11-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-11-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-11-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-11-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-11-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-11-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:
*Die 3. Ableitung brauchst du später für die Fehlerabschätzung.*

\[\begin{align*}
f^{\prime}(x)&amp;= (x-1) \cdot e ^{\left(\frac{x^{2}}{2} - x \right)}
\end{align*}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
f^{\prime}(x)&= (x-1) \cdot e ^{\left(\frac{x^{2}}{2} - x \right)}
\end{align*}" style="vertical-align: -1.281ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="23.972ex" height="3.694ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1066.3 10595.4 1632.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-12-TEX-V-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 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f^{\prime \prime \prime}(x)&= \left(2(x-1)+(x-1)+(x-1)^{3}\right) \cdot e ^{\left(\frac{x^{2}}{2} - x \right)} \\
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data-mml-node="mfrac" transform="translate(597,0)"><g data-mml-node="msup" transform="translate(220,394) scale(0.707)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(605,363)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(451.6,-345) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-32"></use></g><rect width="1016.7" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1853.7,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2631.7,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3203.7,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-14-TEX-LO-29"></use></g></g></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Setze den Entwicklungspunkt in die Funktion und die ersten zwei Ableitungen ein:

\[\begin{align*}
f(0) &amp;= 1
\end{align*}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
f(0) &= 1
\end{align*}" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.284ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3661.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-15-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-15-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-15-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-15-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-15-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-15-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-15-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(939,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1439,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1828,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1333.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

\[\begin{align*}
f^{\prime}(0) &amp;= -1
\end{align*}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
f^{\prime}(0) &= -1
\end{align*}" style="vertical-align: -0.632ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.792ex" height="2.396ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -779.5 4770 1059" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-16-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-16-TEX-V-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path><path id="MJX-16-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-16-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-16-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-16-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-16-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-16-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-29.5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(636,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2032" xlink:href="#MJX-16-TEX-V-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(880.5,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1269.5,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1769.5,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2158.5,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1333.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2111.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

\[\begin{align*}
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\end{align*}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
f^{\prime \prime}(0) &= 2
\end{align*}" style="vertical-align: -0.632ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.472ex" height="2.396ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -779.5 4186.5 1059" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-17-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-17-TEX-V-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path><path id="MJX-17-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-17-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-17-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-17-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-17-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-29.5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-17-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(636,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2032" xlink:href="#MJX-17-TEX-V-2032"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(275,0)"><use data-c="2032" xlink:href="#MJX-17-TEX-V-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1074.9,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-17-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1463.9,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-17-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1963.9,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-17-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2352.9,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-17-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1333.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-17-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Setze alles in das aufgestellte Taylorpolynom ein:

\[\begin{align*}
T_{2,0}(x) &amp;= f(0)+f^{\prime}(0)\cdot x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2} \cdot x^{2} \\
&amp;= 1-x+x^{2}
\end{align*}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
T_{2,0}(x) &= f(0)+f^{\prime}(0)\cdot x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2} \cdot x^{2} \\
&= 1-x+x^{2}
\end{align*}" style="vertical-align: -3.494ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="37.339ex" height="8.12ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2044.5 16503.9 3588.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-18-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path><path id="MJX-18-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-18-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-18-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path 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transform="translate(3056,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-18-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3850.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-18-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(4850.4,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-18-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-18-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Stelle $R_{2, 0}$ auf (Restglied/Fehler):

Stelle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="R_{2, 0}" style="vertical-align: -0.65ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.95ex" height="2.195ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1745.7 970.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-19-TEX-I-1D445" d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z"></path><path id="MJX-19-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-19-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-19-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D445" xlink:href="#MJX-19-TEX-I-1D445"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(792,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-19-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(500,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-19-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-19-TEX-N-30"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> auf (Restglied/Fehler):

\[\begin{align*}
R_{2,0}(t)&amp;= \frac{f^{\prime \prime \prime}(t)}{3!}\cdot (x-a)^3 \\
&amp;= \frac{1}{3!} \left(3(t-1)+(t-1)^{3}\right) \cdot e^{\left( \frac{t^{2}}{2} -t\right)}  \cdot x^{3}
\end{align*}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
R_{2,0}(t)&= \frac{f^{\prime \prime \prime}(t)}{3!}\cdot (x-a)^3 \\
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Approximiere die Funktion $f(x)$ durch ein quadratisches Taylorpolynom um den Entwicklungspunkt $a=0$. Gib anschließend das zugehörige Restglied an.
\[\begin{align*} f(x)=e^{ \left(\frac{x^{2}}{2} -x\right)} \end{align*}\]

Approximiere die Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(x)" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.299ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1900 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-7-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-7-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-7-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> durch ein quadratisches Taylorpolynom um den Entwicklungspunkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a=0" style="vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.345ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2362.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-8-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-8-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(806.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1862.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Gib anschließend das zugehörige Restglied an.
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*} f(x)=e^{ \left(\frac{x^{2}}{2} -x\right)} \end{align*}" style="vertical-align: -1.281ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.638ex" height="3.694ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1066.3 6470.1 1632.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Taylorpolynom mit Fehlerabschätzung mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Anwendung der Differentialrechnung - Taylorpolynom mit Fehlerabschätzu

<h2 class="content_sub_heading">Ableitungsregeln im Überblick</h2>
Konstantenregel:
$$f(x)=c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=0$$
 
Faktorregel:
$$f(x)=c \cdot g(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \, \Rightarrow f^{\prime}(x)=c \cdot g^{\prime}(x)$$
 
Potenzregel:
$$f(x)=x^{n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=n x^{n-1}$$
 
Summenregel:
$$f(x)=u(x)+v(x) \Rightarrow f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x)$$
 
Produktregel:
$$f(x)=u(x) \cdot v(x) \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v^{\prime}(x)$$
 
Kettenregel:
$$f(x)=g(h(x)) \ \ \ \ \ \ \ \, \Rightarrow f^{\prime}(x)=g^{\prime}(h(x)) \cdot h^{\prime}(x)$$
 
Quotientenregel:
$$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v^{\prime}(x)}{(v(x))^{2}}$$

<h2 class="content_sub_heading">Taylorpolynom</h2>
<ol>
<li>Stelle das gesuchte Taylorpolynom auf, indem du die einzelnen Sumanden ausschreibst. Dabei bezeichnet $n$ die Ordnung und $a$ den Entwicklungspunkt. \begin{align*}\quad T_{a, n}(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a) \cdot(x-a)^{k}}{k !}\end{align*}Ob du die Schreibweise $\ T_{a, n}(x)$ oder $\ T_{n, a}(x)$ benutzt spielt keine Rolle.</li>
<li>Bestimme die ersten $n$ Ableitungen von $f$.</li>
<li>Berechne den Wert der Ableitungen an der Stelle $a$.</li>
<li>Setze alles in das aufgestellte Taylorpolynom ein und vereinfache den Ausdruck.</li>
</ol>

<h2 class="content_sub_heading">Fehlerabschätzung mit Lagrange</h2>
<ol>
<li>Bestimme die $(n+1)$-te Ableitung von $f(x)$. </li>
<li>Stelle das Restglied von Lagrange auf: \begin{aligned} \quad R_{n, a}(x)=\frac{f^{(n+1)}(t)}{(n+1) !}(x-a)^{n+1} \end{aligned} Oft wird anstelle von $t$ auch $\xi$ verwendet. </li>
<li>Bestimme die maximalen Bereiche für $x$ und $t$ mit $|x-a| \leq c$ und $|t-a| \leq c$ (Abschätzung für $c$ folgt meist aus der Aufgabenstellung). </li>
<li>Bilde $\left|R_{n, a}(x)\right|$ und schätze, durch Einsetzen der maximalen Werte von $x$ und $t$, nach oben ab. </li>
<li>Vereinfache, falls nötig, oder rechne einen konkreten Wert aus.</li>
</ol>

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: