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Aufgabenstellung:

Es sei gegeben

Entscheide, ob die Funktion für den Definitionsbereich ein Minimum/Maximum annimmt.

Lösungsweg:

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:

Prüfe Voraussetzungen für Satz von Weierstraß:

ist stetig als Komposition stetiger Funktionen, aber ist nicht kompakt, da nicht beschränkt.

Satz von Weierstraß ist nicht anwendbar. Untersuche ohne den Satz von Weierstraß.

Untersuche Existenz eines Minimums:

Im Intervall gilt:

Betrachte den Rand gegen :

Der Grenzwert ist . Damit ist das Infimum der Menge von , welcher allerdings nie tatsächlich von der Menge angenommen wird. Somit existiert kein Minimum.

Untersuche Existenz eines Maximums:

Da stetig ist, nach rechts ein Infimum besitzt und das Intervall nach links beschränkt ist, muss ein Maximum haben.

Mathematischer Beweis:

Wegen der Konvergenz gegen 0 für gibt es zu jedem ein so dass

D.h. die Werte oberhalb der Schranke sind beliebig klein. Insbesondere gilt dies für Auf die Einschränkung von auf das Interval kann man nun den Satz von Weierstraß anwenden, und somit existiert ein mit

Wegen der Wahl von ist:

also ist insgesamt:

Damit ist also ein Maximum.

Lösung:

Kein Minimum, allerdings ein Maximum.