Supremum und Infimum bestimmen und beweisen

by Mathe für Nicht-Freaks

(Analysis 1)

Allgemeine Vorgehensweise

 
Vorgehen

Um das Supremum oder Infimum einer Menge zu finden, kannst du folgendermaßen vorgehen:

  1. Menge veranschaulichen: Überlege dir, wie die Menge aussieht. Hierzu kannst du Skizzen anfertigen oder ggf. auch Computerprogramme verwenden.

  2. Hypothese über Supremum und Infimum anstellen: Ist die Menge nach oben beschränkt? Wenn ja, dann überlege dir, welche Zahl das Supremum sein kann. Wenn nein, dann besitzt die Menge kein Supremum. Analog schaue, ob die Menge nach unten beschränkt ist oder nicht, und überlege dir gegebenenfalls, welche Zahl das Infimum sein könnte.

  3. Beweise für Supremum und Infimum finden: Überlege dir auf einem Schmierblatt den Beweis dafür, dass die gefundene Zahl ein Supremum oder ein Infimum ist. Die notwendige Beweisstruktur findest du im nächsten Abschnitt.

  4. Beweis ins Reine schreiben: Zum Schluss musst du den Beweis aufschreiben. Dabei kannst du dich an der im nächsten Abschnitt folgenden Beweisstruktur für Supremum und Infimum orientieren.

Allgemeine Beweisstrukturen

Die hier aufgelisteten Beweisstrukturen sollten dir helfen, deine Beweise richtig und sauber aufzuschreiben. Sie zeigen dir aber auch, worauf du in der Beweisfindung achten musst.

Supremum: Beweisstruktur

Um zu zeigen, dass eine Zahl Supremum einer Menge ist, kannst du folgendermaßen vorgehen:

  1. Beweise, dass eine obere Schranke von ist: Zeige hierzu, dass für alle ist.

  2. Beweise, dass keine Zahl obere Schranke von ist: Nimm hierzu ein beliebiges und zeige, dass es ein gibt mit .

Infimum: Beweisstruktur

Beweise, dass Infimum einer Menge ist, können so aussehen:

  1. Beweise, dass eine untere Schranke von ist: Zeige hierzu, dass für alle ist.

  2. Beweise, dass keine Zahl untere Schranke von ist: Nimm hierzu ein beliebiges und zeige, dass es ein gibt mit .

Maximum: Beweisstruktur

Hier kann man direkt der Definition des Maximums folgen:

  1. Beweise, dass eine obere Schranke von ist: Zeige hierzu, dass für alle ist.

  2. Zeige, dass ist.

Minimum: Beweisstruktur

Um zu zeigen, dass Minimum der Menge ist, kann man analog zum Maximum vorgehen:

  1. Beweise, dass eine untere Schranke von ist: Zeige hierzu, dass für alle ist.

  2. Zeige, dass ist.