Supremum, Infimum, Maximum, Minimum

Doch auch dann kann es zu Problemen kommen. Nehmen wir zum Beispiel die Menge Diese Menge ist nach oben beschränkt, weil man für jede Zahl größer gleich wählen kann.

Hat die Menge ein Maximum? Leider nein. Für jedes ist eine weitere Zahl aus mit der Eigenschaft (die Zahl liegt in der Mitte zwischen und ). So kann aber kein maximales Element besitzen, weil es zu jeder Zahl aus mindestens eine größere Zahl aus gibt.
Bei der Betrachtung unendlicher Mengen büßt das Maximum also eine Eigenschaft ein. Nämlich, dass es Element der Menge ist:

• Für jedes ist .

Es bleibt also erst einmal nur die Eigenschaft, dass die gesuchte Zahl größer als jedes Element der Menge ist. Eine solche Zahl wird „obere Schranke“ der Menge genannt:

Analog ist eine untere Schranke eine Zahl, die eine Menge nach unten beschränkt:

Wenn wir unsere neue Definition betrachten, stellen wir zwei Dinge fest. Erstens: Obere und untere Schranken müssen keine Elemente der betrachteten Menge sein, weil dies nicht von der Definition gefordert wird. Und zweitens: Die Definition sagt nichts über eine etwaige Eindeutigkeit der Schranken aus.

Betrachten wir zum Beispiel die Menge . Hier fällt uns sicherlich zuerst als obere Schranke ein. Jedoch ist ebenfalls eine obere Schranke und erfüllt die Forderungen der Definition. Abgesehen davon, dass weit oberhalb unserer Beispielmenge liegt, sind beide Zahlen keine Elemente der Menge. Dieses Beispiel zeigt, dass es mehr als eine obere Schranke geben kann. Es wird aber noch beunruhigender: Eine beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen hat immer unendlich viele obere Schranken. Wenn eine obere Schranke von ist, so ist auch jede größere Zahl, also für alle , eine obere Schranke.

Bei genauerer Betrachtung sind die Begriffe von oberer bzw. unterer Schranke nicht sehr treffend. Sie leisten viel weniger als ein Maximumbegriff. Das Maximum ist nämlich immer eindeutig: Es kann höchstens eins davon geben. Mit der oberen Schranke verhält es sich nicht so. Deshalb wollen wir versuchen, den Begriff zu verbessern.

Betrachten wir als Beispiel wieder die Menge . Welche Zahl könnte man als Verallgemeinerung des Maximums für wählen? Intuitiv fällt uns die Zahl 1 ein. Doch warum sollte man diese Zahl wählen?

Wir wollen einen allgemein gültigen Begriff, der auch dann funktioniert, wenn die Menge nicht mehr so anschaulich ist. Deswegen kommen zunächst alle oberen Schranken von also alle Zahlen größer gleich in Frage. Nun sollte unsere Zahl optimal in dem Sinne sein, dass sie möglichst klein ist. So kommen wir auf die Zahl Sie ist nicht nur eine obere Schranke, sie ist auch die kleinste obere Schranke von . Wir haben ja bereits gesehen, dass es für jedes eine andere Zahl mit gibt (nämlich ). Damit kann keine Zahl kleiner eine obere Schranke von sein. ist also das, was wir als „unmittelbar darüberliegende“ Zahl von ansehen.

Die kleinste obere Schranke wird durch folgende zwei Eigenschaften charakterisiert:

• ist obere Schranke von : Für jedes ist .
• Jede obere Schranke von ist mindestens so groß wie : Gilt für alle , so gilt auch . Anders formuliert: Für jedes gibt es mindestens eine Zahl mit .

Das können wir als Definition des Supremums verwenden, da es offenbar die kleinste obere Schranke charakterisiert. Das Infimum wird analog als die größte untere Schranke definiert.

Definition des Supremums und Infimums

Die Definition des Supremums und des Infimums lautet:

Die Epsilon-Definition

In der zweiten Eigenschaft der Definition des Supremums als Teil einer Menge steht:

Hier ist es in einigen Lehrbüchern auch üblich, mit zu setzen. Dadurch erhält man folgende Aussage, die man auch als zweite Eigenschaft des Supremums nutzen kann:

Bei Beweisen dürfen wir frei entscheiden, welche der beiden Aussagen wir heranziehen wollen. Da beide Aussagen zueinander äquivalent sind, ist es egal, welche davon bewiesen wird.

Maximum und Minimum

Für das Maximum und Minimum haben wir bekanntlich folgende Definitionen:

Das Maximum ist stets Supremum der Menge. Sei nämlich Maximum einer Menge . Zum einen ist per Definition obere Schranke von . Zum anderen gibt es für alle mit ein mit , nämlich . Umgekehrt ist nicht jedes Supremum Maximum, wie wir oben an der Menge gesehen haben. Die Zahl 1 ist zwar Supremum dieser Menge, aber kein Maximum. Analoges gilt für Minimum und Infimum.

Schreibweisen

Das Dualitätsprinzip

Wir haben bereits in den Definitionen und in der obigen Erklärung gesehen, dass die Begriffe des Supremums und des Infimums analog zueinander betrachtet werden können. Der Grund liegt darin, dass bei Umkehrung der Ordnung auf den reellen Zahlen das Supremum zum Infimum wird und umgekehrt. Wir können nämlich eine neue Ordnung neu dadurch einführen, dass neu genau dann ist, wenn ist (wir spiegeln hier die reelle Zahlengerade an der Null). Bei dieser neuen Ordnung verhält sich das ursprüngliche Supremum wie ein Infimum und umgekehrt. Beide Ordnungen neu und haben dieselben ordnungstheoretischen Eigenschaften. Sie sind daher isomorph zueinander. Deshalb müssen auch die Eigenschaften von Supremum und Infimum bei umgekehrter Ordnung dieselben sein. Alles was wir in Zukunft für Suprema sagen, gilt in ähnlicher Weise auch für Infima und umgekehrt. Das Gleiche gilt folglich auch für Maximum und Minimum.

Beispiel - Dualitätsprinzip

Für alle ist . Analog ist für alle die Ungleichung inf erfüllt.

Existenz und Eindeutigkeit

Wir haben bisher ganz selbstverständlich von dem Supremum gesprochen. Das klingt so, als ob es immer eines gäbe und als ob es immer eindeutig wäre. Der Verdacht liegt auch nahe: Wozu sollten wir uns die Mühe machen, den Begriff „Supremum“überhaupt zu definieren, wenn er das Grund problem des Maximums (nämlich oftmals gar nicht zu existieren) gar nicht lösen könnte? Was wäre der Vorteil des Supremums gegenüber dem Begriff der „oberen Schranke“, wenn auch das Supremum nicht eindeutig wäre? Intuitiv ist irgendwie klar, dass es unter allen oberen Schranken genau eine kleinste geben muss, aber bis jetzt haben wir das noch nicht streng mathematisch bewiesen.

Im folgenden Satz werden wir die Eindeutigkeit des Infimums und Supremums beweisen, also dass eine Menge höchstens ein Supremum und Infimum besitzen kann:

Mit dem Vollständigkeitsaxiom kann auch die Existenz des Supremums einer nach oben beschränkten nicht-leeren Teilmenge der reellen Zahlen bewiesen werden. Dies werden wir in diesem Kapitel jedoch nicht behandeln. Analog besitzt eine nach unten beschränkte nicht-leere Teilmenge der reellen Zahlen stets ein Infimum. Somit ist es tatsächlich so, dass Supremum und Infimum einer nach oben beschränkten und nicht-leeren Teilmenge der reellen Zahlen immer existieren und immer eindeutig sind. Deswegen dürfen wir beruhigt von dem Supremum sprechen.

Für das Supremum und Infimum gelten folgende Regeln. Dabei ist und sowie . Im Folgenden wird immer angenommen, dass das Supremum beziehungsweise das Infimum existiert.