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Supremum, Infimum, Maximum, Minimum

Theorie:

Supremum und Infimum

Einleitung

Supremum (aus dem Lateinischen von supremum = „das Höchste/das Oberste“) klingt, als ob es „das Maximum“ (also das größte Element der Menge) wäre. Im Laufe dieses Artikels werden wir allerdings sehen, dass das Supremum das Maximum verallgemeinert. Merken wir uns zu Beginn:

 
Hinweis

Jedes Maximum ist ein Supremum, aber nicht jedes Supremum ist ein Maximum.

Während nämlich das Maximum ein Element der betrachteten Menge sein muss, muss das nicht für das Supremum gelten. Deshalb sollten wir „Supremum" treffender mit „die unmittelbar nach oben beschränkende Zahl“ übersetzen. Es ist „nach oben beschränkend“, weil es wie das Maximum größer oder gleich jeder Zahl der Menge ist. Und es ist „unmittelbar“, weil es die kleinste aller „nach oben beschränkenden “ Zahlen ist.

Analog ist das Infimum eine Verallgemeinerung des Minimums. Es ist die „unmittelbar nach unten beschränkende Zahl“, also die größte aller „nach unten beschränkenden" Zahlen einer Menge. Konkrete Beispiele werden wir in den kommenden Abschnitten kennenlernen.

Für uns ist der Begriff des Supremums wichtig, weil mit ihm die Vollständigkeit der reellen Zahlen alternativ beschrieben werden kann. Außerdem ist das Supremum ein nützliches Hilfsmittel in Beweisen oder zur Definition neuer Begriffe

Erklärung des Supremums

Um das Supremum zu erklären, werden wir untersuchen, wie man zu dessen genauer Definition kommt. Hierzu werden wir feststellen, wie das Supremum aus dem Maximum verallgemeinert werden kann. Zur Erinnerung: Das Maximum einer Menge ist ihr größtes Element. Das Maximum einer Menge hat also folgende Eigenschaften:

  • ist Element von .
  • Für jedes ist .

In der zweiten Eigenschaft steht deshalb ein Kleiner-Gleich-und kein Kleiner-Zeichen, weil in der Aussage auch gleich sein könnte. Bei endlichen Mengen ist das Maximum stets definiert, jedoch ist dies bei unendlichen Mengen nicht unbedingt der Fall.

Zunächst können wir auf das Problem stoßen, dass die betrachtete Menge nach oben unbeschränkt ist. Nimm zum Beispiel die Menge : . Diese Menge kann kein Maximum oder ähnliches besitzen, da es für jede reelle Zahl eine größere Zahl aus gibt. Diese Menge kann also kein größtes Element besitzen. Es gibt auch kein Element, das „unmittelbar das größte" Element sein könnte. Demnach ist eine Frage danach bei dieser Menge schlicht nicht sinnvoll.

Für die Übertragung des Maximumbegriffs auf unendliche Mengen muss also die Menge nach oben beschränkt sein. Es muss also eine Zahl geben, welche größer gleich jedem Element der Menge ist. Dabei muss nicht zwangsläufig Element der Menge sein.

[Quelle]
Die Menge . [Quelle]

Doch auch dann kann es zu Problemen kommen. Nehmen wir zum Beispiel die Menge Diese Menge ist nach oben beschränkt, weil man für jede Zahl größer gleich wählen kann.

Hat die Menge ein Maximum? Leider nein. Für jedes ist eine weitere Zahl aus mit der Eigenschaft (die Zahl liegt in der Mitte zwischen und ). So kann aber kein maximales Element besitzen, weil es zu jeder Zahl aus mindestens eine größere Zahl aus gibt.
Bei der Betrachtung unendlicher Mengen büßt das Maximum also eine Eigenschaft ein. Nämlich, dass es Element der Menge ist:

  • Für jedes ist .
[Quelle]
Eine Menge mit eingezeichneten oberen und unteren Schranken[Quelle]

Es bleibt also erst einmal nur die Eigenschaft, dass die gesuchte Zahl größer als jedes Element der Menge ist. Eine solche Zahl wird „obere Schranke“ der Menge genannt:

 
Definition

obere Schranke
Sei eine Teilmenge von . Dann nennt man eine Zahl , die größer gleich jedem Element von ist, eine obere Schranke. Es ist also für alle .

Analog ist eine untere Schranke eine Zahl, die eine Menge nach unten beschränkt:

 
Definition

untere Schranke

Sei eine Teilmenge von . Dann nennt man eine Zahl , die kleiner gleich jedem Element von ist, eine untere Schranke. Es ist also für alle .

Wenn wir unsere neue Definition betrachten, stellen wir zwei Dinge fest. Erstens: Obere und untere Schranken müssen keine Elemente der betrachteten Menge sein, weil dies nicht von der Definition gefordert wird. Und zweitens: Die Definition sagt nichts über eine etwaige Eindeutigkeit der Schranken aus.

Betrachten wir zum Beispiel die Menge . Hier fällt uns sicherlich zuerst als obere Schranke ein. Jedoch ist ebenfalls eine obere Schranke und erfüllt die Forderungen der Definition. Abgesehen davon, dass weit oberhalb unserer Beispielmenge liegt, sind beide Zahlen keine Elemente der Menge. Dieses Beispiel zeigt, dass es mehr als eine obere Schranke geben kann. Es wird aber noch beunruhigender: Eine beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen hat immer unendlich viele obere Schranken. Wenn eine obere Schranke von ist, so ist auch jede größere Zahl, also für alle , eine obere Schranke.

Bei genauerer Betrachtung sind die Begriffe von oberer bzw. unterer Schranke nicht sehr treffend. Sie leisten viel weniger als ein Maximumbegriff. Das Maximum ist nämlich immer eindeutig: Es kann höchstens eins davon geben. Mit der oberen Schranke verhält es sich nicht so. Deshalb wollen wir versuchen, den Begriff zu verbessern.

Betrachten wir als Beispiel wieder die Menge . Welche Zahl könnte man als Verallgemeinerung des Maximums für wählen? Intuitiv fällt uns die Zahl 1 ein. Doch warum sollte man diese Zahl wählen?

Wir wollen einen allgemein gültigen Begriff, der auch dann funktioniert, wenn die Menge nicht mehr so anschaulich ist. Deswegen kommen zunächst alle oberen Schranken von also alle Zahlen größer gleich in Frage. Nun sollte unsere Zahl optimal in dem Sinne sein, dass sie möglichst klein ist. So kommen wir auf die Zahl Sie ist nicht nur eine obere Schranke, sie ist auch die kleinste obere Schranke von . Wir haben ja bereits gesehen, dass es für jedes eine andere Zahl mit gibt (nämlich ). Damit kann keine Zahl kleiner eine obere Schranke von sein. ist also das, was wir als „unmittelbar darüberliegende“ Zahl von ansehen.

Die kleinste obere Schranke wird durch folgende zwei Eigenschaften charakterisiert:

  • ist obere Schranke von : Für jedes ist .
  • Jede obere Schranke von ist mindestens so groß wie : Gilt für alle , so gilt auch . Anders formuliert: Für jedes gibt es mindestens eine Zahl mit .

Das können wir als Definition des Supremums verwenden, da es offenbar die kleinste obere Schranke charakterisiert. Das Infimum wird analog als die größte untere Schranke definiert.

Definition des Supremums und Infimums

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Das Supremum ist die kleinste obere Schranke einer Menge [Quelle] 

Die Definition des Supremums und des Infimums lautet:

 
Definition

Supremum
Sei eine Teilmenge von . Das Supremum einer Menge ist die kleinste obere Schranke von . Das Supremum wird charakterisiert über die beiden Eigenschaften:

  • Für jedes ist .
  • Keine Zahl kleiner als ist obere Schranke von : Für alle gibt es mindestens eine Zahl mit .
 
Definition

Infimum
Sei eine Teilmenge von . Das Infimum einer Menge ist die größte untere Schranke von . Das Infimum wird charakterisiert über die beiden Eigenschaften:

  • Für jedes ist .
  • Keine Zahl größer als ist untere Schranke von : Für alle gibt es mindestens eine Zahl mit .

Die Epsilon-Definition

In der zweiten Eigenschaft der Definition des Supremums als Teil einer Menge steht:

 
Hinweis

„Jede Zahl kleiner als ist keine obere Schranke von : Für alle gibt es mindestens eine Zahl mit .“

Hier ist es in einigen Lehrbüchern auch üblich, mit zu setzen. Dadurch erhält man folgende Aussage, die man auch als zweite Eigenschaft des Supremums nutzen kann:

 
Hinweis

„Für alle gibt es ein mit .“

Bei Beweisen dürfen wir frei entscheiden, welche der beiden Aussagen wir heranziehen wollen. Da beide Aussagen zueinander äquivalent sind, ist es egal, welche davon bewiesen wird.

Maximum und Minimum

Für das Maximum und Minimum haben wir bekanntlich folgende Definitionen:

 
Definition

Maximum
Das Maximum einer Menge ist eine Zahl mit den folgenden zwei Eigenschaften:

  • .
  • Für alle ist .
 
Definition

Minimum
Das Minimum einer Menge ist eine Zahl mit den folgenden zwei Eigenschaften:

  • .
  • Für alle ist .

Das Maximum ist stets Supremum der Menge. Sei nämlich Maximum einer Menge . Zum einen ist per Definition obere Schranke von . Zum anderen gibt es für alle mit ein mit , nämlich . Umgekehrt ist nicht jedes Supremum Maximum, wie wir oben an der Menge gesehen haben. Die Zahl 1 ist zwar Supremum dieser Menge, aber kein Maximum. Analoges gilt für Minimum und Infimum.

Schreibweisen

Das Dualitätsprinzip

Wir haben bereits in den Definitionen und in der obigen Erklärung gesehen, dass die Begriffe des Supremums und des Infimums analog zueinander betrachtet werden können. Der Grund liegt darin, dass bei Umkehrung der Ordnung auf den reellen Zahlen das Supremum zum Infimum wird und umgekehrt. Wir können nämlich eine neue Ordnung neu dadurch einführen, dass neu genau dann ist, wenn ist (wir spiegeln hier die reelle Zahlengerade an der Null). Bei dieser neuen Ordnung verhält sich das ursprüngliche Supremum wie ein Infimum und umgekehrt. Beide Ordnungen neu und haben dieselben ordnungstheoretischen Eigenschaften. Sie sind daher isomorph zueinander. Deshalb müssen auch die Eigenschaften von Supremum und Infimum bei umgekehrter Ordnung dieselben sein. Alles was wir in Zukunft für Suprema sagen, gilt in ähnlicher Weise auch für Infima und umgekehrt. Das Gleiche gilt folglich auch für Maximum und Minimum.

Beispiel - Dualitätsprinzip

Für alle ist . Analog ist für alle die Ungleichung inf erfüllt.

Existenz und Eindeutigkeit

Wir haben bisher ganz selbstverständlich von dem Supremum gesprochen. Das klingt so, als ob es immer eines gäbe und als ob es immer eindeutig wäre. Der Verdacht liegt auch nahe: Wozu sollten wir uns die Mühe machen, den Begriff „Supremum“überhaupt zu definieren, wenn er das Grund problem des Maximums (nämlich oftmals gar nicht zu existieren) gar nicht lösen könnte? Was wäre der Vorteil des Supremums gegenüber dem Begriff der „oberen Schranke“, wenn auch das Supremum nicht eindeutig wäre? Intuitiv ist irgendwie klar, dass es unter allen oberen Schranken genau eine kleinste geben muss, aber bis jetzt haben wir das noch nicht streng mathematisch bewiesen.

Im folgenden Satz werden wir die Eindeutigkeit des Infimums und Supremums beweisen, also dass eine Menge höchstens ein Supremum und Infimum besitzen kann:

 
Definition

Eindeutigkeit des Supremums und Infimums
Eine Menge kann höchstens ein Supremum und höchstens ein Infimum besitzen.

Mit dem Vollständigkeitsaxiom kann auch die Existenz des Supremums einer nach oben beschränkten nicht-leeren Teilmenge der reellen Zahlen bewiesen werden. Dies werden wir in diesem Kapitel jedoch nicht behandeln. Analog besitzt eine nach unten beschränkte nicht-leere Teilmenge der reellen Zahlen stets ein Infimum. Somit ist es tatsächlich so, dass Supremum und Infimum einer nach oben beschränkten und nicht-leeren Teilmenge der reellen Zahlen immer existieren und immer eindeutig sind. Deswegen dürfen wir beruhigt von dem Supremum sprechen.

Uneigentliches Supremum und Infimum

Damit eine Menge ein Supremum besitzen kann, muss sie nach oben beschränkt sein. In diesem Kapitel untersuchen wir den Fall unbeschränkter Mengen bzw. den Fall der leeren Menge.

Uneigentliche Suprema und Infima für unbeschränkte Mengen

Eine Menge ist nach oben unbeschränkt, wenn keine obere Schranke besitzt. Für alle gibt es also ein mit . Dies ist dann auch die Definition der Unbeschränktheit nach oben:

 
Definition

nach oben unbeschränkte Menge
Eine Menge ist nach oben unbeschränkt, wenn sie keine obere Schranke besitzt, wenn also

Wenn nach oben unbeschränkt ist, schreiben wir nun

Intuitiv lässt sich die Schreibweise gut erklären: „unendlich “ ist größer als jedes Element aus und gleichzeitig kann es keine obere Schranke kleiner „unendlich “ geben, weil nach oben unbeschränkt ist. Also ist es sinnvoll, „unendlich “als Supremum einer nach oben unbeschränkten Menge anzusehen.

Aber Vorsicht! Das Symbol ist keine reelle Zahl und damit bedeutet sup auch nicht, dass Supremum von wäre, weil Suprema per Definition immer reell sein müssen. Es gibt auch kein Objekt in unserer Theorie, weil die von uns in den ersten Kapiteln formulierten Axiome kein Objekt zulassen. Deshalb müsste eine Schreibweise wie sup von uns abgelehnt werden.

Um diese Widersprüche aufzulösen, sehen wir sup nur als Kurzschreibweise für den Fakt an, dass nach oben unbeschränkt ist, und nennen das uneigentliche Supremum von :

 
Definition

uneigentliches Supremum
Ist eine Menge nach oben unbeschränkt, so nennen wir das uneigentliche Supremum von und schreiben

 
Hinweis
Das Adjektiv "uneigentlich" ist hier sehr wichtig. Achte darauf, dass du es immer verwendest. ist nämlich keine reelle Zahl und kann deswegen kein Supremum sein. Es verhält sich nur in mancher Hinsicht wie ein Supremum. Kurz: Auch wenn man schreibt, dann besitzt trotzdem kein Supremum!

Analog gilt für nach unten unbeschränkte Mengen:

 
Definition

uneigentliches Infimum
Eine Menge ist nach unten unbeschränkt, wenn es für alle ein mit gibt. In diesem Fall schreibt man

Uneigentliches Supremum und Infimum der leeren Menge

Ein weiterer Sonderfall ist die leere Menge. Hier ist nämlich nicht das Problem, dass es keine oberen beziehungsweise unteren Schranken gibt, sondern zu viele obere und untere Schranken existieren. In den Lehrbüchern findest du dafür folgende Definitionen:

 
Definition

Uneigentliches Supremum und Infimum der leeren Menge

Für die leere Menge gilt

Auch hier handelt es sich um uneigentliche und damit um keine echten Suprema und Infima. Doch wieso ergibt obige Festlegung Sinn?

Gehen wir schrittweise vor: Per Definition ist das Supremum die kleinste obere Schranke einer Menge. Was sind also die oberen Schranken der leeren Menge? Eine Zahl ist per Definition eine obere Schranke von , wenn

 
Hinweis

Wieso ergibt inf Sinn? Eine Zahl ist untere Schranke der leeren Menge, wenn . Diese Allaussage ist stets wahr und damit ist jede reelle Zahl eine untere Schranke von . Als Bezeichnung für die größte all dieser unteren Schranken von kann man also verwenden. Jedoch ist keine reelle Zahl und daher auch kein Infimum im eigentlichen Sinne.

Supremum und Infimum bestimmen und beweisen

Allgemeine Vorgehensweise

 
Vorgehen

Um das Supremum oder Infimum einer Menge zu finden, kannst du folgendermaßen vorgehen:

  1. Menge veranschaulichen: Überlege dir, wie die Menge aussieht. Hierzu kannst du Skizzen anfertigen oder ggf. auch Computerprogramme verwenden.

  2. Hypothese über Supremum und Infimum anstellen: Ist die Menge nach oben beschränkt? Wenn ja, dann überlege dir, welche Zahl das Supremum sein kann. Wenn nein, dann besitzt die Menge kein Supremum. Analog schaue, ob die Menge nach unten beschränkt ist oder nicht, und überlege dir gegebenenfalls, welche Zahl das Infimum sein könnte.

  3. Beweise für Supremum und Infimum finden: Überlege dir auf einem Schmierblatt den Beweis dafür, dass die gefundene Zahl ein Supremum oder ein Infimum ist. Die notwendige Beweisstruktur findest du im nächsten Abschnitt.

  4. Beweis ins Reine schreiben: Zum Schluss musst du den Beweis aufschreiben. Dabei kannst du dich an der im nächsten Abschnitt folgenden Beweisstruktur für Supremum und Infimum orientieren.

Allgemeine Beweisstrukturen

Die hier aufgelisteten Beweisstrukturen sollten dir helfen, deine Beweise richtig und sauber aufzuschreiben. Sie zeigen dir aber auch, worauf du in der Beweisfindung achten musst.

Supremum: Beweisstruktur

Um zu zeigen, dass eine Zahl Supremum einer Menge ist, kannst du folgendermaßen vorgehen:

  1. Beweise, dass eine obere Schranke von ist: Zeige hierzu, dass für alle ist.

  2. Beweise, dass keine Zahl obere Schranke von ist: Nimm hierzu ein beliebiges und zeige, dass es ein gibt mit .

Infimum: Beweisstruktur

Beweise, dass Infimum einer Menge ist, können so aussehen:

  1. Beweise, dass eine untere Schranke von ist: Zeige hierzu, dass für alle ist.

  2. Beweise, dass keine Zahl untere Schranke von ist: Nimm hierzu ein beliebiges und zeige, dass es ein gibt mit .

Maximum: Beweisstruktur

Hier kann man direkt der Definition des Maximums folgen:

  1. Beweise, dass eine obere Schranke von ist: Zeige hierzu, dass für alle ist.

  2. Zeige, dass ist.

Minimum: Beweisstruktur

Um zu zeigen, dass Minimum der Menge ist, kann man analog zum Maximum vorgehen:

  1. Beweise, dass eine untere Schranke von ist: Zeige hierzu, dass für alle ist.

  2. Zeige, dass ist.

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