Das Thema Mengendefinition befasst sich mit der Art und Weise, wie du Mengen mathematisch aufschreiben bzw. formulieren kannst.

Mengen definieren

Hast du mehr als eine Menge vorliegen, so gibt es die Möglichkeit verschiedene Mengenoperationen anzuwenden. Dies kann helfen um die Mengen zusammenzufassen oder gegenseitig zu beeinflussen.

Vereinigung, Schnitt und Differenz

Vereinigung, Schnitt, Differenz

Das kartesische Produkt ist eine weitere Mengenoperation, welche sich auch gut grafisch darstellen lässt. Es wird verwendet, um alle möglichen Kombinationen von Mengenelementen zu bilden.

Kartesisches Produkt

In diesem Thema wird untersucht, ob eine bestimmte Menge komplett in einer anderen enthalten ist.

Teilmenge prüfen

Teilmengen prüfen

Hier werden die oberen und unteren Schranken von Mengen untersucht. Dies kann wichtig sein, um z. B. Aussagen über die Beschränktheit der vorliegenden Menge treffen zu können.

Supremum, Infimum, Maximum, Minimum

Supremum und Infimum 

Uneigentliches Supremum und Infimum

Supremum und Infimum bestimmen und beweisen

Eigenschaften Supremum und Infimum

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

Dies ist eine Zusammenfassung der Theorie zu: Supremum, Infimum, Maximum, Minimum

Eigenschaften Supremum und Infimum | Theorie Zusammenfassung

Analysis 1

<p>Da das Supremum auf Mengen angewandt wird, ist eine sehr naheliegende Frage: Was passiert mit dem Supremum, wenn wir die Menge verändern? Wenn wir sie mit einer anderen Menge beispielsweise schneiden oder vereinigen, wenn wir sie größer oder kleiner machen? Hier werden wir einige Regeln kennen lernen, die dir helfen werden, mit dem Supremum zu arbeiten.</p>


<h2 class="content_heading">Übersicht der Regeln zum Supremum und Infimum</h2>
<p>Wir definieren zuerst einige Kurzschreibweisen.</p>
<div id="61c8ca925529231eb54daf9b" class="mceNonEditable extraContainerDefinition">
<div class="extraContainerDefinitionHeader mceNonEditable">
<div class="icon-definition"> </div>
Definition</div>
<div class="theoryExtraContent mceEditable">
<p>Für alle Mengen \( A, B \subseteq \mathbb{R} \) und alle \( \lambda \in \mathbb{R} \) definieren wir:</p>
<ul>
<li>\( -A:=\{-x: \  x \in A\} \)</li>
<li>\( \lambda A:=\{\lambda x: \ x \in A\} \)</li>
<li>\( A+B:=\{a+b: \ a \in A, b \in B\} \)</li>
<li>\( A \cdot B:=\{a \cdot b: \ a \in A, b \in B\} \)</li>
</ul>
</div>
</div>


<h2 class="content_sub_heading"><strong>Regeln für das</strong> Supremum und Infimum</h2>
<figure class="image"><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/61c8cae65529231eb54dafe1.svg" alt="new alt text" width="227" height="278" />
<figcaption>
<p>Beispiel: Das Supremum der Summe zweier Funktionen kann kleiner als die Summe ihrer Suprema sein. <a title="Von Auswahlaxiom - Eigenes Werk, CC BY-SA 4.0" href="https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Supremum_und_Infimum:_Eigenschaften#/media/Datei:SupFunctions.svg" target="_blank" rel="nofollow noopener">[Quelle]</a></p>
</figcaption>
</figure>
<p>Für das Supremum und Infimum gelten folgende Regeln. Dabei ist \( A, B, D \subseteq \) \( \mathbb{R} \) und \( f, g: D \rightarrow \mathbb{R} \) sowie \( \lambda \in \mathbb{R} \). Im Folgenden wird immer angenommen, dass das Supremum beziehungsweise das Infimum existiert.</p>
<div id="61ee958e975f02ebc01fa723" class="mceNonEditable extraContainerFormel">
<div class="extraContainerFormelHeader mceNonEditable">
<div class="icon-formel"> </div>
Formel</div>
<div class="theoryExtraContent mceEditable">
<p><strong>Rechenregeln für das Supremum</strong></p>
<ul>
<li>\( \sup A \geq \inf A \)</li>
<li>\( A \subseteq B \Rightarrow \sup A \leq \sup B \)</li>
<li>\( \sup (A \cup B)=\max \{\sup A, \sup B\} \)</li>
<li>\( \sup (A \cap B) \leq \min \{\sup A, \sup B\} \)</li>
<li>\( \sup \left(\left\{x^{-1}: x \in A\right\}\right)=(\inf (A))^{-1} \), falls inf \( (A) &gt; 0 \) ist.</li>
<li>\( \sup (\lambda A)=\sup (\{\lambda x: x \in A\})=\lambda \cdot \sup (A) \) für \( \lambda \geq 0 \)</li>
<li>\( \sup (A+B)=\sup (\{x+y: x \in A \wedge y \in B\})=\sup (A)+\sup (B) \)</li>
<li>\( \sup (A \cdot B)=\sup (\{x \cdot y: x \in A \wedge y \in B\})=\sup (A) \cdot \sup (B) \), falls \( A \) und \(B \) nur nichtnegative Elemente enthalten.</li>
<li>\( \sup (f+g)(D) \leq \sup f(D)+\sup g(D)\)</li>
<li>Es gibt eine Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) aus \( A \) mit \( \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\sup A . \)</li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="61ee95b4975f02ebc01fa7fa" class="mceNonEditable extraContainerFormel">
<div class="extraContainerFormelHeader mceNonEditable">
<div class="icon-formel"> </div>
Formel</div>
<div class="theoryExtraContent mceEditable">
<p><strong>Regeln für das Infimum</strong></p>
<ul>
<li>\( \inf A \leq \sup A \)</li>
<li>\( A \subseteq B \Rightarrow \inf A \geq \inf B \)</li>
<li>\( \inf (A \cup B)=\min \{\inf A, \inf B\} \)</li>
<li>\( \inf (A \cap B) \geq \max \{\inf A, \inf B\} \)</li>
<li>\( \inf (-A)=\inf (\{-x: x \in A\})=-\sup (A) \)</li>
<li>\( \inf (\lambda A)=\inf (\{\lambda x: x \in A\})=\lambda \cdot \inf (A) \) für \( \lambda \geq 0 \)</li>
<li>\( \inf (A+B)=\inf (\{x+y: x \in A \wedge y \in B\})=\inf (A)+\inf (B) \)</li>
<li>\( \inf (A \cdot B)=\inf (\{x \cdot y: x \in A \wedge y \in B\})=\inf (A) \cdot \inf (B) \), falls \( A \) und \( B \) nur nichtnegative Elemente enthalten.</li>
<li>\( \inf (f+g)(D) \geq \inf f(D)+\inf g(D) \)</li>
<li>Es gibt eine Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) aus \( A \) mit \( \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\inf A \).</li>
</ul>
</div>
</div>

Eigenschaften Supremum und Infimum

Übersicht der Regeln zum Supremum und Infimum

Regeln für das Supremum und Infimum

Verlinkte Themen

Supremum, Infimum, Maximum, Minimum