Eigenschaften Supremum und Infimum

by Mathe für Nicht-Freaks

(Analysis 1)

Da das Supremum auf Mengen angewandt wird, ist eine sehr naheliegende Frage: Was passiert mit dem Supremum, wenn wir die Menge verändern? Wenn wir sie mit einer anderen Menge beispielsweise schneiden oder vereinigen, wenn wir sie größer oder kleiner machen? Hier werden wir einige Regeln kennen lernen, die dir helfen werden, mit dem Supremum zu arbeiten.

Übersicht der Regeln zum Supremum und Infimum

Wir definieren zuerst einige Kurzschreibweisen.

 
Definition

Für alle Mengen und alle definieren wir:

Regeln für das Supremum und Infimum

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Beispiel: Das Supremum der Summe zweier Funktionen kann kleiner als die Summe ihrer Suprema sein. [Quelle]

Für das Supremum und Infimum gelten folgende Regeln. Dabei ist und sowie . Im Folgenden wird immer angenommen, dass das Supremum beziehungsweise das Infimum existiert.

 
Formel

Rechenregeln für das Supremum

  • , falls inf ist.
  • für
  • , falls und nur nichtnegative Elemente enthalten.
  • Es gibt eine Folge aus mit
 
Formel

Regeln für das Infimum

  • für
  • , falls und nur nichtnegative Elemente enthalten.
  • Es gibt eine Folge aus mit .