Winkel, Länge, Fläche, Volumen von Vektoren

Das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren kannst du verwenden, um aus einer beliebigen Basis $\{a_1, \ldots a_n\}$ eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$ mit Skalarprodukt eine Orthonormalbasis zu konstruieren. 

Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren

Das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren kannst du verwenden, um aus einer beliebigen Basis <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\{a_1, \ldots a_n\}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.677ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4719.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-44-TEX-N-7B" d="M434 -231Q434 -244 428 -250H410Q281 -250 230 -184Q225 -177 222 -172T217 -161T213 -148T211 -133T210 -111T209 -84T209 -47T209 0Q209 21 209 53Q208 142 204 153Q203 154 203 155Q189 191 153 211T82 231Q71 231 68 234T65 250T68 266T82 269Q116 269 152 289T203 345Q208 356 208 377T209 529V579Q209 634 215 656T244 698Q270 724 324 740Q361 748 377 749Q379 749 390 749T408 750H428Q434 744 434 732Q434 719 431 716Q429 713 415 713Q362 710 332 689T296 647Q291 634 291 499V417Q291 370 288 353T271 314Q240 271 184 255L170 250L184 245Q202 239 220 230T262 196T290 137Q291 131 291 1Q291 -134 296 -147Q306 -174 339 -192T415 -213Q429 -213 431 -216Q434 -219 434 -231Z"></path><path id="MJX-44-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-44-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-44-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-44-TEX-N-2026" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60ZM525 60Q525 84 542 102T585 120Q609 120 627 104T646 61Q646 36 629 18T586 0T543 17T525 60ZM972 60Q972 84 989 102T1032 120Q1056 120 1074 104T1093 61Q1093 36 1076 18T1033 0T990 17T972 60Z"></path><path id="MJX-44-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-44-TEX-N-7D" d="M65 731Q65 745 68 747T88 750Q171 750 216 725T279 670Q288 649 289 635T291 501Q292 362 293 357Q306 312 345 291T417 269Q428 269 431 266T434 250T431 234T417 231Q380 231 345 210T298 157Q293 143 292 121T291 -28V-79Q291 -134 285 -156T256 -198Q202 -250 89 -250Q71 -250 68 -247T65 -230Q65 -224 65 -223T66 -218T69 -214T77 -213Q91 -213 108 -210T146 -200T183 -177T207 -139Q208 -134 209 3L210 139Q223 196 280 230Q315 247 330 250Q305 257 280 270Q225 304 212 352L210 362L209 498Q208 635 207 640Q195 680 154 696T77 713Q68 713 67 716T65 731Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-N-7B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(529, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1432.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1877.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-N-2026"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3215.9, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(529, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-I-1D45B"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4219.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-N-7D"></use></g></g></g></svg></mjx-container> eines endlichdimensionalen Vektorraums <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="V" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.74ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 769 705" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-45-TEX-I-1D449" d="M52 648Q52 670 65 683H76Q118 680 181 680Q299 680 320 683H330Q336 677 336 674T334 656Q329 641 325 637H304Q282 635 274 635Q245 630 242 620Q242 618 271 369T301 118L374 235Q447 352 520 471T595 594Q599 601 599 609Q599 633 555 637Q537 637 537 648Q537 649 539 661Q542 675 545 679T558 683Q560 683 570 683T604 682T668 681Q737 681 755 683H762Q769 676 769 672Q769 655 760 640Q757 637 743 637Q730 636 719 635T698 630T682 623T670 615T660 608T652 599T645 592L452 282Q272 -9 266 -16Q263 -18 259 -21L241 -22H234Q216 -22 216 -15Q213 -9 177 305Q139 623 138 626Q133 637 76 637H59Q52 642 52 648Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-45-TEX-I-1D449"></use></g></g></g></svg></mjx-container> mit Skalarprodukt eine Orthonormalbasis zu konstruieren. 

Orthogonale Projektion

Vektor aus Bedingungen ableiten

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>\begin{align*}</p>
<p>\left\{\frac{1}{\sqrt{10}}\left(\begin{array}{c}</p>
<p>1 \\2 \\2 \\-1</p>
<p>\end{array}\right), \frac{1}{\sqrt{26}}\left(\begin{array}{c}</p>
<p>2 \\3 \\-3 \\2</p>
<p>\end{array}\right), \frac{1}{\sqrt{10}}\left(\begin{array}{c}</p>
<p>2 \\-1 \\-1 \\-2</p>
<p>\end{array}\right)\right\}</p>
<p>\end{align*}</p>
<p>ist eine Orthonormalbasis von $\left\langle a_{1}, a_{2}, a_{3}\right\rangle$.</p>

<p>1. Berechne $b_{1}=\frac{1}{\left\|a_{1}\right\|} a_{1}$</p>


<p>1. Berechne <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="b_{1}=\frac{1}{\left\|a_{1}\right\|} a_{1}" style="vertical-align: -1.238ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.098ex" height="3.195ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 4905.2 1412" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5372-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path id="MJX-5372-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-5372-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-5372-TEX-N-2225" d="M133 736Q138 750 153 750Q164 750 170 739Q172 735 172 250T170 -239Q164 -250 152 -250Q144 -250 138 -244L137 -243Q133 -241 133 -179T132 250Q132 731 133 736ZM329 739Q334 750 346 750Q353 750 361 744L362 743Q366 741 366 679T367 250T367 -178T362 -243L361 -244Q355 -250 347 -250Q335 -250 329 -239Q327 -235 327 250T329 739Z"></path><path id="MJX-5372-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5372-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(429, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-5372-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1110.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-5372-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2166.1, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(726.5, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-5372-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -370.3) scale(0.707)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-5372-TEX-N-2225"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5372-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-5372-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1432.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-5372-TEX-N-2225"></use></g></g><rect width="1566.5" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3972.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5372-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-5372-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\left\|a_{1}\right\|&amp;=\sqrt{1+4+4+1}\\&amp;=\sqrt{10}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\Rightarrow b_{1}=\frac{1}{\sqrt{10}}\left(\begin{array}{c}</p>
<p>1 \\2 \\2 \\-1</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>2. Berechne $b_{2}=\frac{1}{\left\|c_{2}\right\|} c_{2}$ mit $c_{2}=a_{2}-\left\langle a_{2}, b_{1}\right\rangle b_{1}$</p>


<p>2. Berechne <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="b_{2}=\frac{1}{\left\|c_{2}\right\|} c_{2}" style="vertical-align: -1.238ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.727ex" height="3.195ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 4741.3 1412" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5375-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path id="MJX-5375-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-5375-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-5375-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-5375-TEX-N-2225" d="M133 736Q138 750 153 750Q164 750 170 739Q172 735 172 250T170 -239Q164 -250 152 -250Q144 -250 138 -244L137 -243Q133 -241 133 -179T132 250Q132 731 133 736ZM329 739Q334 750 346 750Q353 750 361 744L362 743Q366 741 366 679T367 250T367 -178T362 -243L361 -244Q355 -250 347 -250Q335 -250 329 -239Q327 -235 327 250T329 739Z"></path><path id="MJX-5375-TEX-I-1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5375-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(429, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-5375-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1110.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-5375-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2166.1, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(692.5, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-5375-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -370.3) scale(0.707)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-5375-TEX-N-2225"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5375-TEX-I-1D450"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(433, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-5375-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1336.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-5375-TEX-N-2225"></use></g></g><rect width="1498.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3904.7, 0)"><g data-mml-node="mi"><use 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-10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-5376-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-5376-TEX-N-27E8" d="M333 -232Q332 -239 327 -244T313 -250Q303 -250 296 -240Q293 -233 202 6T110 250T201 494T296 740Q299 745 306 749L309 750Q312 750 313 750Q331 750 333 732Q333 727 243 489Q152 252 152 250T243 11Q333 -227 333 -232Z"></path><path id="MJX-5376-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-5376-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path id="MJX-5376-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-5376-TEX-N-27E9" d="M55 732Q56 739 61 744T75 750Q85 750 92 740Q95 733 186 494T278 250T187 6T92 -240Q85 -250 75 -250Q67 -250 62 -245T55 -232Q55 -227 145 11Q236 248 236 250T145 489Q55 727 55 732Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" 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<p>\begin{align*}</p>
<p>\left\langle a_{2}, b_{1}\right\rangle&amp;=\frac{1}{\sqrt{10}}\left\langle\left(\begin{array}{c}</p>
<p>1 \\1 \\-5 \\3</p>
<p>\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}</p>
<p>1 \\2 \\2 \\-1</p>
<p>\end{array}\right)\right\rangle\\ </p>
<p>&amp;=\frac{1}{\sqrt{10}}(1+2-10-3)\\ </p>
<p>&amp;=-\frac{10}{\sqrt{10}}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>c_{2}=&amp;\left(\begin{array}{c}</p>
<p>1 \\1 \\-5 \\3</p>
<p>\end{array}\right)+\frac{10}{\sqrt{10}} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}\left(\begin{array}{c}</p>
<p>1 \\2 \\2 \\-1</p>
<p>\end{array}\right)\\ \\</p>
<p>&amp;=\left(\begin{array}{c}</p>
<p>2 \\3 \\-3 \\2</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\left\|c_{2}\right\|&amp;=\sqrt{4+9+9+4}=\sqrt{26}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\Rightarrow b_{2}=\frac{1}{\sqrt{26}}\left(\begin{array}{c}</p>
<p>2 \\3 \\-3 \\2</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>3. Berechne $b_{3}=\frac{1}{\left|c_{3}\right|} c_{3}$ mit $c_{3}=a_{3}-\left\langle a_{3}, b_{1}\right\rangle b_{1}-\left\langle a_{3}, b_{2}\right\rangle b_{2}$</p>


<p>3. Berechne <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="b_{3}=\frac{1}{\left|c_{3}\right|} c_{3}" style="vertical-align: -1.236ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.017ex" height="3.193ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 4427.3 1411.3" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5381-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path id="MJX-5381-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 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<p>\begin{align*}</p>
<p>\left\langle a_{3}, b_{1}\right\rangle&amp;=\frac{1}{\sqrt{10}}\left\langle\left(\begin{array}{c}</p>
<p>3 \\2 \\8 \\-7</p>
<p>\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}</p>
<p>1 \\2 \\2 \\-1</p>
<p>\end{array}\right)\right\rangle\\&amp;=\frac{1}{\sqrt{10}}(3+4+16+7)\\&amp;=\frac{30}{\sqrt{10}}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\left\langle a_{3}, b_{2}\right\rangle&amp;=\frac{1}{\sqrt{26}}\left\langle\left(\begin{array}{c}</p>
<p>3 \\2 \\8 \\-7</p>
<p>\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}</p>
<p>2 \\3 \\-3 \\2</p>
<p>\end{array}\right)\right\rangle\\&amp;=\frac{1}{\sqrt{26}}(6+6-24-14)\\&amp;=-\frac{26}{\sqrt{26}}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>c_{3}&amp;=\left(\begin{array}{c}</p>
<p>3 \\2 \\8 \\-7</p>
<p>\end{array}\right)-\frac{30}{\sqrt{10}} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}\left(\begin{array}{c}</p>
<p>1 \\2 \\2 \\-1</p>
<p>\end{array}\right)+\frac{26}{\sqrt{26}} \cdot \frac{1}{\sqrt{26}}\left(\begin{array}{c}</p>
<p>2 \\3 \\-3 \\2</p>
<p>\end{array}\right)\\ \\</p>
<p>&amp;=\left(\begin{array}{c}</p>
<p>3-3+2 \\2-6+3 \\8-6-3 \\-7+3+2</p>
<p>\end{array}\right)\\ \\</p>
<p>&amp;=\left(\begin{array}{c}</p>
<p>2 \\-1 \\-1 \\-2</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\left\|c_{3}\right\|&amp;=\sqrt{4+1+1+4}\\&amp;=\sqrt{10}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\Rightarrow b_{3}&amp;=\frac{1}{\sqrt{10}}\left(\begin{array}{c}</p>
<p>2 \\-1 \\-1 \\-2</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Berechne mit dem Gram-Schmidt-Orthonormierungsverfahren eine Orthonormalbasis von $\left\langle a_{1}, a_{2}, a_{3}\right\rangle$ mit</p>
<p></p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>a_{1}=\left(\begin{array}{c}</p>
<p>1 \\</p>
<p>2 \\</p>
<p>2 \\</p>
<p>-1</p>
<p>\end{array}\right), a_{2}=\left(\begin{array}{c}</p>
<p>1 \\</p>
<p>1 \\</p>
<p>-5 \\</p>
<p>3</p>
<p>\end{array}\right), a_{3}=\left(\begin{array}{c}</p>
<p>3 \\</p>
<p>2 \\</p>
<p>8 \\</p>
<p>-7</p>
<p>\end{array}\right).</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Berechne mit dem Gram-Schmidt-Orthonormierungsverfahren eine Orthonormalbasis von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\left\langle a_{1}, a_{2}, a_{3}\right\rangle" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.102ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4465 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5370-TEX-N-27E8" d="M333 -232Q332 -239 327 -244T313 -250Q303 -250 296 -240Q293 -233 202 6T110 250T201 494T296 740Q299 745 306 749L309 750Q312 750 313 750Q331 750 333 732Q333 727 243 489Q152 252 152 250T243 11Q333 -227 333 -232Z"></path><path id="MJX-5370-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-5370-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-5370-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-5370-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-5370-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-5370-TEX-N-27E9" d="M55 732Q56 739 61 744T75 750Q85 750 92 740Q95 733 186 494T278 250T187 6T92 -240Q85 -250 75 -250Q67 -250 62 -245T55 -232Q55 -227 145 11Q236 248 236 250T145 489Q55 727 55 732Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-5370-TEX-N-27E8"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5370-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-5370-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1321.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-5370-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1766.2, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5370-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-5370-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2698.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-5370-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3143.4, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5370-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-5370-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4076, 0)"><use xlink:href="#MJX-5370-TEX-N-27E9"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> mit</p>
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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Skalarprodukte, Kreuzprodukt, Orthogonalität - Gram-Schmidt Orthonormi


<h2 class="content_sub_heading">Titel ändern</h2>
<p>Das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren kannst du verwenden, um aus einer beliebigen Basis $\{a_1, \ldots a_n\}$ eines Vektorraums $V$ eine Orthonormalbasis $\{b_1, \ldots b_n\}$ zu konstruieren.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Titel ändern</h2>
<p>Das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren kannst du verwenden, um aus einer beliebigen Basis <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\{a_1, \ldots a_n\}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.826ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4785.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-470-TEX-N-7B" d="M434 -231Q434 -244 428 -250H410Q281 -250 230 -184Q225 -177 222 -172T217 -161T213 -148T211 -133T210 -111T209 -84T209 -47T209 0Q209 21 209 53Q208 142 204 153Q203 154 203 155Q189 191 153 211T82 231Q71 231 68 234T65 250T68 266T82 269Q116 269 152 289T203 345Q208 356 208 377T209 529V579Q209 634 215 656T244 698Q270 724 324 740Q361 748 377 749Q379 749 390 749T408 750H428Q434 744 434 732Q434 719 431 716Q429 713 415 713Q362 710 332 689T296 647Q291 634 291 499V417Q291 370 288 353T271 314Q240 271 184 255L170 250L184 245Q202 239 220 230T262 196T290 137Q291 131 291 1Q291 -134 296 -147Q306 -174 339 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Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: