Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenraum

Diagonalisierung

Diagonalisierung einer Matrix

Definitheit prüfen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>Das charakteristische Polynom lautet:</p>
<p>$\chi_{A}(\lambda)=(2-\lambda)((3-\lambda)^2+1)$.</p>
<p> </p>
<p>$\lambda_1=2, \lambda_2=3-i, \lambda_3=3+i$ sind die Eigenwerte von $A$.</p>
<p> </p>
<p>$\left(\begin{array}{l}1 \\0 \\1\end{array}\right)$ ist eine Basis von $\operatorname{Eig}_{A}(\lambda_1)$.</p>
<p> </p>
<p>$\left(\begin{array}{c}1 \\1-i \\2+i\end{array}\right)$ ist eine Basis von $\operatorname{Eig}_{A}(\lambda_2)$.</p>
<p> </p>
<p>$\left(\begin{array}{c}1 \\1+i \\2-i\end{array}\right)$ ist eine Basis von $\operatorname{Eig}_{A}(\lambda_3)$.</p>

<p>1. Bestimme das charakteristische Polynom von $A$</p>


<p>1. Bestimme das charakteristische Polynom von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5615-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5615-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\chi_{A}(\lambda)</p>
<p>&amp;=\operatorname{det}(A-\lambda E)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\chi_{A}(\lambda)}</p>
<p>&amp;=\det\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>2-\lambda &amp; 1 &amp; 0 \\</p>
<p>1 &amp; 3-\lambda &amp; -1 \\</p>
<p>-1 &amp; 2 &amp; 3-\lambda</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Mit der Regel von Sarrus kannst du die Determinante nun direkt berechnen.</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\chi_{A}(\lambda)}</p>
<p>&amp;=(2-\lambda)(3-\lambda)^2+1+2(2-\lambda)-(3-\lambda)\\</p>
<p>&amp;=(2-\lambda)(3-\lambda)^2+(2-\lambda)\\</p>
<p>&amp;=(2-\lambda)((3-\lambda)^2+1)\</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Berechne dafür die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.</p>


<p>Die erste Nullstelle können wir direkt am charakteristischen Polynom ablesen: $\lambda_1=2$</p>


<p>Die erste Nullstelle können wir direkt am charakteristischen Polynom ablesen: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\lambda_1=2" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.38ex" height="1.91ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 2820.1 844" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5619-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-5619-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-5619-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-5619-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5619-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(583, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-5619-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1264.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-5619-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2320.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-5619-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Um die weiteren Nullstellen zu finden, löse die Gleichung $(3-\lambda)^2+1=0$</p>


<p>Um die weiteren Nullstellen zu finden, löse die Gleichung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(3-\lambda)^2+1=0" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.934ex" height="2.452ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 7043 1083.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5620-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-5620-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-5620-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-5620-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-5620-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-5620-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-5620-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-5620-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-5620-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-5620-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-5620-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(389, 0)"><use xlink:href="#MJX-5620-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1111.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-5620-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2111.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-5620-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2694.4, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-5620-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(389, 363) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-5620-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3709.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-5620-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4709.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-5620-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5487.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-5620-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6543, 0)"><use xlink:href="#MJX-5620-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{alignat*}{2}</p>
<p>\Leftrightarrow &amp;&amp;(3-\lambda)^2&amp;=-1\\</p>
<p>\Leftrightarrow &amp;&amp;3-\lambda &amp;= \pm i\\</p>
<p>\Leftrightarrow &amp;&amp;\lambda &amp;= 3 \pm i</p>
<p>\end{alignat*}</p>


<p>$\Rightarrow \lambda_1=2, \lambda_2=3 - i, \lambda_3=3+i$ sind die Eigenwerte von $A$.</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\Rightarrow \lambda_1=2, \lambda_2=3 - i, \lambda_3=3+i" style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="31.136ex" height="2.009ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 13762.3 888" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5622-TEX-N-21D2" d="M580 514Q580 525 596 525Q601 525 604 525T609 525T613 524T615 523T617 520T619 517T622 512Q659 438 720 381T831 300T927 263Q944 258 944 250T935 239T898 228T840 204Q696 134 622 -12Q618 -21 615 -22T600 -24Q580 -24 580 -17Q580 -13 585 0Q620 69 671 123L681 133H70Q56 140 56 153Q56 168 72 173H725L735 181Q774 211 852 250Q851 251 834 259T789 283T735 319L725 327H72Q56 332 56 347Q56 360 70 367H681L671 377Q638 412 609 458T580 514Z"></path><path id="MJX-5622-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 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155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5623-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>


<p>Alternativ hättest du die Nullstellen auch mit einer Polynomdivision berechnen können.</p>


<p>3. Bestimme die Eigenräume von $A$</p>


<p>3. Bestimme die Eigenräume von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5624-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5624-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Berechne zuerst den Eigenraum von $A$ zum Eigenwert $\lambda_1=2$</p>


<p>Berechne zuerst den Eigenraum von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5625-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5625-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> zum Eigenwert <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\lambda_1=2" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.38ex" height="1.91ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 2820.1 844" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5626-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-5626-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-5626-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-5626-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5626-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(583, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-5626-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1264.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-5626-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2320.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-5626-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\operatorname{Eig}_{A}(2)</p>
<p>&amp;=\operatorname{ker}(A-2 \cdot E)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_{A}(2)}</p>
<p>&amp;=\operatorname{ker}\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>0 &amp; 1 &amp; 0 \\</p>
<p>1 &amp; 1 &amp; -1 \\</p>
<p>-1 &amp; 2 &amp; 1</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_{A}(2)}</p>
<p>\stackrel{\mathrm{III}+\mathrm{II}}=</p>
<p>\operatorname{ker}\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>0 &amp; 1 &amp; 0 \\</p>
<p>1 &amp; 1 &amp; -1 \\</p>
<p>0 &amp; 3 &amp; 0</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_{A}(2)}</p>
<p>&amp;=\left\{x \in \mathbb{C}^{3}:</p>
<p>x_2=0, x_1=x_3</p>
<p>\right\}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Wähle zum Beispiel <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x_3=1" style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.355ex" height="1.881ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2809.1 831.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5631-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-5631-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-5631-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-5631-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5631-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(572, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-5631-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1253.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-5631-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2309.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-5631-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_{A}(2)}</p>
<p>&amp;=\left\langle\left(\begin{array}{l}</p>
<p>1 \\</p>
<p>0 \\</p>
<p>1</p>
<p>\end{array}\right)\right\rangle</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\Rightarrow</p>
<p>\left(\begin{array}{l}1 \\0 \\1\end{array}\right) \text { ist eine Basis von } \operatorname{Eig}_{A}(2)\end{align*}</p>


<p>Berechne nun den Eigenraum von $A$ zum Eigenwert $\lambda_2=3-i$</p>


<p>Berechne nun den Eigenraum von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5634-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5634-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> zum Eigenwert <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\lambda_2=3-i" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.927ex" height="1.91ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 4387.6 844" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5635-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-5635-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-5635-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-5635-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-5635-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-5635-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5635-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(583, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-5635-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1264.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-5635-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2320.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-5635-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3042.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-5635-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4042.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-5635-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\operatorname{Eig}_{A}(3-i)</p>
<p>&amp;=\operatorname{ker}(A-(3-i) \cdot E)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_{A}(3-i)}</p>
<p>&amp;=\operatorname{ker}\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>-1+i &amp; 1 &amp; 0 \\</p>
<p>1 &amp; i &amp; -1 \\</p>
<p>-1 &amp; 2 &amp; i</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_{A}(3-i)}</p>
<p>\stackrel{\mathrm{II}-i\cdot\mathrm{III}}=</p>
<p>\operatorname{ker}\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>-1+i &amp; 1 &amp; 0 \\</p>
<p>1+i &amp; -i &amp; 0\\</p>
<p>-1&amp;2&amp;i</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_{A}(3-i)}</p>
<p>\stackrel{\mathrm{II}+i\cdot\mathrm{I}}=</p>
<p>\operatorname{ker}\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>-1+i &amp; 1 &amp; 0 \\</p>
<p>0 &amp; 0 &amp; 0\\</p>
<p>-1&amp;2&amp;i</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_{A}(3-i)}</p>
<p>\stackrel{\mathrm{III}-2\cdot\mathrm{I}}=</p>
<p>\operatorname{ker}\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>-1+i &amp; 1 &amp; 0 \\</p>
<p>0&amp;0&amp;0\\</p>
<p>1-2i&amp;0&amp;i</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_{A}(3-i)}</p>
<p>\stackrel{\mathrm{III}\cdot(-i)}=</p>
<p>\operatorname{ker}\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>-1+i &amp; 1 &amp; 0 \\</p>
<p>0&amp;0&amp;0\\</p>
<p>-2-i&amp;0&amp;1</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_{A}(3-i)}</p>
<p>&amp;=\left\{x \in \mathbb{C}^{3}:</p>
<p>x_2=(1-i)x_1, x_3=(2+i)x_1</p>
<p>\right\}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Wähle zum Beispiel <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x_1=1" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.355ex" height="1.846ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2809.1 816" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5643-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-5643-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-5643-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5643-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(572, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-5643-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1253.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-5643-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2309.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-5643-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_{A}(3-i)}</p>
<p>&amp;=\left\langle\left(\begin{array}{c}</p>
<p>1 \\</p>
<p>1-i \\</p>
<p>2+i</p>
<p>\end{array}\right)\right\rangle</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>&amp;\Rightarrow\left(\begin{array}{c}1 \\1-i \\2+i\end{array}\right) \text { ist eine Basis von } \operatorname{Eig}_{A}(3-i)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Berechne nun den Eigenraum von $A$ zum Eigenwert $\lambda_2=3+i$</p>


<p>Berechne nun den Eigenraum von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5646-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5646-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> zum Eigenwert <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\lambda_2=3+i" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.927ex" height="1.91ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 4387.6 844" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5647-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-5647-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-5647-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-5647-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-5647-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-5647-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5647-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(583, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-5647-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1264.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-5647-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2320.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-5647-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3042.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-5647-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4042.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-5647-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\operatorname{Eig}_{A}(3+i)</p>
<p>&amp;=\operatorname{ker}(A-(3+i) \cdot E)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_{A}(3+i)}</p>
<p>&amp;=\operatorname{ker}\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>-1-i &amp; 1 &amp; 0 \\</p>
<p>1 &amp; -i &amp; -1 \\</p>
<p>-1 &amp; 2 &amp; -i</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_{A}(3+i)}</p>
<p>\stackrel{\mathrm{II}+i\cdot\mathrm{III}}=</p>
<p>\operatorname{ker}\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>-1-i &amp; 1 &amp; 0 \\</p>
<p>1-i &amp; i &amp; 0\\</p>
<p>-1 &amp; 2 &amp; -i</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_{A}(3+i)}</p>
<p>\stackrel{\mathrm{II}-i\cdot\mathrm{I}}=</p>
<p>\operatorname{ker}\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>-1-i &amp; 1 &amp; 0 \\</p>
<p>0&amp;0&amp; 0\\</p>
<p>-1 &amp; 2 &amp; -i</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_{A}(3+i)}</p>
<p>\stackrel{\mathrm{III}-2\cdot\mathrm{I}}=</p>
<p>\operatorname{ker}\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>-1-i &amp; 1 &amp; 0 \\</p>
<p>0&amp;0&amp; 0\\</p>
<p>1+2i &amp; 0 &amp; -i</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_{A}(3+i)}</p>
<p>\stackrel{\mathrm{III}\cdot i}=</p>
<p>\operatorname{ker}\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>-1-i &amp; 1 &amp; 0 \\</p>
<p>0&amp;0&amp; 0\\</p>
<p>-2+i &amp; 0 &amp; 1</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_{A}(3-i)}</p>
<p>&amp;=\left\{x \in \mathbb{C}^{3}:</p>
<p>x_2=(1+i)x_1, x_3=(2-i)x_1</p>
<p>\right\}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Wähle zum Beispiel <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x_1=1" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.355ex" height="1.846ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2809.1 816" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5655-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-5655-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-5655-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5655-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(572, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-5655-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1253.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-5655-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2309.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-5655-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_{A}(3+i)}</p>
<p>&amp;=\left\langle\left(\begin{array}{c}</p>
<p>1 \\</p>
<p>1+i \\</p>
<p>2-i</p>
<p>\end{array}\right)\right\rangle</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>&amp;\Rightarrow\left(\begin{array}{c}1 \\1+i \\2-i\end{array}\right) \text { ist eine Basis von } \operatorname{Eig}_{A}(3+i)</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte über $\mathbb{C}$ sowie eine Basis des zugehörigen Eigenraums der folgenden Matrix:</p><p></p><p>$A=\left(\begin{array}{ccc}2 &amp; 1 &amp; 0 \\ 1 &amp; 3 &amp; -1 \\ -1 &amp; 2 &amp; 3\end{array}\right)$</p>

<p>Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte über <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\mathbb{C}" style="vertical-align: -0.043ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.633ex" height="1.631ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -702 722 721" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5613-TEX-D-2102" d="M684 131Q684 125 672 109T633 71T573 29T489 -5T386 -19Q330 -19 276 -3T174 46T91 134T44 261Q39 283 39 341T44 421Q66 538 143 611T341 699Q344 699 364 700T395 701Q449 698 503 677T585 655Q603 655 611 662T620 678T625 694T639 702Q650 702 657 690V481L653 474Q640 467 628 472Q624 476 618 496T595 541Q562 587 507 625T390 663H381Q337 663 299 625Q212 547 212 336Q212 249 233 179Q274 30 405 30Q533 30 641 130Q658 147 666 147Q671 147 677 143T684 131ZM250 625Q264 643 261 643Q238 635 214 620T161 579T110 510T79 414Q74 384 74 341T79 268Q89 213 113 169T164 101T217 61T260 39L277 34Q270 41 264 48Q199 111 181 254Q178 281 178 344T181 434Q200 559 250 625ZM621 565V625Q617 623 613 623Q603 619 590 619H575L588 605Q608 583 610 579L621 565Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5613-TEX-D-2102"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> sowie eine Basis des zugehörigen Eigenraums der folgenden Matrix:</p><p></p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 3\end{array}\right)" style="vertical-align: -3.733ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="20.112ex" height="8.597ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2150 8889.6 3800" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5614-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-5614-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-5614-TEX-S4-239B" d="M837 1154Q843 1148 843 1145Q843 1141 818 1106T753 1002T667 841T574 604T494 299Q417 -84 417 -609Q417 -641 416 -647T411 -654Q409 -655 366 -655Q299 -655 297 -654Q292 -652 292 -643T291 -583Q293 -400 304 -242T347 110T432 470T574 813T785 1136Q787 1139 790 1142T794 1147T796 1150T799 1152T802 1153T807 1154T813 1154H819H837Z"></path><path id="MJX-5614-TEX-S4-239D" d="M843 -635Q843 -638 837 -644H820Q801 -644 800 -643Q792 -635 785 -626Q684 -503 605 -363T473 -75T385 216T330 518T302 809T291 1093Q291 1144 291 1153T296 1164Q298 1165 366 1165Q409 1165 411 1164Q415 1163 416 1157T417 1119Q417 529 517 109T833 -617Q843 -631 843 -635Z"></path><path id="MJX-5614-TEX-S4-239C" d="M413 -9Q412 -9 407 -9T388 -10T354 -10Q300 -10 297 -9Q294 -8 293 -5Q291 5 291 127V300Q291 602 292 605L296 609Q298 610 366 610Q382 610 392 610T407 610T412 609Q416 609 416 592T417 473V127Q417 -9 413 -9Z"></path><path id="MJX-5614-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-5614-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-5614-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-5614-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-5614-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-5614-TEX-S4-239E" d="M31 1143Q31 1154 49 1154H59Q72 1154 75 1152T89 1136Q190 1013 269 873T401 585T489 294T544 -8T572 -299T583 -583Q583 -634 583 -643T577 -654Q575 -655 508 -655Q465 -655 463 -654Q459 -653 458 -647T457 -609Q457 -58 371 340T100 1037Q87 1059 61 1098T31 1143Z"></path><path id="MJX-5614-TEX-S4-23A0" d="M56 -644H50Q31 -644 31 -635Q31 -632 37 -622Q69 -579 100 -527Q286 -228 371 170T457 1119Q457 1161 462 1164Q464 1165 520 1165Q575 1165 577 1164Q582 1162 582 1153T583 1093Q581 910 570 752T527 400T442 40T300 -303T89 -626Q78 -640 75 -642T61 -644H56Z"></path><path id="MJX-5614-TEX-S4-239F" d="M579 -9Q578 -9 573 -9T554 -10T520 -10Q466 -10 463 -9Q460 -8 459 -5Q457 5 457 127V300Q457 602 458 605L462 609Q464 610 532 610Q548 610 558 610T573 610T578 609Q582 609 582 592T583 473V127Q583 -9 579 -9Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5614-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1027.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-5614-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(2083.6, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-5614-TEX-S4-239B" transform="translate(0, 996)"></use><use xlink:href="#MJX-5614-TEX-S4-239D" transform="translate(0, -1006)"></use><svg width="875" height="382" y="59" x="0" viewBox="0 86.3 875 382"><use xlink:href="#MJX-5614-TEX-S4-239C" transform="scale(1, 0.924)"></use></svg></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(875, 0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 1400)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-5614-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2278, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-5614-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4167, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-5614-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-5614-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2278, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-5614-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(3778, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-5614-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-5614-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -1400)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-5614-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-5614-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2278, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-5614-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4167, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-5614-TEX-N-33"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5931, 0)"><use xlink:href="#MJX-5614-TEX-S4-239E" transform="translate(0, 996)"></use><use xlink:href="#MJX-5614-TEX-S4-23A0" transform="translate(0, -1006)"></use><svg width="875" height="382" y="59" x="0" viewBox="0 86.3 875 382"><use xlink:href="#MJX-5614-TEX-S4-239F" transform="scale(1, 0.924)"></use></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenraum mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Eigenwerte - Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenraum | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading">Eigenwerten, Räume und Vektoren</h2>
<ol>
<li>Bestimme das charakteristische Polynom von $A$ über $\chi_{A}(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda E_n)$. Ziehe dazu jeweils ein $\lambda$ von den Einträgen der Hauptdiagonalen ab und berechne anschließend die Determinante.</li>
<li>Die Eigenwerte entsprechen den Nullstellen des charakteristischen Polynoms.<br />$\chi_{A}(\lambda)=0 \quad \Rightarrow \quad \lambda_1, \ldots, \lambda_n$</li>
<li>Bestimme jeweils den Eigenraum zu jedem gefundenen Eigenwert mit $\operatorname{Eig}_{A}(\lambda_i)=\operatorname{ker}(A-\lambda_i \cdot E_n)$<br /><em>Du solltest hier bei jeder Berechnung unendlich viele Lösungen erhalten, also immer eine Lösungsmenge mit mindestens einem Parameter.</em></li>
<li>Einen passenden Eigenvektor erhälst du nun, indem du jeweils einen Vektor aus dem zugehörigen Eigenraum auswählst. Der Nullvektor ist dabei allerdings nicht zulässig.</li>
</ol>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: