Matrix invertieren

Inverse einer Matrix

Darstellungsmatrizen

Eine der wichtigsten Grundlagen bei der Rechnung mit Matrizen besteht in der Anwendung von Grundoperationen (Addition und Multiplikation). Wann diese Operationen möglich sind und wie du sie durchführst lernst du hier.

Addition und Multiplikation

Addition und Multiplikation von Matrizen

Das Transponieren einer Matrix ist ein weiteres Grundwerkzeug zum Rechnen mit Matrizen. Viele Operationen kannst du mit der Bildung der transponierten Matrix vertauschen oder vereinfachen.

Transponieren

Matrix transponieren

Den Rang einer Matrix berechnen zu können bietet die Grundlage für die Untersuchung der linearen Unabhängigkeit von Vektoren. Darüber hinaus können mit ihm Aussagen über die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen getroffen werden.

Rang

Rang einer Matrix ermitteln

Die Menge an Lösungen die man erhält wenn man eine Matrix mit jedem beliebigen Vektor $x$ multipliziert, wird als Bild der Matrix bezeichnet. Somit ist das Bild mehr oder weniger die Wertemenge einer Matrix.

Bild

Die Menge an Lösungen die man erhält wenn man eine Matrix mit jedem beliebigen Vektor <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-30-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-30-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> multipliziert, wird als Bild der Matrix bezeichnet. Somit ist das Bild mehr oder weniger die Wertemenge einer Matrix.

Bild einer Matrix

Der Kern einer Matrix ist die Menge aller Vektoren, welche bei einer Multiplikation mit ihr zu Null werden. Der Defekt gibt weiter an, aus wie vielen linear unabhängigen Vektoren dein Kern besteht.

Kern und Defekt

Kern einer Matrix

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>$$\left(\begin{array}{r}</p>
<p>3 \\</p>
<p>-5 \\</p>
<p>3</p>
<p>\end{array}\right)$$</p>

<p>Berechne zunächst das Produkt $A \vec{d}$:</p>


<p>Berechne zunächst das Produkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A \vec{d}" style="vertical-align: -0.023ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.873ex" height="2.505ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1097 1270 1107" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-383-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-383-TEX-I-1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path id="MJX-383-TEX-N-20D7" d="M377 694Q377 702 382 708T397 714Q404 714 409 709Q414 705 419 690Q429 653 460 633Q471 626 471 615Q471 606 468 603T454 594Q411 572 379 531Q377 529 374 525T369 519T364 517T357 516Q350 516 344 521T337 536Q337 555 384 595H213L42 596Q29 605 29 615Q29 622 42 635H401Q377 673 377 694Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-383-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(750,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D451" xlink:href="#MJX-383-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(427,283) translate(-250 0)"><use data-c="20D7" xlink:href="#MJX-383-TEX-N-20D7"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>$$\begin{align*}\left(\begin{array}{rr}</p>
<p>2 &amp; 1 \\</p>
<p>3 &amp; -1 \\</p>
<p>-2 &amp; 0</p>
<p>\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}</p>
<p>-1 \\</p>
<p>3</p>
<p>\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}</p>
<p>1 \\</p>
<p>-6 \\</p>
<p>2</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}$$</p>


<p>Addiere nun den Vektor $\vec{c}$ zu deinem Ergebnis dazu:</p>


<p>Addiere nun den Vektor <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\vec{c}" style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.937ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -845 433 856" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-385-TEX-I-1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path><path id="MJX-385-TEX-N-20D7" d="M377 694Q377 702 382 708T397 714Q404 714 409 709Q414 705 419 690Q429 653 460 633Q471 626 471 615Q471 606 468 603T454 594Q411 572 379 531Q377 529 374 525T369 519T364 517T357 516Q350 516 344 521T337 536Q337 555 384 595H213L42 596Q29 605 29 615Q29 622 42 635H401Q377 673 377 694Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D450" xlink:href="#MJX-385-TEX-I-1D450"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(272.1,31) translate(-250 0)"><use data-c="20D7" xlink:href="#MJX-385-TEX-N-20D7"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> zu deinem Ergebnis dazu:</p>


<p>$$\begin{align*}\left(\begin{array}{r}</p>
<p>1 \\</p>
<p>-6 \\</p>
<p>2</p>
<p>\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}</p>
<p>2 \\</p>
<p>1 \\</p>
<p>1</p>
<p>\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}</p>
<p>3 \\</p>
<p>-5 \\</p>
<p>3</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}$$</p>

<p>Berechne $A \vec{d}+\vec{c}$ mit:</p>
<p> </p>
<p>$$A=\left(\begin{array}{rr}</p>
<p>2 &amp; 1 \\</p>
<p>3 &amp; -1 \\</p>
<p>-2 &amp; 0</p>
<p>\end{array}\right) \quad \vec{c}=\left(\begin{array}{l}</p>
<p>2 \\</p>
<p>1 \\</p>
<p>1</p>
<p>\end{array}\right), \quad \vec{d}=\left(\begin{array}{r}</p>
<p>-1 \\</p>
<p>3</p>
<p>\end{array}\right)$$</p>

<p>Berechne <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A \vec{d}+\vec{c}" style="vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.619ex" height="2.667ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1097 2925.4 1179" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-381-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-381-TEX-I-1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path id="MJX-381-TEX-N-20D7" d="M377 694Q377 702 382 708T397 714Q404 714 409 709Q414 705 419 690Q429 653 460 633Q471 626 471 615Q471 606 468 603T454 594Q411 572 379 531Q377 529 374 525T369 519T364 517T357 516Q350 516 344 521T337 536Q337 555 384 595H213L42 596Q29 605 29 615Q29 622 42 635H401Q377 673 377 694Z"></path><path id="MJX-381-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-381-TEX-I-1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-381-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(750,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D451" xlink:href="#MJX-381-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(427,283) translate(-250 0)"><use data-c="20D7" xlink:href="#MJX-381-TEX-N-20D7"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1492.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-381-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(2492.4,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D450" xlink:href="#MJX-381-TEX-I-1D450"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(272.1,31) translate(-250 0)"><use data-c="20D7" xlink:href="#MJX-381-TEX-N-20D7"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> mit:</p>
<p> </p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="A=\left(\begin{array}{rr}
2 & 1 \\
3 & -1 \\
-2 & 0
\end{array}\right) \quad \vec{c}=\left(\begin{array}{l}
2 \\
1 \\
1
\end{array}\right), \quad \vec{d}=\left(\begin{array}{r}
-1 \\
3
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data-c="239E" xlink:href="#MJX-382-TEX-S4-239E" transform="translate(0,996)"></use><use data-c="23A0" xlink:href="#MJX-382-TEX-S4-23A0" transform="translate(0,-1006)"></use><svg width="875" height="382" y="59" x="0" viewBox="0 86.3 875 382"><use data-c="239F" xlink:href="#MJX-382-TEX-S4-239F" transform="scale(1,0.924)"></use></svg></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(12406.1,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-382-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(12684.1,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(13850.8,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D451" xlink:href="#MJX-382-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(427,283) translate(-250 0)"><use data-c="20D7" xlink:href="#MJX-382-TEX-N-20D7"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(14648.6,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-382-TEX-N-3D"></use></g><g 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Addition und Multiplikation mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Matrizenrechnung - Grundlagen - Addition und Multiplikation | Aufgabe 


<h2 class="content_sub_heading"><span style="font-size: 24px; font-weight: bold;">Multiplikation von Skalar und Matrix</span></h2>
<p>Bei der Multiplikation von einem Skalar mit einer Matrix wird jeder Eintrag der Matrix mit dem Skalar multipliziert. Zum Beispiel:</p>
<p> </p>
<p>\begin{align*} \quad</p>
<p>\color{#DC6955}{k} \color{#000} \cdot \left(\begin{array}{ll}</p>
<p>a_{11} &amp; a_{12} \\</p>
<p>a_{21} &amp; a_{22}</p>
<p>\end{array}\right) =</p>
<p>\left(\begin{array}{ll}</p>
<p>\color{#DC6955}{k} \color{#000} \cdot a_{11} &amp; \color{#DC6955}{k} \color{#000} \cdot a_{12} \\</p>
<p>\color{#DC6955}{k} \color{#000} \cdot a_{21} &amp; \color{#DC6955}{k} \color{#000} \cdot a_{22}</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}</p>



<h2 class="content_sub_heading"><span style="font-size: 24px; font-weight: bold;">Multiplikation von Skalar und Matrix</span></h2>
<p>Bei der Multiplikation von einem Skalar mit einer Matrix wird jeder Eintrag der Matrix mit dem Skalar multipliziert. Zum Beispiel:</p>
<p> </p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*} \quad
\color{#DC6955}{k} \color{#000} \cdot \left(\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{ll}
\color{#DC6955}{k} \color{#000} \cdot a_{11} & \color{#DC6955}{k} \color{#000} \cdot a_{12} \\
\color{#DC6955}{k} \color{#000} \cdot a_{21} & \color{#DC6955}{k} \color{#000} \cdot a_{22}
\end{array}\right)\end{align*}" style="vertical-align: -2.149ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="36.842ex" height="5.43ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1450 16284.3 2400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-624-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 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data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-624-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-624-TEX-N-32"></use><use data-c="31" xlink:href="#MJX-624-TEX-N-31" transform="translate(500,0)"></use></g></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(3562.6,0)"><g data-mml-node="mstyle" fill="#DC6955" stroke="#DC6955"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-624-TEX-I-1D458"></use></g></g><g data-mml-node="mstyle" fill="#000" stroke="#000" transform="translate(743.2,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-624-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(500.2,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-624-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-624-TEX-N-32"></use><use data-c="32" xlink:href="#MJX-624-TEX-N-32" transform="translate(500,0)"></use></g></g></g></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6861.1,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-624-TEX-S3-29"></use></g></g></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Zwei Matrizen können multipliziert werden, sofern die Spaltenanzahl der ersten Matrix der Zeilenanzahl der zweiten Matrix entspricht. Das Matrixprodukt (Ergebnismatrix) $C$ besitzt so viele Zeilen wie Matrix $A$ und Spalten wie Matrix $B$.</p>


<p>Zwei Matrizen können multipliziert werden, sofern die Spaltenanzahl der ersten Matrix der Zeilenanzahl der zweiten Matrix entspricht. Das Matrixprodukt (Ergebnismatrix) <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="C" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.719ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 760 727" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-612-TEX-I-1D436" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q484 659 454 652T382 628T299 572T226 479Q194 422 175 346T156 222Q156 108 232 58Q280 24 350 24Q441 24 512 92T606 240Q610 253 612 255T628 257Q648 257 648 248Q648 243 647 239Q618 132 523 55T319 -22Q206 -22 128 53T50 252Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJX-612-TEX-I-1D436"></use></g></g></g></svg></mjx-container> besitzt so viele Zeilen wie Matrix <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-613-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-613-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und Spalten wie Matrix <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="B" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-614-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-614-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>



<h2 class="content_sub_heading"><span style="font-size: 24px; font-weight: bold;">Multiplikation (zweier Matrizen)</span></h2>
<p>Die einzelnen Einträge $c_{ij}$ von $C$ erhälst du aus dem Skalarprodukt der $i$-ten Zeile von $A$ und der $j$-ten Spalte von $B$.</p>
<p>Zur übersichtlichen Berechnung bietet sich das Falk-Schema an. Trage dazu ein Kreuz auf und schreibe die Matrix $A$ in die untere linke Ecke und die Matrix $B$ in die obere rechte Ecke ein. Die Einträge deines Ergebnisses entstehen nun in der unteren rechten Ecke. Zum Beispiel:</p>
<p> </p>
<p>\begin{align*} \quad \begin{array}{cc|cc}</p>
<p>&amp; &amp; \color{#5FAFD2}{b_{11}} &amp; \color{#E6C84B}{b_{12}} \\</p>
<p>&amp; &amp; \color{#5FAFD2}{b_{21}} &amp; \color{#E6C84B}{b_{22}} \\</p>
<p>\hline \color{#AAC869}{a_{11}} &amp; \color{#AAC869}{a_{12}} &amp; c_{11} = \color{#AAC869}{a_{11}} \cdot \color{#5FAFD2}{b_{11}} \ \color{#000}{+} \ \color{#AAC869}{a_{12}} \cdot \color{#5FAFD2}{b_{21}} &amp; \quad c_{12} = \color{#AAC869}{a_{11}} \cdot \color{#E6C84B}{b_{12}} \ \color{#000}{+} \ \color{#AAC869}{a_{12}} \cdot \color{#E6C84B}{b_{22}} \\</p>
<p>\color{#DC6955}{a_{21}} &amp; \color{#DC6955}{a_{22}} &amp; c_{21} = \color{#DC6955}{a_{21}} \cdot \color{#5FAFD2}{b_{11}} \ \color{#000}{+} \ \color{#DC6955}{a_{22}} \cdot \color{#5FAFD2}{b_{21}} &amp; \quad c_{22} =\color{#DC6955}{a_{21}} \cdot \color{#E6C84B}{b_{12}} \ \color{#000}{+} \ \color{#DC6955}{a_{22}} \cdot \color{#E6C84B}{b_{22}}</p>
<p>\end{array}</p>
<p>\end{align*}</p>
<p> </p>


<p>Zwei Matrizen $A$, $B$ können addiert bzw. subtrahiert werden, wenn die Zeilen- und Spaltenanzahl gleich sind. Die Ergebnismatrix $C$ (Summenmatrix) besitzt die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten wie die Matrix $A$ bzw. $B$</p>


<p>Zwei Matrizen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-604-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-604-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container>, <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="B" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-605-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-605-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></mjx-container> können addiert bzw. subtrahiert werden, wenn die Zeilen- und Spaltenanzahl gleich sind. Die Ergebnismatrix <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="C" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.719ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 760 727" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-606-TEX-I-1D436" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q484 659 454 652T382 628T299 572T226 479Q194 422 175 346T156 222Q156 108 232 58Q280 24 350 24Q441 24 512 92T606 240Q610 253 612 255T628 257Q648 257 648 248Q648 243 647 239Q618 132 523 55T319 -22Q206 -22 128 53T50 252Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJX-606-TEX-I-1D436"></use></g></g></g></svg></mjx-container> (Summenmatrix) besitzt die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten wie die Matrix <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-607-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-607-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> bzw. <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="B" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-608-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-608-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>



<h2 class="content_sub_heading">Addition und Subtraktion</h2>
<p>Ist die Voraussetzung erfüllt, so addiere jeden an der gleichen Position stehenden Eintrag von $A$ und $B$ einzeln. Zum Beispiel:</p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>\quad A + B &amp;= \left( \begin{array}{cc}</p>
<p>\color{#AAC869}{a_{11}} &amp; \color{#AAC869}{a_{12}} \\</p>
<p>\color{#AAC869}{a_{21}} &amp; \color{#AAC869}{a_{22}}</p>
<p>\end{array} \right) + \left( \begin{array}{cc}</p>
<p>\color{#DC6955}{b_{11}} &amp; \color{#DC6955}{b_{12}} \\</p>
<p>\color{#DC6955}{b_{21}} &amp; \color{#DC6955}{b_{22}}</p>
<p>\end{array} \right) \\ \\</p>
<p>&amp;=\left( \begin{array}{cc}</p>
<p>\color{#AAC869}{a_{11}} \ \color{#000}{+} \ \color{#DC6955}{b_{11}}&amp; \color{#AAC869}{a_{12}} \ \color{#000}{+} \ \color{#DC6955}{b_{12}} \\</p>
<p>\color{#AAC869}{a_{21}} \ \color{#000}{+} \ \color{#DC6955}{b_{21}} &amp; \color{#AAC869}{a_{22}} \ \color{#000}{+} \ \color{#DC6955}{b_{22}}</p>
<p>\end{array} \right)</p>
<p>\end{align*}</p>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: