Matrix invertieren

Inverse einer Matrix

Darstellungsmatrizen

Eine der wichtigsten Grundlagen bei der Rechnung mit Matrizen besteht in der Anwendung von Grundoperationen (Addition und Multiplikation). Wann diese Operationen möglich sind und wie du sie durchführst lernst du hier.

Addition und Multiplikation

Addition und Multiplikation von Matrizen

Das Transponieren einer Matrix ist ein weiteres Grundwerkzeug zum Rechnen mit Matrizen. Viele Operationen kannst du mit der Bildung der transponierten Matrix vertauschen oder vereinfachen.

Transponieren

Matrix transponieren

Den Rang einer Matrix berechnen zu können bietet die Grundlage für die Untersuchung der linearen Unabhängigkeit von Vektoren. Darüber hinaus können mit ihm Aussagen über die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen getroffen werden.

Rang

Rang einer Matrix ermitteln

Die Menge an Lösungen die man erhält wenn man eine Matrix mit jedem beliebigen Vektor $x$ multipliziert, wird als Bild der Matrix bezeichnet. Somit ist das Bild mehr oder weniger die Wertemenge einer Matrix.

Bild

Die Menge an Lösungen die man erhält wenn man eine Matrix mit jedem beliebigen Vektor <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-30-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-30-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> multipliziert, wird als Bild der Matrix bezeichnet. Somit ist das Bild mehr oder weniger die Wertemenge einer Matrix.

Bild einer Matrix

Der Kern einer Matrix ist die Menge aller Vektoren, welche bei einer Multiplikation mit ihr zu Null werden. Der Defekt gibt weiter an, aus wie vielen linear unabhängigen Vektoren dein Kern besteht.

Kern und Defekt

Kern einer Matrix

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

$$\begin{align*}\operatorname{Rang}(A)=\left\{\begin{array}{ll}
2, &amp; x=\frac{1}{2} \\
3, &amp; x \neq \frac{1}{2}
\end{array}\right.\end{align*}$$

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}\operatorname{Rang}(A)=\left\{\begin{array}{ll}
2, & x=\frac{1}{2} \\
3, & x \neq \frac{1}{2}
\end{array}\right.\end{align*}" style="vertical-align: -2.827ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="23.612ex" height="6.785ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1749.5 10436.7 2999" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7-TEX-N-52" d="M130 622Q123 629 119 631T103 634T60 637H27V683H202H236H300Q376 683 417 677T500 648Q595 600 609 517Q610 512 610 501Q610 468 594 439T556 392T511 361T472 343L456 338Q459 335 467 332Q497 316 516 298T545 254T559 211T568 155T578 94Q588 46 602 31T640 16H645Q660 16 674 32T692 87Q692 98 696 101T712 105T728 103T732 90Q732 59 716 27T672 -16Q656 -22 630 -22Q481 -16 458 90Q456 101 456 163T449 246Q430 304 373 320L363 322L297 323H231V192L232 61Q238 51 249 49T301 46H334V0H323Q302 3 181 3Q59 3 38 0H27V46H60Q102 47 111 49T130 61V622ZM491 499V509Q491 527 490 539T481 570T462 601T424 623T362 636Q360 636 340 636T304 637H283Q238 637 234 628Q231 624 231 492V360H289Q390 360 434 378T489 456Q491 467 491 499Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-61" 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2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-67" d="M329 409Q373 453 429 453Q459 453 472 434T485 396Q485 382 476 371T449 360Q416 360 412 390Q410 404 415 411Q415 412 416 414V415Q388 412 363 393Q355 388 355 386Q355 385 359 381T368 369T379 351T388 325T392 292Q392 230 343 187T222 143Q172 143 123 171Q112 153 112 133Q112 98 138 81Q147 75 155 75T227 73Q311 72 335 67Q396 58 431 26Q470 -13 470 -72Q470 -139 392 -175Q332 -206 250 -206Q167 -206 107 -175Q29 -140 29 -75Q29 -39 50 -15T92 18L103 24Q67 55 67 108Q67 155 96 193Q52 237 52 292Q52 355 102 398T223 442Q274 442 318 416L329 409ZM299 343Q294 371 273 387T221 404Q192 404 171 388T145 343Q142 326 142 292Q142 248 149 227T179 192Q196 182 222 182Q244 182 260 189T283 207T294 227T299 242Q302 258 302 292T299 343ZM403 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stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use data-c="52" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-52"></use><use data-c="61" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-61" transform="translate(736,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-6E" transform="translate(1236,0)"></use><use data-c="67" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-67" transform="translate(1792,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2292,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2681,0)"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-7-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3431,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4097.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(5153.6,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="7B" xlink:href="#MJX-7-TEX-S4-7B"></use></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(806,0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,795)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(500,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-2C"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1778,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-7-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1905.6,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,394) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-345) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-32"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-814.9)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(500,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-2C"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1778,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-7-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="2260" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-2260"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1905.6,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,394) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-345) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-32"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5283.1,0) translate(0 250)"></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Bringe die Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform:

$$\begin{align*} &amp; \left(\begin{array}{ccc}
2 &amp; 0 &amp; -1 \\
2 x &amp; 1 &amp; -x \\
-1 &amp; x &amp; x
\end{array}\right) \\ \\
\overset{Z_2 -x\cdot Z_1}{\rightarrow} \ &amp; \left(\begin{array}{ccc}
2 &amp; 0 &amp; -1 \\
0 &amp; 1 &amp; 0 \\
-1 &amp; x &amp; x
\end{array}\right) \\ \\
\overset{Z_3 \cdot 2 + Z_1}{\rightarrow} \ &amp; \left(\begin{array}{ccc}
2 &amp; 0 &amp; -1 \\
0 &amp; 1 &amp; 0 \\
0 &amp; 2 x &amp; 2 x-1
\end{array}\right) \\ \\
\overset{Z_3 - 2x \cdot Z_2}{\rightarrow} \ &amp; \left(\begin{array}{ccc}
2 &amp; 0 &amp; -1 \\
0 &amp; 1 &amp; 0 \\
0 &amp; 0 &amp; 2 x-1
\end{array}\right)
\end{align*}$$

Untersuche nun den Rang der Matrix durch passende Fallunterscheidungen:

Überlege: Wann wird die letze Zeile zu einer Nullzeile?
Der untere rechte Eintrag wird zu Null wenn:

$$\begin{align*}
 2 x-1&amp;=0 \\\\
\Leftrightarrow  x&amp;=\frac{1}{2}
\end{align*}$$

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
 2 x-1&=0 \\\\
\Leftrightarrow  x&=\frac{1}{2}
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stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use data-c="52" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-52"></use><use data-c="61" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-61" transform="translate(736,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-6E" transform="translate(1236,0)"></use><use data-c="67" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-67" transform="translate(1792,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2292,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2681,0)"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3431,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4097.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(5153.6,0)"><g 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translate(0 250)"></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Bestimme den Rang der $3 \times 3$-Matrix in Abhängigkeit von $x \in \mathbb{R}$:
$$\begin{align*}
A=\left(\begin{array}{ccc}
2 &amp; 0 &amp; -1 \\
2 x &amp; 1 &amp; -x \\
-1 &amp; x &amp; x
\end{array}\right)\end{align*}$$

Bestimme den Rang der <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="3 \times 3" style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 2222.4 687" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></mjx-container>-Matrix in Abhängigkeit von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x \in \mathbb{R}" style="vertical-align: -0.09ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.694ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2516.6 723" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-2-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-2-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1794.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="211D" xlink:href="#MJX-2-TEX-D-211D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>:
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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Rang mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Matrizenrechnung - Grundlagen - Rang | Aufgabe mit Lösung

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