Resultierende und Zerlegung von Kräften

Zusammensetzung von Kräften in der Ebene

Zerlegung von Kräften in der Ebene und Komponentendarstellung

Unbekannte Kräfte ermitteln (Gleichgewicht)

Gleichgewicht in der Ebene

Beispiele zentraler ebener Kräftegruppen (Seil-, Stabkräfte, ...)

Zentrale Kräftegruppen im Raum

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

<p>\begin{align*}</p>
<p>S_{1}=\frac{\sin \beta-\cos \beta}{\sin (\alpha-\beta)} G \\</p>
<p>S_{2}=\frac{\cos \alpha-\sin \alpha}{\sin (\alpha-\beta)} G\end{align*}</p>
<p><em>Anmerkung:</em> <em>Ist einer der beiden Stäbe unter einem Winkel von $45^{\circ}$ geneigt, so ist der andere Stab ein Nullstab.</em></p>

<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
S_{1}=\frac{\sin \beta-\cos \beta}{\sin (\alpha-\beta)} G \\
S_{2}=\frac{\cos \alpha-\sin \alpha}{\sin (\alpha-\beta)} G\end{align*}" style="vertical-align: -5.029ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="20.312ex" height="11.19ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2723 8977.9 4946" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-231-TEX-I-1D446" d="M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 341Q176 383 176 462Q176 523 208 573T273 648Q302 673 343 688T407 704H418H425Q521 704 564 640Q565 640 577 653T603 682T623 704Q624 704 627 704T632 705Q645 705 645 698T617 577T585 459T569 456Q549 456 549 465Q549 471 550 475Q550 478 551 494T553 520Q553 554 544 579T526 616T501 641Q465 662 419 662Q362 662 313 616T263 510Q263 480 278 458T319 427Q323 425 389 408T456 390Q490 379 522 342T554 242Q554 216 546 186Q541 164 528 137T492 78T426 18T332 -20Q320 -22 298 -22Q199 -22 144 33L134 44L106 13Q83 -14 78 -18T65 -22Q52 -22 52 -14Q52 -11 110 221Q112 227 130 227H143Q149 221 149 216Q149 214 148 207T144 186T142 153Q144 114 160 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transform="translate(394, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-6E" transform="translate(672, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1228, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1394.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-I-1D6FD"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2182.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3183.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-63"></use><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-6F" transform="translate(444, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-73" transform="translate(944, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4521.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4687.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-I-1D6FD"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(629.7, -710)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-73"></use><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-69" transform="translate(394, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-6E" transform="translate(672, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1228, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1228, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1617, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-I-1D6FC"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2479.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3479.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-I-1D6FD"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4045.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-29"></use></g></g><rect width="5453.8" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(8043.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-I-1D43A"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -1263)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-I-1D446"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(613, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1294.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2350.1, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, 676)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-63"></use><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-6F" transform="translate(444, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-73" transform="translate(944, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1338, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1504.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-I-1D6FC"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2366.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3367.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-73"></use><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-69" transform="translate(394, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-6E" transform="translate(672, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4595.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4761.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-I-1D6FC"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(703.7, -710)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-73"></use><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-69" transform="translate(394, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-6E" transform="translate(672, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1228, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1228, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1617, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-I-1D6FC"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2479.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3479.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-I-1D6FD"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4045.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-N-29"></use></g></g><rect width="5601.8" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(8191.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-231-TEX-I-1D43A"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>
<p><em>Anmerkung:</em> <em>Ist einer der beiden Stäbe unter einem Winkel von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="45^{\circ}" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.175ex" height="1.674ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -718 1403.6 740" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-232-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-232-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path id="MJX-232-TEX-N-2218" d="M55 251Q55 328 112 386T249 444T386 388T444 249Q444 171 388 113T250 55Q170 55 113 112T55 251ZM245 403Q188 403 142 361T96 250Q96 183 141 140T250 96Q284 96 313 109T354 135T375 160Q403 197 403 250Q403 313 360 358T245 403Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-232-TEX-N-34"></use><use xlink:href="#MJX-232-TEX-N-35" transform="translate(500, 0)"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1000, 404.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-232-TEX-N-2218"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> geneigt, so ist der andere Stab ein Nullstab.</em></p>

<p>Freischneiden vom Punkt $K$ und dem Gewicht:</p>


<p>Freischneiden vom Punkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="K" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.011ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 889 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-228-TEX-I-1D43E" d="M285 628Q285 635 228 637Q205 637 198 638T191 647Q191 649 193 661Q199 681 203 682Q205 683 214 683H219Q260 681 355 681Q389 681 418 681T463 682T483 682Q500 682 500 674Q500 669 497 660Q496 658 496 654T495 648T493 644T490 641T486 639T479 638T470 637T456 637Q416 636 405 634T387 623L306 305Q307 305 490 449T678 597Q692 611 692 620Q692 635 667 637Q651 637 651 648Q651 650 654 662T659 677Q662 682 676 682Q680 682 711 681T791 680Q814 680 839 681T869 682Q889 682 889 672Q889 650 881 642Q878 637 862 637Q787 632 726 586Q710 576 656 534T556 455L509 418L518 396Q527 374 546 329T581 244Q656 67 661 61Q663 59 666 57Q680 47 717 46H738Q744 38 744 37T741 19Q737 6 731 0H720Q680 3 625 3Q503 3 488 0H478Q472 6 472 9T474 27Q478 40 480 43T491 46H494Q544 46 544 71Q544 75 517 141T485 216L427 354L359 301L291 248L268 155Q245 63 245 58Q245 51 253 49T303 46H334Q340 37 340 35Q340 19 333 5Q328 0 317 0Q314 0 280 1T180 2Q118 2 85 2T49 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-228-TEX-I-1D43E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und dem Gewicht:</p>


<p>$$\uparrow: \quad S-G=0 \quad \Rightarrow \quad S=G$$</p>


<p>\begin{align*}\begin{array}{ll}</p>
<p>\leftarrow: &amp; S+S_{1} \sin \alpha+S_{2} \sin \beta=0 \\</p>
<p>\ \downarrow: &amp; S+S_{1} \cos \alpha+S_{2} \cos \beta=0</p>
<p>\end{array}\end{align*}</p>


<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 2;">
<p>Das Seil einer Seilwinde wird reibungsfrei über den Knoten $K$ eines Stabzweischlags geführt.</p>
<p> </p>
<p>Wie groß sind die Stabkräfte, wenn am Seil ein Klotz (Gewicht $G$ ) hängt?</p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/5efc6d20af792d0067e07914.png" alt="Seil einer Seilwinde über Knoten eines Stabzweischlags" width="100%" /></p>
</div>
</div>
<p> </p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 2;">
<p>Das Seil einer Seilwinde wird reibungsfrei über den Knoten <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="K" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.011ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 889 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-226-TEX-I-1D43E" d="M285 628Q285 635 228 637Q205 637 198 638T191 647Q191 649 193 661Q199 681 203 682Q205 683 214 683H219Q260 681 355 681Q389 681 418 681T463 682T483 682Q500 682 500 674Q500 669 497 660Q496 658 496 654T495 648T493 644T490 641T486 639T479 638T470 637T456 637Q416 636 405 634T387 623L306 305Q307 305 490 449T678 597Q692 611 692 620Q692 635 667 637Q651 637 651 648Q651 650 654 662T659 677Q662 682 676 682Q680 682 711 681T791 680Q814 680 839 681T869 682Q889 682 889 672Q889 650 881 642Q878 637 862 637Q787 632 726 586Q710 576 656 534T556 455L509 418L518 396Q527 374 546 329T581 244Q656 67 661 61Q663 59 666 57Q680 47 717 46H738Q744 38 744 37T741 19Q737 6 731 0H720Q680 3 625 3Q503 3 488 0H478Q472 6 472 9T474 27Q478 40 480 43T491 46H494Q544 46 544 71Q544 75 517 141T485 216L427 354L359 301L291 248L268 155Q245 63 245 58Q245 51 253 49T303 46H334Q340 37 340 35Q340 19 333 5Q328 0 317 0Q314 0 280 1T180 2Q118 2 85 2T49 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-226-TEX-I-1D43E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> eines Stabzweischlags geführt.</p>
<p> </p>
<p>Wie groß sind die Stabkräfte, wenn am Seil ein Klotz (Gewicht <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="G" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-227-TEX-I-1D43A" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q492 659 471 656T418 643T357 615T294 567T236 496T189 394T158 260Q156 242 156 221Q156 173 170 136T206 79T256 45T308 28T353 24Q407 24 452 47T514 106Q517 114 529 161T541 214Q541 222 528 224T468 227H431Q425 233 425 235T427 254Q431 267 437 273H454Q494 271 594 271Q634 271 659 271T695 272T707 272Q721 272 721 263Q721 261 719 249Q714 230 709 228Q706 227 694 227Q674 227 653 224Q646 221 643 215T629 164Q620 131 614 108Q589 6 586 3Q584 1 581 1Q571 1 553 21T530 52Q530 53 528 52T522 47Q448 -22 322 -22Q201 -22 126 55T50 252Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-227-TEX-I-1D43A"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ) hängt?</p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/5efc6d20af792d0067e07914.png" alt="Seil einer Seilwinde über Knoten eines Stabzweischlags" width="100%" /></p>
</div>
</div>
<p> </p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Unbekannte Kräfte ermitteln (Gleichgewicht) mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Zentrale Kräftesysteme (Grundaufgaben in Ebene und Raum) - Unbekannte 


<p>Hinweis: Zwei Kräfte befinden sich im Gleichgewicht, wenn diese auf der gleichen Wirkungslinie angreifen und entgegengesetzt gleich groß sind.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Gleichgewichtsbedingung</h2>
<p>$\boldsymbol{R}=\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}=</p>
<p>\mathbf{0}$</p>



<h2 class="content_sub_heading">Gleichgewichtsbedingung</h2>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\boldsymbol{R}=\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}=
\mathbf{0}" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.167ex" height="1.891ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -686 7587.7 836" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-903-TEX-BI-1D479" d="M258 624H235Q214 624 209 626T199 639Q203 678 216 684Q220 686 422 686H446H525Q634 686 698 674T806 620Q843 583 843 535Q843 505 833 478T805 432T768 396T728 370T690 352T662 342L651 338L654 336Q658 334 667 327T688 310Q719 278 719 237Q719 222 710 165T701 94Q701 35 748 35Q775 35 793 57T819 101Q822 112 826 114T843 117H849Q881 117 881 99Q881 78 852 39T781 -11Q765 -17 728 -17Q537 -13 537 94Q537 110 552 169T567 243Q567 292 529 309Q517 316 508 316T441 318H375L374 314Q374 312 343 189T311 64Q311 62 355 62H382Q414 62 414 44Q410 6 397 2L393 0L351 1Q325 2 221 2Q147 2 108 1T65 0Q48 0 43 15Q47 54 60 60Q64 62 113 62H162L302 623Q302 624 258 624ZM687 555Q687 617 589 623Q581 624 513 624H451L420 498Q413 468 405 436T392 388L388 371Q388 369 458 369Q464 369 485 369T515 369T541 372T570 377T596 386T624 400Q649 417 664 457T683 522T687 555Z"></path><path id="MJX-903-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-903-TEX-BI-1D46D" d="M257 618H231Q198 618 198 636Q202 672 214 678L219 680H795Q801 677 804 673T808 666L809 664Q809 659 798 549T783 433Q777 424 755 424Q736 424 730 427T724 444Q724 448 725 468T727 507V524Q727 541 724 554T713 577T698 594T676 605T653 612T625 616T597 617T566 618T538 618H456L455 614Q455 611 424 491L394 371H429Q454 372 463 372T491 378T517 392T536 419T552 464Q556 481 561 484T586 488Q603 488 607 486Q616 482 616 473Q616 467 584 337T549 201Q542 192 521 192Q503 192 497 195T490 209Q490 212 492 224Q499 251 499 269Q499 288 489 296T465 306T417 308L379 309L348 188Q341 161 334 129T322 80L318 65L317 62H375H409Q430 62 438 59T447 45Q444 8 431 2L426 0L377 1Q347 2 231 2Q152 2 111 1T65 0Q48 0 43 15Q47 54 60 60Q64 62 113 62H162L163 66Q163 67 231 341T301 616Q301 618 257 618Z"></path><path id="MJX-903-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-903-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-903-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-903-TEX-B-1D7CE" d="M266 654H280H282Q500 654 524 418Q529 370 529 320Q529 125 456 52Q397 -10 287 -10Q110 -10 63 154Q45 212 45 316Q45 504 113 585Q140 618 185 636T266 654ZM374 548Q347 604 286 604Q247 604 218 575Q197 552 193 511T188 311Q188 159 196 116Q202 87 225 64T287 41Q339 41 367 87Q379 107 382 152T386 329Q386 518 374 548Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D479" xlink:href="#MJX-903-TEX-BI-1D479"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1149.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-903-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2205.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D46D" xlink:href="#MJX-903-TEX-BI-1D46D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(722,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-903-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3553.3,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-903-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(4553.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D46D" xlink:href="#MJX-903-TEX-BI-1D46D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(722,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-903-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5956.9,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-903-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(7012.7,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="1D7CE" xlink:href="#MJX-903-TEX-B-1D7CE"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>



<p>Hinweis: Die Kräfte $\boldsymbol{F}_{i}$ eines zentralen Kräftesystems können wir immer eindeutig durch eine Resultierende $\boldsymbol{R}=\sum \boldsymbol{F}_{i}$ ersetzen.</p>



<p>Hinweis: Die Kräfte <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\boldsymbol{F}_{i}" style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.299ex" height="1.895ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 1016 837.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-904-TEX-BI-1D46D" d="M257 618H231Q198 618 198 636Q202 672 214 678L219 680H795Q801 677 804 673T808 666L809 664Q809 659 798 549T783 433Q777 424 755 424Q736 424 730 427T724 444Q724 448 725 468T727 507V524Q727 541 724 554T713 577T698 594T676 605T653 612T625 616T597 617T566 618T538 618H456L455 614Q455 611 424 491L394 371H429Q454 372 463 372T491 378T517 392T536 419T552 464Q556 481 561 484T586 488Q603 488 607 486Q616 482 616 473Q616 467 584 337T549 201Q542 192 521 192Q503 192 497 195T490 209Q490 212 492 224Q499 251 499 269Q499 288 489 296T465 306T417 308L379 309L348 188Q341 161 334 129T322 80L318 65L317 62H375H409Q430 62 438 59T447 45Q444 8 431 2L426 0L377 1Q347 2 231 2Q152 2 111 1T65 0Q48 0 43 15Q47 54 60 60Q64 62 113 62H162L163 66Q163 67 231 341T301 616Q301 618 257 618Z"></path><path id="MJX-904-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D46D" xlink:href="#MJX-904-TEX-BI-1D46D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(722,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-904-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> eines zentralen Kräftesystems können wir immer eindeutig durch eine Resultierende <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\boldsymbol{R}=\sum \boldsymbol{F}_{i}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.055ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4444.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-905-TEX-BI-1D479" d="M258 624H235Q214 624 209 626T199 639Q203 678 216 684Q220 686 422 686H446H525Q634 686 698 674T806 620Q843 583 843 535Q843 505 833 478T805 432T768 396T728 370T690 352T662 342L651 338L654 336Q658 334 667 327T688 310Q719 278 719 237Q719 222 710 165T701 94Q701 35 748 35Q775 35 793 57T819 101Q822 112 826 114T843 117H849Q881 117 881 99Q881 78 852 39T781 -11Q765 -17 728 -17Q537 -13 537 94Q537 110 552 169T567 243Q567 292 529 309Q517 316 508 316T441 318H375L374 314Q374 312 343 189T311 64Q311 62 355 62H382Q414 62 414 44Q410 6 397 2L393 0L351 1Q325 2 221 2Q147 2 108 1T65 0Q48 0 43 15Q47 54 60 60Q64 62 113 62H162L302 623Q302 624 258 624ZM687 555Q687 617 589 623Q581 624 513 624H451L420 498Q413 468 405 436T392 388L388 371Q388 369 458 369Q464 369 485 369T515 369T541 372T570 377T596 386T624 400Q649 417 664 457T683 522T687 555Z"></path><path id="MJX-905-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-905-TEX-SO-2211" d="M61 748Q64 750 489 750H913L954 640Q965 609 976 579T993 533T999 516H979L959 517Q936 579 886 621T777 682Q724 700 655 705T436 710H319Q183 710 183 709Q186 706 348 484T511 259Q517 250 513 244L490 216Q466 188 420 134T330 27L149 -187Q149 -188 362 -188Q388 -188 436 -188T506 -189Q679 -189 778 -162T936 -43Q946 -27 959 6H999L913 -249L489 -250Q65 -250 62 -248Q56 -246 56 -239Q56 -234 118 -161Q186 -81 245 -11L428 206Q428 207 242 462L57 717L56 728Q56 744 61 748Z"></path><path id="MJX-905-TEX-BI-1D46D" d="M257 618H231Q198 618 198 636Q202 672 214 678L219 680H795Q801 677 804 673T808 666L809 664Q809 659 798 549T783 433Q777 424 755 424Q736 424 730 427T724 444Q724 448 725 468T727 507V524Q727 541 724 554T713 577T698 594T676 605T653 612T625 616T597 617T566 618T538 618H456L455 614Q455 611 424 491L394 371H429Q454 372 463 372T491 378T517 392T536 419T552 464Q556 481 561 484T586 488Q603 488 607 486Q616 482 616 473Q616 467 584 337T549 201Q542 192 521 192Q503 192 497 195T490 209Q490 212 492 224Q499 251 499 269Q499 288 489 296T465 306T417 308L379 309L348 188Q341 161 334 129T322 80L318 65L317 62H375H409Q430 62 438 59T447 45Q444 8 431 2L426 0L377 1Q347 2 231 2Q152 2 111 1T65 0Q48 0 43 15Q47 54 60 60Q64 62 113 62H162L163 66Q163 67 231 341T301 616Q301 618 257 618Z"></path><path id="MJX-905-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D479" xlink:href="#MJX-905-TEX-BI-1D479"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1149.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-905-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2205.6,0)"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-905-TEX-SO-2211"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3428.2,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D46D" xlink:href="#MJX-905-TEX-BI-1D46D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(722,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-905-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> ersetzen.</p>



<p>Hinweis: Eine zentrale Kräftegruppe befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Resultierenden, also die Vektorsumme der Kräfte Null ist.</p>



<p>Hinweis: Probleme, die wir mithilfe dieser Gleichgewichtsbedingung lösen können, nennen wir statisch bestimmt.</p>



<p>Hinweis: Bei mehr als zwei Unbekannten in einer zentralen ebenen Kräftegruppe ist das Problem statisch unbestimmt. Sie können wir nicht alleine mit den Gleichgewichtsbedingungen lösen</p>



<h2 class="content_sub_heading">Allgemeines Vorgehen zum Lösen von Gleichgewichtsproblem</h2>
<ol>
<li>Schneide den Körper (Punkt) frei.</li>
<li>Skizziere das Freikörperbild und darin die eingeprägten Kräfte, sowie Reaktions- und Schnittkräfte. <br />Beachte hierbei: Stabkräfte immer als Zugkräfte annehmen.</li>
<li>Wähle ein (sinnvolles) Koordinatensystem.</li>
<li>Stelle die Gleichgewichtsbedingungen auf. In der Ebenen 2 Gleichungen, im Raum 3 Gleichungen.</li>
<li>Löse die Gleichungen nach den Unbekannten auf.</li>
</ol>


<p>Merke: Ein Körper, dessen Querschnitt klein gegenüber seiner Länge ist und der <strong>nur Zugkräfte</strong> in Richtung seiner Längsachse aufnehmen kann, wird als <strong>Seil</strong> bezeichnet.</p>


<p>Merke: Die Wirkungslinien aller Kräfte schneiden sich bei einer zentralen Kräftegruppe in einem gemeinsamen Punkt.</p>


<p><span style="color: #000000;">Merke: Beim <strong>Stab</strong> ist der Querschnitt klein im Vergleich zur Länge (wie beim Seil). Anders als das Seil kann er <strong>sowohl Zug- als auch Druckkräfte</strong> in seiner Längsachsenrichtung aufnehmen kann.</span></p>


<p>Merke: Wenn sich zwei Körper berühren, dann üben sie im Berührungspunkt eine Kontaktkraft aufeinander aus. Sind sie ideal glatt, ist diese senkrecht (in Normalenrichtung) zur Berührungsebene gerichtet und die Tangentialkraft Null.</p>


<p>Hinweis: Unter der Idealbedingung einer vollkommen glatten Oberfläche, wird $T$ Null, sodass nur die Normalkraft $N$ auftritt.</p>


<p>Hinweis: Unter der Idealbedingung einer vollkommen glatten Oberfläche, wird <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="T" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.593ex" height="1.532ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 704 677" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1170-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D447" xlink:href="#MJX-1170-TEX-I-1D447"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Null, sodass nur die Normalkraft <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="N" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.009ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 888 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1171-TEX-I-1D441" d="M234 637Q231 637 226 637Q201 637 196 638T191 649Q191 676 202 682Q204 683 299 683Q376 683 387 683T401 677Q612 181 616 168L670 381Q723 592 723 606Q723 633 659 637Q635 637 635 648Q635 650 637 660Q641 676 643 679T653 683Q656 683 684 682T767 680Q817 680 843 681T873 682Q888 682 888 672Q888 650 880 642Q878 637 858 637Q787 633 769 597L620 7Q618 0 599 0Q585 0 582 2Q579 5 453 305L326 604L261 344Q196 88 196 79Q201 46 268 46H278Q284 41 284 38T282 19Q278 6 272 0H259Q228 2 151 2Q123 2 100 2T63 2T46 1Q31 1 31 10Q31 14 34 26T39 40Q41 46 62 46Q130 49 150 85Q154 91 221 362L289 634Q287 635 234 637Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D441" xlink:href="#MJX-1171-TEX-I-1D441"></use></g></g></g></svg></mjx-container> auftritt.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Komponenten der Resultierenden</h2>
<p>\[<br />R_{x}=\sum F_{i x}, \quad R_{y}=\sum F_{i y}, \quad R_{z}=\sum F_{i z}<br />\]</p>



<h2 class="content_sub_heading">Komponenten der Resultierenden</h2>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
R_{x}=\sum F_{i x}, \quad R_{y}=\sum F_{i y}, \quad R_{z}=\sum F_{i z}
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In Analogie zum Problem in der Ebene ist eine zentrale Kräftegruppe im Raum im Gleichgewicht, wenn sich ihre Resultierende zu Null addiert.


<p>Merke: Die Wirkungslinien aller Kräfte schneiden sich bei einer zentralen Kräftegruppe in einem gemeinsamen Punkt.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Gleichgewichtsbedingung</h2>
<p>\[<br />\boldsymbol{R}=\sum \boldsymbol{F}_{i}=\mathbf{0}<br />\]</p>
<p> </p>
<p>im Raum entspricht dies den drei skalaren Bedingungen:</p>
<p>\[<br />\sum F_{i x}=0, \quad \sum F_{i y}=0, \quad \sum F_{i z}=0<br />\]</p>



<h2 class="content_sub_heading">Gleichgewichtsbedingung</h2>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
\boldsymbol{R}=\sum \boldsymbol{F}_{i}=\mathbf{0}
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<p> </p>
<p>im Raum entspricht dies den drei skalaren Bedingungen:</p>
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<h2 class="content_sub_heading">Kraftvektor im Raum</h2>
<p>$\boldsymbol{F}=\boldsymbol{F}_{x}+\boldsymbol{F}_{y}+\boldsymbol{F}_{z}=F_{x} \boldsymbol{e}_{x}+F_{y} \boldsymbol{e}_{y}+F_{z} \boldsymbol{e}_{z}$</p>
<p> </p>
<p>Betrag und Richtung:<br />\[<br />\begin{aligned}<br />F &amp;=\sqrt{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}} \\<br />\cos \alpha &amp;=\frac{F_{x}}{F}, \quad \cos \beta=\frac{F_{y}}{F}, \quad \cos \gamma=\frac{F_{z}}{F}<br />\end{aligned}<br />\]</p>



<h2 class="content_sub_heading">Resultierende im Raum</h2>
<br />\begin{aligned}<br />\boldsymbol{R} &amp;=R_{x} \boldsymbol{e}_{x}+R_{y} \boldsymbol{e}_{y}+R_{z} \boldsymbol{e}_{z}=\sum\left(\boldsymbol{F}_{i x}+\boldsymbol{F}_{i y}+\boldsymbol{F}_{i z}\right) \\<br />&amp;=\sum\left(F_{i x} \boldsymbol{e}_{x}+F_{i y} \boldsymbol{e}_{y}+F_{i z} \boldsymbol{e}_{z}\right) \\<br />&amp;=\left(\sum F_{i x}\right) \boldsymbol{e}_{x}+\left(\sum F_{i y}\right) \boldsymbol{e}_{y}+\left(\sum F_{i z}\right) \boldsymbol{e}_{z}<br />\end{aligned}

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: