Resultierende und Zerlegung von Kräften

Zusammensetzung von Kräften in der Ebene

Zerlegung von Kräften in der Ebene und Komponentendarstellung

Unbekannte Kräfte ermitteln (Gleichgewicht)

Gleichgewicht in der Ebene

Beispiele zentraler ebener Kräftegruppen (Seil-, Stabkräfte, ...)

Zentrale Kräftegruppen im Raum

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>\begin{align*}</p><p>S_{1}&amp;=-\sqrt{2} G \quad(\text { Druck }) \\</p><p>S_{2}&amp;=\frac{\sqrt{6}}{2} G \quad (\text { Zug})\\</p><p>S_{3}&amp;=-\frac{\sqrt{6}}{2} G \quad(\text { Druck })</p><p>\end{align*}</p>

<p>Bei räumlichen Problemen ist es häufig zweckmäßig, die Kräfte in vektorieller Form anzugeben.</p>


<p>Gleichgewichtsbedingungen und Kräfte in vektorielle Schreibweise:</p>


<p>$\boldsymbol{S}_{1}+\boldsymbol{S}_{2}+\boldsymbol{S}_{3}+\boldsymbol{G}=0$</p>


<p>\begin{align*}\begin{array}{l}</p>
<p>S_{1}=\frac{S_{1}}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{r}</p>
<p>1 \\</p>
<p>0 \\</p>
<p>-1</p>
<p>\end{array}\right], \quad S_{2}=\frac{S_{2}}{\sqrt{6}}\left[\begin{array}{r}</p>
<p>1 \\</p>
<p>2 \\</p>
<p>-1</p>
<p>\end{array}\right], \quad S_{3}=\frac{S_{3}}{\sqrt{6}}\left[\begin{array}{r}</p>
<p>-1 \\</p>
<p>2 \\</p>
<p>-1</p>
<p>\end{array}\right], \quad</p>
<p>G=G\left[\begin{array}{r}</p>
<p>0 \\</p>
<p>0 \\</p>
<p>-1</p>
<p>\end{array}\right]</p>
<p>\end{array}\end{align*}</p>


<p>Gleichgewichtsbedingungen (Komponentenschreibweise):</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\frac{1}{\sqrt{2}} S_{1}+\frac{1}{\sqrt{6}} S_{2}-\frac{1}{\sqrt{6}} S_{3}&amp;=0 \\</p>
<p>\frac{2}{\sqrt{6}} S_{2}+\frac{2}{\sqrt{6}} S_{3}&amp;=0 \\</p>
<p>-\frac{1}{\sqrt{2}} S_{1}-\frac{1}{\sqrt{6}} S_{2}-\frac{1}{\sqrt{6}} S_{3}-G&amp;=0</p>
<p>\end{align*}</p>


<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 1;">
<p class="horizontalLayoutText">Am Knoten $K$ eines Stabsystems hängt ein Fass (Gewicht $G$ ). Gesucht sind die Stabkräfte.</p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p class="horizontalLayoutText"><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/5efc6fa0af792d0067e07919.png" alt="Ein Fass hängt an einem Stabsystem" width="264" height="166" /></p>
</div>
</div>
</div>
</div>
<p> </p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 1;">
<p class="horizontalLayoutText">Am Knoten <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="K" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.011ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 889 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-8538-TEX-I-1D43E" d="M285 628Q285 635 228 637Q205 637 198 638T191 647Q191 649 193 661Q199 681 203 682Q205 683 214 683H219Q260 681 355 681Q389 681 418 681T463 682T483 682Q500 682 500 674Q500 669 497 660Q496 658 496 654T495 648T493 644T490 641T486 639T479 638T470 637T456 637Q416 636 405 634T387 623L306 305Q307 305 490 449T678 597Q692 611 692 620Q692 635 667 637Q651 637 651 648Q651 650 654 662T659 677Q662 682 676 682Q680 682 711 681T791 680Q814 680 839 681T869 682Q889 682 889 672Q889 650 881 642Q878 637 862 637Q787 632 726 586Q710 576 656 534T556 455L509 418L518 396Q527 374 546 329T581 244Q656 67 661 61Q663 59 666 57Q680 47 717 46H738Q744 38 744 37T741 19Q737 6 731 0H720Q680 3 625 3Q503 3 488 0H478Q472 6 472 9T474 27Q478 40 480 43T491 46H494Q544 46 544 71Q544 75 517 141T485 216L427 354L359 301L291 248L268 155Q245 63 245 58Q245 51 253 49T303 46H334Q340 37 340 35Q340 19 333 5Q328 0 317 0Q314 0 280 1T180 2Q118 2 85 2T49 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-8538-TEX-I-1D43E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> eines Stabsystems hängt ein Fass (Gewicht <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="G" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-8539-TEX-I-1D43A" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q492 659 471 656T418 643T357 615T294 567T236 496T189 394T158 260Q156 242 156 221Q156 173 170 136T206 79T256 45T308 28T353 24Q407 24 452 47T514 106Q517 114 529 161T541 214Q541 222 528 224T468 227H431Q425 233 425 235T427 254Q431 267 437 273H454Q494 271 594 271Q634 271 659 271T695 272T707 272Q721 272 721 263Q721 261 719 249Q714 230 709 228Q706 227 694 227Q674 227 653 224Q646 221 643 215T629 164Q620 131 614 108Q589 6 586 3Q584 1 581 1Q571 1 553 21T530 52Q530 53 528 52T522 47Q448 -22 322 -22Q201 -22 126 55T50 252Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-8539-TEX-I-1D43A"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ). Gesucht sind die Stabkräfte.</p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p class="horizontalLayoutText"><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/5efc6fa0af792d0067e07919.png" alt="Ein Fass hängt an einem Stabsystem" width="264" height="166" /></p>
</div>
</div>
</div>
</div>
<p> </p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Unbekannte Kräfte ermitteln (Gleichgewicht) mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Zentrale Kräftesysteme (Grundaufgaben in Ebene und Raum) - Unbekannte 


<p>Hinweis: Zwei Kräfte befinden sich im Gleichgewicht, wenn diese auf der gleichen Wirkungslinie angreifen und entgegengesetzt gleich groß sind.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Gleichgewichtsbedingung</h2>
<p>$\boldsymbol{R}=\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}=</p>
<p>\mathbf{0}$</p>



<h2 class="content_sub_heading">Gleichgewichtsbedingung</h2>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\boldsymbol{R}=\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}=
\mathbf{0}" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.167ex" height="1.891ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -686 7587.7 836" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-903-TEX-BI-1D479" d="M258 624H235Q214 624 209 626T199 639Q203 678 216 684Q220 686 422 686H446H525Q634 686 698 674T806 620Q843 583 843 535Q843 505 833 478T805 432T768 396T728 370T690 352T662 342L651 338L654 336Q658 334 667 327T688 310Q719 278 719 237Q719 222 710 165T701 94Q701 35 748 35Q775 35 793 57T819 101Q822 112 826 114T843 117H849Q881 117 881 99Q881 78 852 39T781 -11Q765 -17 728 -17Q537 -13 537 94Q537 110 552 169T567 243Q567 292 529 309Q517 316 508 316T441 318H375L374 314Q374 312 343 189T311 64Q311 62 355 62H382Q414 62 414 44Q410 6 397 2L393 0L351 1Q325 2 221 2Q147 2 108 1T65 0Q48 0 43 15Q47 54 60 60Q64 62 113 62H162L302 623Q302 624 258 624ZM687 555Q687 617 589 623Q581 624 513 624H451L420 498Q413 468 405 436T392 388L388 371Q388 369 458 369Q464 369 485 369T515 369T541 372T570 377T596 386T624 400Q649 417 664 457T683 522T687 555Z"></path><path id="MJX-903-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-903-TEX-BI-1D46D" d="M257 618H231Q198 618 198 636Q202 672 214 678L219 680H795Q801 677 804 673T808 666L809 664Q809 659 798 549T783 433Q777 424 755 424Q736 424 730 427T724 444Q724 448 725 468T727 507V524Q727 541 724 554T713 577T698 594T676 605T653 612T625 616T597 617T566 618T538 618H456L455 614Q455 611 424 491L394 371H429Q454 372 463 372T491 378T517 392T536 419T552 464Q556 481 561 484T586 488Q603 488 607 486Q616 482 616 473Q616 467 584 337T549 201Q542 192 521 192Q503 192 497 195T490 209Q490 212 492 224Q499 251 499 269Q499 288 489 296T465 306T417 308L379 309L348 188Q341 161 334 129T322 80L318 65L317 62H375H409Q430 62 438 59T447 45Q444 8 431 2L426 0L377 1Q347 2 231 2Q152 2 111 1T65 0Q48 0 43 15Q47 54 60 60Q64 62 113 62H162L163 66Q163 67 231 341T301 616Q301 618 257 618Z"></path><path id="MJX-903-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-903-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-903-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-903-TEX-B-1D7CE" d="M266 654H280H282Q500 654 524 418Q529 370 529 320Q529 125 456 52Q397 -10 287 -10Q110 -10 63 154Q45 212 45 316Q45 504 113 585Q140 618 185 636T266 654ZM374 548Q347 604 286 604Q247 604 218 575Q197 552 193 511T188 311Q188 159 196 116Q202 87 225 64T287 41Q339 41 367 87Q379 107 382 152T386 329Q386 518 374 548Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D479" xlink:href="#MJX-903-TEX-BI-1D479"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1149.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-903-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2205.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D46D" xlink:href="#MJX-903-TEX-BI-1D46D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(722,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-903-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3553.3,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-903-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(4553.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D46D" xlink:href="#MJX-903-TEX-BI-1D46D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(722,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-903-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5956.9,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-903-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(7012.7,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="1D7CE" xlink:href="#MJX-903-TEX-B-1D7CE"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>



<p>Hinweis: Die Kräfte $\boldsymbol{F}_{i}$ eines zentralen Kräftesystems können wir immer eindeutig durch eine Resultierende $\boldsymbol{R}=\sum \boldsymbol{F}_{i}$ ersetzen.</p>



<p>Hinweis: Die Kräfte <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\boldsymbol{F}_{i}" style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.299ex" height="1.895ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 1016 837.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-904-TEX-BI-1D46D" d="M257 618H231Q198 618 198 636Q202 672 214 678L219 680H795Q801 677 804 673T808 666L809 664Q809 659 798 549T783 433Q777 424 755 424Q736 424 730 427T724 444Q724 448 725 468T727 507V524Q727 541 724 554T713 577T698 594T676 605T653 612T625 616T597 617T566 618T538 618H456L455 614Q455 611 424 491L394 371H429Q454 372 463 372T491 378T517 392T536 419T552 464Q556 481 561 484T586 488Q603 488 607 486Q616 482 616 473Q616 467 584 337T549 201Q542 192 521 192Q503 192 497 195T490 209Q490 212 492 224Q499 251 499 269Q499 288 489 296T465 306T417 308L379 309L348 188Q341 161 334 129T322 80L318 65L317 62H375H409Q430 62 438 59T447 45Q444 8 431 2L426 0L377 1Q347 2 231 2Q152 2 111 1T65 0Q48 0 43 15Q47 54 60 60Q64 62 113 62H162L163 66Q163 67 231 341T301 616Q301 618 257 618Z"></path><path id="MJX-904-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D46D" xlink:href="#MJX-904-TEX-BI-1D46D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(722,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-904-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> eines zentralen Kräftesystems können wir immer eindeutig durch eine Resultierende <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\boldsymbol{R}=\sum \boldsymbol{F}_{i}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.055ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4444.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-905-TEX-BI-1D479" d="M258 624H235Q214 624 209 626T199 639Q203 678 216 684Q220 686 422 686H446H525Q634 686 698 674T806 620Q843 583 843 535Q843 505 833 478T805 432T768 396T728 370T690 352T662 342L651 338L654 336Q658 334 667 327T688 310Q719 278 719 237Q719 222 710 165T701 94Q701 35 748 35Q775 35 793 57T819 101Q822 112 826 114T843 117H849Q881 117 881 99Q881 78 852 39T781 -11Q765 -17 728 -17Q537 -13 537 94Q537 110 552 169T567 243Q567 292 529 309Q517 316 508 316T441 318H375L374 314Q374 312 343 189T311 64Q311 62 355 62H382Q414 62 414 44Q410 6 397 2L393 0L351 1Q325 2 221 2Q147 2 108 1T65 0Q48 0 43 15Q47 54 60 60Q64 62 113 62H162L302 623Q302 624 258 624ZM687 555Q687 617 589 623Q581 624 513 624H451L420 498Q413 468 405 436T392 388L388 371Q388 369 458 369Q464 369 485 369T515 369T541 372T570 377T596 386T624 400Q649 417 664 457T683 522T687 555Z"></path><path id="MJX-905-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-905-TEX-SO-2211" d="M61 748Q64 750 489 750H913L954 640Q965 609 976 579T993 533T999 516H979L959 517Q936 579 886 621T777 682Q724 700 655 705T436 710H319Q183 710 183 709Q186 706 348 484T511 259Q517 250 513 244L490 216Q466 188 420 134T330 27L149 -187Q149 -188 362 -188Q388 -188 436 -188T506 -189Q679 -189 778 -162T936 -43Q946 -27 959 6H999L913 -249L489 -250Q65 -250 62 -248Q56 -246 56 -239Q56 -234 118 -161Q186 -81 245 -11L428 206Q428 207 242 462L57 717L56 728Q56 744 61 748Z"></path><path id="MJX-905-TEX-BI-1D46D" d="M257 618H231Q198 618 198 636Q202 672 214 678L219 680H795Q801 677 804 673T808 666L809 664Q809 659 798 549T783 433Q777 424 755 424Q736 424 730 427T724 444Q724 448 725 468T727 507V524Q727 541 724 554T713 577T698 594T676 605T653 612T625 616T597 617T566 618T538 618H456L455 614Q455 611 424 491L394 371H429Q454 372 463 372T491 378T517 392T536 419T552 464Q556 481 561 484T586 488Q603 488 607 486Q616 482 616 473Q616 467 584 337T549 201Q542 192 521 192Q503 192 497 195T490 209Q490 212 492 224Q499 251 499 269Q499 288 489 296T465 306T417 308L379 309L348 188Q341 161 334 129T322 80L318 65L317 62H375H409Q430 62 438 59T447 45Q444 8 431 2L426 0L377 1Q347 2 231 2Q152 2 111 1T65 0Q48 0 43 15Q47 54 60 60Q64 62 113 62H162L163 66Q163 67 231 341T301 616Q301 618 257 618Z"></path><path id="MJX-905-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D479" xlink:href="#MJX-905-TEX-BI-1D479"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1149.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-905-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2205.6,0)"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-905-TEX-SO-2211"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3428.2,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D46D" xlink:href="#MJX-905-TEX-BI-1D46D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(722,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-905-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> ersetzen.</p>



<p>Hinweis: Eine zentrale Kräftegruppe befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Resultierenden, also die Vektorsumme der Kräfte Null ist.</p>



<p>Hinweis: Probleme, die wir mithilfe dieser Gleichgewichtsbedingung lösen können, nennen wir statisch bestimmt.</p>



<p>Hinweis: Bei mehr als zwei Unbekannten in einer zentralen ebenen Kräftegruppe ist das Problem statisch unbestimmt. Sie können wir nicht alleine mit den Gleichgewichtsbedingungen lösen</p>



<h2 class="content_sub_heading">Allgemeines Vorgehen zum Lösen von Gleichgewichtsproblem</h2>
<ol>
<li>Schneide den Körper (Punkt) frei.</li>
<li>Skizziere das Freikörperbild und darin die eingeprägten Kräfte, sowie Reaktions- und Schnittkräfte. <br />Beachte hierbei: Stabkräfte immer als Zugkräfte annehmen.</li>
<li>Wähle ein (sinnvolles) Koordinatensystem.</li>
<li>Stelle die Gleichgewichtsbedingungen auf. In der Ebenen 2 Gleichungen, im Raum 3 Gleichungen.</li>
<li>Löse die Gleichungen nach den Unbekannten auf.</li>
</ol>


<p>Merke: Ein Körper, dessen Querschnitt klein gegenüber seiner Länge ist und der <strong>nur Zugkräfte</strong> in Richtung seiner Längsachse aufnehmen kann, wird als <strong>Seil</strong> bezeichnet.</p>


<p>Merke: Die Wirkungslinien aller Kräfte schneiden sich bei einer zentralen Kräftegruppe in einem gemeinsamen Punkt.</p>


<p><span style="color: #000000;">Merke: Beim <strong>Stab</strong> ist der Querschnitt klein im Vergleich zur Länge (wie beim Seil). Anders als das Seil kann er <strong>sowohl Zug- als auch Druckkräfte</strong> in seiner Längsachsenrichtung aufnehmen kann.</span></p>


<p>Merke: Wenn sich zwei Körper berühren, dann üben sie im Berührungspunkt eine Kontaktkraft aufeinander aus. Sind sie ideal glatt, ist diese senkrecht (in Normalenrichtung) zur Berührungsebene gerichtet und die Tangentialkraft Null.</p>


<p>Hinweis: Unter der Idealbedingung einer vollkommen glatten Oberfläche, wird $T$ Null, sodass nur die Normalkraft $N$ auftritt.</p>


<p>Hinweis: Unter der Idealbedingung einer vollkommen glatten Oberfläche, wird <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="T" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.593ex" height="1.532ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 704 677" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1170-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D447" xlink:href="#MJX-1170-TEX-I-1D447"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Null, sodass nur die Normalkraft <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="N" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.009ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 888 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1171-TEX-I-1D441" d="M234 637Q231 637 226 637Q201 637 196 638T191 649Q191 676 202 682Q204 683 299 683Q376 683 387 683T401 677Q612 181 616 168L670 381Q723 592 723 606Q723 633 659 637Q635 637 635 648Q635 650 637 660Q641 676 643 679T653 683Q656 683 684 682T767 680Q817 680 843 681T873 682Q888 682 888 672Q888 650 880 642Q878 637 858 637Q787 633 769 597L620 7Q618 0 599 0Q585 0 582 2Q579 5 453 305L326 604L261 344Q196 88 196 79Q201 46 268 46H278Q284 41 284 38T282 19Q278 6 272 0H259Q228 2 151 2Q123 2 100 2T63 2T46 1Q31 1 31 10Q31 14 34 26T39 40Q41 46 62 46Q130 49 150 85Q154 91 221 362L289 634Q287 635 234 637Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D441" xlink:href="#MJX-1171-TEX-I-1D441"></use></g></g></g></svg></mjx-container> auftritt.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Komponenten der Resultierenden</h2>
<p>\[<br />R_{x}=\sum F_{i x}, \quad R_{y}=\sum F_{i y}, \quad R_{z}=\sum F_{i z}<br />\]</p>



<h2 class="content_sub_heading">Komponenten der Resultierenden</h2>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
R_{x}=\sum F_{i x}, \quad R_{y}=\sum F_{i y}, \quad R_{z}=\sum F_{i z}
" style="vertical-align: -1.018ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="43.704ex" height="3.167ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -950 19317.4 1400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1201-TEX-I-1D445" d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z"></path><path id="MJX-1201-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1201-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1201-TEX-LO-2211" d="M60 948Q63 950 665 950H1267L1325 815Q1384 677 1388 669H1348L1341 683Q1320 724 1285 761Q1235 809 1174 838T1033 881T882 898T699 902H574H543H251L259 891Q722 258 724 252Q725 250 724 246Q721 243 460 -56L196 -356Q196 -357 407 -357Q459 -357 548 -357T676 -358Q812 -358 896 -353T1063 -332T1204 -283T1307 -196Q1328 -170 1348 -124H1388Q1388 -125 1381 -145T1356 -210T1325 -294L1267 -449L666 -450Q64 -450 61 -448Q55 -446 55 -439Q55 -437 57 -433L590 177Q590 178 557 222T452 366T322 544L56 909L55 924Q55 945 60 948Z"></path><path id="MJX-1201-TEX-I-1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z"></path><path id="MJX-1201-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1201-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-1201-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1201-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D445" xlink:href="#MJX-1201-TEX-I-1D445"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(792,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1201-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1524.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1201-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2580,0)"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-1201-TEX-LO-2211"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(4190.7,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D439" xlink:href="#MJX-1201-TEX-I-1D439"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(676,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-1201-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(345,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1201-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5565.1,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-1201-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(5843.1,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(7009.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D445" xlink:href="#MJX-1201-TEX-I-1D445"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(792,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1201-TEX-I-1D466"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8476,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1201-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9531.8,0)"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-1201-TEX-LO-2211"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(11142.5,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D439" xlink:href="#MJX-1201-TEX-I-1D439"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(676,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-1201-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(345,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1201-TEX-I-1D466"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(12458.9,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-1201-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(12736.9,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(13903.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D445" xlink:href="#MJX-1201-TEX-I-1D445"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(792,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-1201-TEX-I-1D467"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(15352.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1201-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(16407.9,0)"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-1201-TEX-LO-2211"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(18018.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D439" xlink:href="#MJX-1201-TEX-I-1D439"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(676,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-1201-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(345,0)"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-1201-TEX-I-1D467"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


In Analogie zum Problem in der Ebene ist eine zentrale Kräftegruppe im Raum im Gleichgewicht, wenn sich ihre Resultierende zu Null addiert.


<p>Merke: Die Wirkungslinien aller Kräfte schneiden sich bei einer zentralen Kräftegruppe in einem gemeinsamen Punkt.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Gleichgewichtsbedingung</h2>
<p>\[<br />\boldsymbol{R}=\sum \boldsymbol{F}_{i}=\mathbf{0}<br />\]</p>
<p> </p>
<p>im Raum entspricht dies den drei skalaren Bedingungen:</p>
<p>\[<br />\sum F_{i x}=0, \quad \sum F_{i y}=0, \quad \sum F_{i z}=0<br />\]</p>



<h2 class="content_sub_heading">Gleichgewichtsbedingung</h2>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
\boldsymbol{R}=\sum \boldsymbol{F}_{i}=\mathbf{0}
" style="vertical-align: -1.018ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.251ex" height="3.167ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -950 6740.7 1400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1202-TEX-BI-1D479" d="M258 624H235Q214 624 209 626T199 639Q203 678 216 684Q220 686 422 686H446H525Q634 686 698 674T806 620Q843 583 843 535Q843 505 833 478T805 432T768 396T728 370T690 352T662 342L651 338L654 336Q658 334 667 327T688 310Q719 278 719 237Q719 222 710 165T701 94Q701 35 748 35Q775 35 793 57T819 101Q822 112 826 114T843 117H849Q881 117 881 99Q881 78 852 39T781 -11Q765 -17 728 -17Q537 -13 537 94Q537 110 552 169T567 243Q567 292 529 309Q517 316 508 316T441 318H375L374 314Q374 312 343 189T311 64Q311 62 355 62H382Q414 62 414 44Q410 6 397 2L393 0L351 1Q325 2 221 2Q147 2 108 1T65 0Q48 0 43 15Q47 54 60 60Q64 62 113 62H162L302 623Q302 624 258 624ZM687 555Q687 617 589 623Q581 624 513 624H451L420 498Q413 468 405 436T392 388L388 371Q388 369 458 369Q464 369 485 369T515 369T541 372T570 377T596 386T624 400Q649 417 664 457T683 522T687 555Z"></path><path id="MJX-1202-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1202-TEX-LO-2211" d="M60 948Q63 950 665 950H1267L1325 815Q1384 677 1388 669H1348L1341 683Q1320 724 1285 761Q1235 809 1174 838T1033 881T882 898T699 902H574H543H251L259 891Q722 258 724 252Q725 250 724 246Q721 243 460 -56L196 -356Q196 -357 407 -357Q459 -357 548 -357T676 -358Q812 -358 896 -353T1063 -332T1204 -283T1307 -196Q1328 -170 1348 -124H1388Q1388 -125 1381 -145T1356 -210T1325 -294L1267 -449L666 -450Q64 -450 61 -448Q55 -446 55 -439Q55 -437 57 -433L590 177Q590 178 557 222T452 366T322 544L56 909L55 924Q55 945 60 948Z"></path><path id="MJX-1202-TEX-BI-1D46D" d="M257 618H231Q198 618 198 636Q202 672 214 678L219 680H795Q801 677 804 673T808 666L809 664Q809 659 798 549T783 433Q777 424 755 424Q736 424 730 427T724 444Q724 448 725 468T727 507V524Q727 541 724 554T713 577T698 594T676 605T653 612T625 616T597 617T566 618T538 618H456L455 614Q455 611 424 491L394 371H429Q454 372 463 372T491 378T517 392T536 419T552 464Q556 481 561 484T586 488Q603 488 607 486Q616 482 616 473Q616 467 584 337T549 201Q542 192 521 192Q503 192 497 195T490 209Q490 212 492 224Q499 251 499 269Q499 288 489 296T465 306T417 308L379 309L348 188Q341 161 334 129T322 80L318 65L317 62H375H409Q430 62 438 59T447 45Q444 8 431 2L426 0L377 1Q347 2 231 2Q152 2 111 1T65 0Q48 0 43 15Q47 54 60 60Q64 62 113 62H162L163 66Q163 67 231 341T301 616Q301 618 257 618Z"></path><path id="MJX-1202-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1202-TEX-B-1D7CE" d="M266 654H280H282Q500 654 524 418Q529 370 529 320Q529 125 456 52Q397 -10 287 -10Q110 -10 63 154Q45 212 45 316Q45 504 113 585Q140 618 185 636T266 654ZM374 548Q347 604 286 604Q247 604 218 575Q197 552 193 511T188 311Q188 159 196 116Q202 87 225 64T287 41Q339 41 367 87Q379 107 382 152T386 329Q386 518 374 548Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D479" xlink:href="#MJX-1202-TEX-BI-1D479"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1149.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1202-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2205.6,0)"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-1202-TEX-LO-2211"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3816.2,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D46D" xlink:href="#MJX-1202-TEX-BI-1D46D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(722,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-1202-TEX-I-1D456"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5110,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1202-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(6165.7,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="1D7CE" xlink:href="#MJX-1202-TEX-B-1D7CE"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>
<p> </p>
<p>im Raum entspricht dies den drei skalaren Bedingungen:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
\sum F_{i x}=0, \quad \sum F_{i y}=0, \quad \sum F_{i z}=0
" style="vertical-align: -1.018ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="38.94ex" height="3.167ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -950 17211.6 1400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1203-TEX-LO-2211" d="M60 948Q63 950 665 950H1267L1325 815Q1384 677 1388 669H1348L1341 683Q1320 724 1285 761Q1235 809 1174 838T1033 881T882 898T699 902H574H543H251L259 891Q722 258 724 252Q725 250 724 246Q721 243 460 -56L196 -356Q196 -357 407 -357Q459 -357 548 -357T676 -358Q812 -358 896 -353T1063 -332T1204 -283T1307 -196Q1328 -170 1348 -124H1388Q1388 -125 1381 -145T1356 -210T1325 -294L1267 -449L666 -450Q64 -450 61 -448Q55 -446 55 -439Q55 -437 57 -433L590 177Q590 178 557 222T452 366T322 544L56 909L55 924Q55 945 60 948Z"></path><path id="MJX-1203-TEX-I-1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z"></path><path id="MJX-1203-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1203-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1203-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1203-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-1203-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-1203-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1203-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-1203-TEX-LO-2211"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1610.7,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D439" xlink:href="#MJX-1203-TEX-I-1D439"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(676,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-1203-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(345,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1203-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3262.9,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1203-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4318.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-1203-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4818.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-1203-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(5096.6,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6263.3,0)"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-1203-TEX-LO-2211"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(7874,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D439" xlink:href="#MJX-1203-TEX-I-1D439"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(676,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-1203-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(345,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1203-TEX-I-1D466"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9468.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1203-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(10524,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-1203-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(11024,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-1203-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(11302,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(12468.6,0)"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-1203-TEX-LO-2211"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(14079.3,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D439" xlink:href="#MJX-1203-TEX-I-1D439"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(676,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-1203-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(345,0)"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-1203-TEX-I-1D467"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(15655.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1203-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(16711.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-1203-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>



<h2 class="content_sub_heading">Kraftvektor im Raum</h2>
<p>$\boldsymbol{F}=\boldsymbol{F}_{x}+\boldsymbol{F}_{y}+\boldsymbol{F}_{z}=F_{x} \boldsymbol{e}_{x}+F_{y} \boldsymbol{e}_{y}+F_{z} \boldsymbol{e}_{z}$</p>
<p> </p>
<p>Betrag und Richtung:<br />\[<br />\begin{aligned}<br />F &amp;=\sqrt{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}} \\<br />\cos \alpha &amp;=\frac{F_{x}}{F}, \quad \cos \beta=\frac{F_{y}}{F}, \quad \cos \gamma=\frac{F_{z}}{F}<br />\end{aligned}<br />\]</p>



<h2 class="content_sub_heading">Resultierende im Raum</h2>
<br />\begin{aligned}<br />\boldsymbol{R} &amp;=R_{x} \boldsymbol{e}_{x}+R_{y} \boldsymbol{e}_{y}+R_{z} \boldsymbol{e}_{z}=\sum\left(\boldsymbol{F}_{i x}+\boldsymbol{F}_{i y}+\boldsymbol{F}_{i z}\right) \\<br />&amp;=\sum\left(F_{i x} \boldsymbol{e}_{x}+F_{i y} \boldsymbol{e}_{y}+F_{i z} \boldsymbol{e}_{z}\right) \\<br />&amp;=\left(\sum F_{i x}\right) \boldsymbol{e}_{x}+\left(\sum F_{i y}\right) \boldsymbol{e}_{y}+\left(\sum F_{i z}\right) \boldsymbol{e}_{z}<br />\end{aligned}

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: