Auflagerkräfte

Schwerpunkte paralleler angreifender Kräfte

Massen- und Volumenmittelpunkt (Körper)

Flächenschwerpunkt (Ebene)

Linienschwerpunkt (Ebene)

Guldinsche Oberflächenregel und Volumenregel

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>Der Schwerpunkt der gegebenen Fläche liegt bei:</p>
<p> </p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>{x}_{S}&amp;=\frac{3}{5} b, \quad </p>
<p>{y_{S}}=\frac{47}{{100}} a</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Der Schwerpunkt der gegebenen Fläche liegt bei:</p>
<p> </p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
{x}_{S}&=\frac{3}{5} b, \quad 
{y_{S}}=\frac{47}{{100}} a
\end{align*}" style="vertical-align: -1.766ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="22.828ex" height="4.663ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1280.5 10089.9 2061" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-61-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-61-TEX-I-1D446" d="M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 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data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D446" xlink:href="#MJX-61-TEX-I-1D446"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1111.1,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-61-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,676)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-61-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-686)"><use data-c="35" xlink:href="#MJX-61-TEX-N-35"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2273.6,0)"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJX-61-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2702.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-61-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(2980.6,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(4147.2,0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-61-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D446" xlink:href="#MJX-61-TEX-I-1D446"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5454.1,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-61-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(6509.9,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(470,676)"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-61-TEX-N-34"></use><use data-c="37" xlink:href="#MJX-61-TEX-N-37" transform="translate(500,0)"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(220,-686)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-61-TEX-N-31"></use><use data-c="30" xlink:href="#MJX-61-TEX-N-30" transform="translate(500,0)"></use><use data-c="30" xlink:href="#MJX-61-TEX-N-30" transform="translate(1000,0)"></use></g></g><rect width="1700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(8449.9,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-61-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Stelle zunächst die Gleichung der Parabel auf:</p>


<p>Schreibe die Grundform einer Parabel auf:</p>


<p>\begin{align*}y=\alpha x^{2}+\beta\end{align*}</p>


<p>Bestimme die Konstanten $\alpha$ und $\beta$ aus den Endpunkten:</p>


<p>Bestimme die Konstanten <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\alpha" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.448ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 640 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-44-TEX-I-1D6FC" d="M34 156Q34 270 120 356T309 442Q379 442 421 402T478 304Q484 275 485 237V208Q534 282 560 374Q564 388 566 390T582 393Q603 393 603 385Q603 376 594 346T558 261T497 161L486 147L487 123Q489 67 495 47T514 26Q528 28 540 37T557 60Q559 67 562 68T577 70Q597 70 597 62Q597 56 591 43Q579 19 556 5T512 -10H505Q438 -10 414 62L411 69L400 61Q390 53 370 41T325 18T267 -2T203 -11Q124 -11 79 39T34 156ZM208 26Q257 26 306 47T379 90L403 112Q401 255 396 290Q382 405 304 405Q235 405 183 332Q156 292 139 224T121 120Q121 71 146 49T208 26Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D6FC" xlink:href="#MJX-44-TEX-I-1D6FC"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\beta" style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.281ex" height="2.034ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 566 899" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-45-TEX-I-1D6FD" d="M29 -194Q23 -188 23 -186Q23 -183 102 134T186 465Q208 533 243 584T309 658Q365 705 429 705H431Q493 705 533 667T573 570Q573 465 469 396L482 383Q533 332 533 252Q533 139 448 65T257 -10Q227 -10 203 -2T165 17T143 40T131 59T126 65L62 -188Q60 -194 42 -194H29ZM353 431Q392 431 427 419L432 422Q436 426 439 429T449 439T461 453T472 471T484 495T493 524T501 560Q503 569 503 593Q503 611 502 616Q487 667 426 667Q384 667 347 643T286 582T247 514T224 455Q219 439 186 308T152 168Q151 163 151 147Q151 99 173 68Q204 26 260 26Q302 26 349 51T425 137Q441 171 449 214T457 279Q457 337 422 372Q380 358 347 358H337Q258 358 258 389Q258 396 261 403Q275 431 353 431Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D6FD" xlink:href="#MJX-45-TEX-I-1D6FD"></use></g></g></g></svg></mjx-container> aus den Endpunkten:</p>


<p>Mit den Endpunkten $x_{0}=0, \ y_{0}=\frac{a}{2}$ und $x_{1}=b,\  y_{1}=\frac{3 a}{2}$ folgt:</p>


<p>Mit den Endpunkten <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x_{0}=0, \ y_{0}=\frac{a}{2}" style="vertical-align: -0.781ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.957ex" height="2.377ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705.8 6610.9 1050.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-46-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-46-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-46-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-46-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-46-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-46-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-46-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-46-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-46-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-46-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1286.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-46-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2342.1,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-46-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2842.1,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-46-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(3286.8,0)"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-46-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3536.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-46-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-46-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4741.1,0)"><use data-c="3D" 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186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-47-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-47-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1286.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-47-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2342.1,0)"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJX-47-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2771.1,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-47-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(3215.8,0)"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-47-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3465.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-47-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-47-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4670.1,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-47-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(5725.9,0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,394) scale(0.707)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-47-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-47-TEX-I-1D44E"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(407,-345) scale(0.707)"><use 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<p>\begin{align*}</p>
<p>\beta&amp;=\frac{a}{2} \\</p>
<p>\alpha&amp;=\frac{a}{b^{2}}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}\Rightarrow y=a\left(\frac{x}{b}\right)^{2}+\frac{a}{2}\end{align*}</p>


<p>Stelle einen Ausdruck für infinitisimale Flächenelement $\mathrm{d} A$ auf und löse ${x}_{S} =\frac{\int x \mathrm{d} A}{\int \mathrm{d} A}$:</p>


<p>Stelle einen Ausdruck für infinitisimale Flächenelement <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\mathrm{d} A" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.955ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 1306 727" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-50-TEX-N-64" d="M376 495Q376 511 376 535T377 568Q377 613 367 624T316 637H298V660Q298 683 300 683L310 684Q320 685 339 686T376 688Q393 689 413 690T443 693T454 694H457V390Q457 84 458 81Q461 61 472 55T517 46H535V0Q533 0 459 -5T380 -11H373V44L365 37Q307 -11 235 -11Q158 -11 96 50T34 215Q34 315 97 378T244 442Q319 442 376 393V495ZM373 342Q328 405 260 405Q211 405 173 369Q146 341 139 305T131 211Q131 155 138 120T173 59Q203 26 251 26Q322 26 373 103V342Z"></path><path id="MJX-50-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="64" xlink:href="#MJX-50-TEX-N-64"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(556,0)"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-50-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> auf und löse <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="{x}_{S} =\frac{\int x \mathrm{d} A}{\int \mathrm{d} A}" style="vertical-align: -1.415ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.773ex" height="3.962ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1125.6 4761.8 1751.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-51-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-51-TEX-I-1D446" d="M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 341Q176 383 176 462Q176 523 208 573T273 648Q302 673 343 688T407 704H418H425Q521 704 564 640Q565 640 577 653T603 682T623 704Q624 704 627 704T632 705Q645 705 645 698T617 577T585 459T569 456Q549 456 549 465Q549 471 550 475Q550 478 551 494T553 520Q553 554 544 579T526 616T501 641Q465 662 419 662Q362 662 313 616T263 510Q263 480 278 458T319 427Q323 425 389 408T456 390Q490 379 522 342T554 242Q554 216 546 186Q541 164 528 137T492 78T426 18T332 -20Q320 -22 298 -22Q199 -22 144 33L134 44L106 13Q83 -14 78 -18T65 -22Q52 -22 52 -14Q52 -11 110 221Q112 227 130 227H143Q149 221 149 216Q149 214 148 207T144 186T142 153Q144 114 160 87T203 47T255 29T308 24Z"></path><path id="MJX-51-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-51-TEX-SO-222B" d="M113 -244Q113 -246 119 -251T139 -263T167 -269Q186 -269 199 -260Q220 -247 232 -218T251 -133T262 -15T276 155T297 367Q300 390 305 438T314 512T325 580T340 647T361 703T390 751T428 784T479 804Q481 804 488 804T501 805Q552 802 581 769T610 695Q610 669 594 657T561 645Q542 645 527 658T512 694Q512 705 516 714T526 729T538 737T548 742L552 743Q552 745 545 751T525 762T498 768Q475 768 460 756T434 716T418 652T407 559T398 444T387 300T369 133Q349 -38 337 -102T303 -207Q256 -306 169 -306Q119 -306 87 -272T55 -196Q55 -170 71 -158T104 -146Q123 -146 138 -159T153 -195Q153 -206 149 -215T139 -230T127 -238T117 -242L113 -244Z"></path><path id="MJX-51-TEX-N-64" d="M376 495Q376 511 376 535T377 568Q377 613 367 624T316 637H298V660Q298 683 300 683L310 684Q320 685 339 686T376 688Q393 689 413 690T443 693T454 694H457V390Q457 84 458 81Q461 61 472 55T517 46H535V0Q533 0 459 -5T380 -11H373V44L365 37Q307 -11 235 -11Q158 -11 96 50T34 215Q34 315 97 378T244 442Q319 442 376 393V495ZM373 342Q328 405 260 405Q211 405 173 369Q146 341 139 305T131 211Q131 155 138 120T173 59Q203 26 251 26Q322 26 373 103V342Z"></path><path id="MJX-51-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-51-TEX-I-1D465"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D446" xlink:href="#MJX-51-TEX-I-1D446"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1388.9,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-51-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2444.6,0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,556) scale(0.707)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 0.5)"><use data-c="222B" xlink:href="#MJX-51-TEX-SO-222B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(776.7,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-51-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1348.7,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="64" xlink:href="#MJX-51-TEX-N-64"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1904.7,0)"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-51-TEX-I-1D434"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(422.2,-409.6) scale(0.707)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 0.5)"><use data-c="222B" xlink:href="#MJX-51-TEX-SO-222B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(776.7,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="64" xlink:href="#MJX-51-TEX-N-64"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1332.7,0)"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-51-TEX-I-1D434"></use></g></g><rect width="2077.1" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 2;">
<p>Mit dem Flächenelement $\mathrm{d} A=y \mathrm{d} x$ folgt:</p>
<p> </p>
<p>\begin{aligned}</p>
<p>{x}_{S} &amp;=\frac{\int x \mathrm{d} A}{\int \mathrm{d} A}=\frac{\int x y \mathrm{d} x}{\int y \mathrm{d} x} \\\\</p>
<p>&amp;=\frac{\int_{0}^{b} x\left[a\left(\frac{x}{b}\right)^{2}+\frac{a}{2}\right] \mathrm{d} x}{\int_{0}^{b}\left[a\left(\frac{x}{b}\right)^{2}+\frac{a}{2}\right] \mathrm{d} x} \\\\</p>
<p>&amp;=\frac{\frac{1}{2} a b^{2}}{\frac{5}{6} a b} =\frac{3}{5} b</p>
<p>\end{aligned}</p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/5efc8914af792d0067e07936.png" alt="Parabel Flächenelement" width="182" height="182" /></p>
</div>
</div>


<p>Bestimmung von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y_S" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.328ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1029.1 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-54-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-54-TEX-I-1D446" d="M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 341Q176 383 176 462Q176 523 208 573T273 648Q302 673 343 688T407 704H418H425Q521 704 564 640Q565 640 577 653T603 682T623 704Q624 704 627 704T632 705Q645 705 645 698T617 577T585 459T569 456Q549 456 549 465Q549 471 550 475Q550 478 551 494T553 520Q553 554 544 579T526 616T501 641Q465 662 419 662Q362 662 313 616T263 510Q263 480 278 458T319 427Q323 425 389 408T456 390Q490 379 522 342T554 242Q554 216 546 186Q541 164 528 137T492 78T426 18T332 -20Q320 -22 298 -22Q199 -22 144 33L134 44L106 13Q83 -14 78 -18T65 -22Q52 -22 52 -14Q52 -11 110 221Q112 227 130 227H143Q149 221 149 216Q149 214 148 207T144 186T142 153Q144 114 160 87T203 47T255 29T308 24Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-54-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D446" xlink:href="#MJX-54-TEX-I-1D446"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>Wenn du die Flächenelemente $(b-x) \mathrm{d} y$ verwendest, so treten komplizierte Integrale auf. Nutze daher weiter das Flächenelement $\mathrm{d} A=y \mathrm{d} x$ und berücksichtige, dass der Schwerpunkt des Elements in $y$ -Richtung bei $y / 2$ liegt.</p>


<p>Wenn du die Flächenelemente <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(b-x) \mathrm{d} y" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.157ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4047.4 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-55-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-55-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path id="MJX-55-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-55-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-55-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-55-TEX-N-64" d="M376 495Q376 511 376 535T377 568Q377 613 367 624T316 637H298V660Q298 683 300 683L310 684Q320 685 339 686T376 688Q393 689 413 690T443 693T454 694H457V390Q457 84 458 81Q461 61 472 55T517 46H535V0Q533 0 459 -5T380 -11H373V44L365 37Q307 -11 235 -11Q158 -11 96 50T34 215Q34 315 97 378T244 442Q319 442 376 393V495ZM373 342Q328 405 260 405Q211 405 173 369Q146 341 139 305T131 211Q131 155 138 120T173 59Q203 26 251 26Q322 26 373 103V342Z"></path><path id="MJX-55-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-55-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJX-55-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1040.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-55-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2040.4,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-55-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2612.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-55-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(3001.4,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="64" xlink:href="#MJX-55-TEX-N-64"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3557.4,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-55-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></mjx-container> verwendest, so treten komplizierte Integrale auf. Nutze daher weiter das Flächenelement <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\mathrm{d} A=y \mathrm{d} x" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.632ex" height="2.084ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 4257.6 921" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-56-TEX-N-64" d="M376 495Q376 511 376 535T377 568Q377 613 367 624T316 637H298V660Q298 683 300 683L310 684Q320 685 339 686T376 688Q393 689 413 690T443 693T454 694H457V390Q457 84 458 81Q461 61 472 55T517 46H535V0Q533 0 459 -5T380 -11H373V44L365 37Q307 -11 235 -11Q158 -11 96 50T34 215Q34 315 97 378T244 442Q319 442 376 393V495ZM373 342Q328 405 260 405Q211 405 173 369Q146 341 139 305T131 211Q131 155 138 120T173 59Q203 26 251 26Q322 26 373 103V342Z"></path><path id="MJX-56-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 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class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-57-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 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429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-58-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(490,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2F" xlink:href="#MJX-58-TEX-N-2F"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(990,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-58-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></mjx-container> liegt.</p>


<p>Löse also ${y_{S}}=\frac{\int \frac{y}{2} y \mathrm{d} x}{\frac{5}{6} a b}$ (die Fläche im Nenner ist dieselbe wie vorher):</p>


<p>Löse also <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="{y_{S}}=\frac{\int \frac{y}{2} y \mathrm{d} x}{\frac{5}{6} a b}" style="vertical-align: -1.599ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.441ex" height="4.208ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1153.5 5057.1 1860.1" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-59-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 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151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-59-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path id="MJX-59-TEX-N-36" d="M42 313Q42 476 123 571T303 666Q372 666 402 630T432 550Q432 525 418 510T379 495Q356 495 341 509T326 548Q326 592 373 601Q351 623 311 626Q240 626 194 566Q147 500 147 364L148 360Q153 366 156 373Q197 433 263 433H267Q313 433 348 414Q372 400 396 374T435 317Q456 268 456 210V192Q456 169 451 149Q440 90 387 34T253 -22Q225 -22 199 -14T143 16T92 75T56 172T42 313ZM257 397Q227 397 205 380T171 335T154 278T148 216Q148 133 160 97T198 39Q222 21 251 21Q302 21 329 59Q342 77 347 104T352 209Q352 289 347 316T329 361Q302 397 257 397Z"></path><path id="MJX-59-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-59-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-59-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D446" xlink:href="#MJX-59-TEX-I-1D446"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1306.9,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-59-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2362.6,0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,584) scale(0.707)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 0.5)"><use data-c="222B" xlink:href="#MJX-59-TEX-SO-222B"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(776.7,0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(223.5,485) scale(0.707)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-59-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-345) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-59-TEX-N-32"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1570.2,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-59-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(2060.2,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="64" xlink:href="#MJX-59-TEX-N-64"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2616.2,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-59-TEX-I-1D465"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(727.9,-451.6) scale(0.707)"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,394) scale(0.707)"><use data-c="35" xlink:href="#MJX-59-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-345) scale(0.707)"><use data-c="36" xlink:href="#MJX-59-TEX-N-36"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(793.6,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-59-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1322.6,0)"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJX-59-TEX-I-1D44F"></use></g></g><rect width="2454.4" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> (die Fläche im Nenner ist dieselbe wie vorher):</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>{y_{S}}&amp;=\frac{\int \frac{y}{2} y \mathrm{d} x}{\frac{5}{6} a b}\\ \\</p>
<p>&amp;=\frac{6}{10 a b} \int_{0}^{b}\left(a^{2} \frac{x^{4}}{b^{4}}+\frac{a^{2}}{b^{2}} x^{2}+\frac{a^{2}}{4}\right) \mathrm{d} x \\ \\</p>
<p>&amp;=\frac{47}{{100}} a</p>
<p>\end{align*}</p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 2;">
<p>Die dargestellte Fläche wird nach oben durch eine quadratische Parabel mit dem Scheitel bei $x=0$ begrenzt.</p>
<p> </p>
<p>Bestimme die Schwerpunktskoordinaten $x_S$ und $y_S$.</p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/5efc887eaf792d0067e07935.png" alt="quadratische Parabel" width="214" height="179" /></p>
</div>
</div>
<p> </p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 2;">
<p>Die dargestellte Fläche wird nach oben durch eine quadratische Parabel mit dem Scheitel bei <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x=0" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-40-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-40-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-40-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-40-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-40-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-40-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container> begrenzt.</p>
<p> </p>
<p>Bestimme die Schwerpunktskoordinaten <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x_S" style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.514ex" height="1.375ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1111.1 607.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-41-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-41-TEX-I-1D446" d="M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 341Q176 383 176 462Q176 523 208 573T273 648Q302 673 343 688T407 704H418H425Q521 704 564 640Q565 640 577 653T603 682T623 704Q624 704 627 704T632 705Q645 705 645 698T617 577T585 459T569 456Q549 456 549 465Q549 471 550 475Q550 478 551 494T553 520Q553 554 544 579T526 616T501 641Q465 662 419 662Q362 662 313 616T263 510Q263 480 278 458T319 427Q323 425 389 408T456 390Q490 379 522 342T554 242Q554 216 546 186Q541 164 528 137T492 78T426 18T332 -20Q320 -22 298 -22Q199 -22 144 33L134 44L106 13Q83 -14 78 -18T65 -22Q52 -22 52 -14Q52 -11 110 221Q112 227 130 227H143Q149 221 149 216Q149 214 148 207T144 186T142 153Q144 114 160 87T203 47T255 29T308 24Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-41-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D446" xlink:href="#MJX-41-TEX-I-1D446"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y_S" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.328ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1029.1 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-42-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-42-TEX-I-1D446" d="M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 341Q176 383 176 462Q176 523 208 573T273 648Q302 673 343 688T407 704H418H425Q521 704 564 640Q565 640 577 653T603 682T623 704Q624 704 627 704T632 705Q645 705 645 698T617 577T585 459T569 456Q549 456 549 465Q549 471 550 475Q550 478 551 494T553 520Q553 554 544 579T526 616T501 641Q465 662 419 662Q362 662 313 616T263 510Q263 480 278 458T319 427Q323 425 389 408T456 390Q490 379 522 342T554 242Q554 216 546 186Q541 164 528 137T492 78T426 18T332 -20Q320 -22 298 -22Q199 -22 144 33L134 44L106 13Q83 -14 78 -18T65 -22Q52 -22 52 -14Q52 -11 110 221Q112 227 130 227H143Q149 221 149 216Q149 214 148 207T144 186T142 153Q144 114 160 87T203 47T255 29T308 24Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-42-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D446" xlink:href="#MJX-42-TEX-I-1D446"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/5efc887eaf792d0067e07935.png" alt="quadratische Parabel" width="214" height="179" /></p>
</div>
</div>
<p> </p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Flächenschwerpunkt (Ebene) mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: