Orthogonaltrajektorien

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Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Triviale DGL

Triviale Differentialgleichungen

Trennung der Variablen (Separation)

Trennung der Variablen

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Variation der Konstanten

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Dies ist eine Zusammenfassung der Theorie zu: Variation der Konstanten (inhomogen)

Variation der Konstanten | Theorie Zusammenfassung

<p>Mit der Variation der Konstanten lassen sich inhomogene lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung der Form $y^{\prime} + a(x)\cdot{y} = b(x)$ lösen.</p>
<div id="5f09f2795005ddd9aae7d618" class="mceNonEditable extraContainerVorgehen">
<div class="extraContainerVorgehenHeader mceNonEditable">
<div class="icon-vorgehen"> </div>
Vorgehen</div>
<div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Variation der Konstanten</h2>
<ol>
<li>Bringe die lineare DGL 1. Ordnung zunächst in die Form $y^{\prime} + a(x)\cdot{y} = b(x)$</li>
<li>Löse dann die homogene lineare DGL 1. Ordnung $y^{\prime} + a(x)\cdot{y} = 0$ mittels Trennung der Variablen<br />Das Ergebnis ist von der Form $y(x) = c{\cdot}e^{-A(x)}$</li>
<li>Jetzt kommt die Variation der Konstanten ins Spiel: Ersetze die Konstante $c$ durch eine Funktion $c(x)$, die von $x$ abhängt. <br />$\quad y(x) = c(x){\cdot}e^{-A(x)}$</li>
<li>Setze diesen Ausdruck für $y(x)$ und seine  Ableitungen in die zu lösende DGL ( $y^{\prime} + a(x)\cdot{y} = b(x)$) ein und löse nach $c^{\prime}(x)$ auf.</li>
</ol>
</div>
</div>
<p>Zu Schritt vier ist hier eine beispielhafte Rechnung für das Auflösen nach $c^{\prime}(x)$:</p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>\left[ c(x) e^{-A(x)} \right]^{\prime}+a(x)\cdot c(x) e^{-A(x)} &amp;= b(x) \\<br />\Leftrightarrow  c^{\prime}(x)e^{-A(x)}-c(x)e^{-A(x)}a(x)+a(x)\cdot c(x) e^{-A(x)} &amp;= b(x) \\<br />\Leftrightarrow \quad c^{\prime}(x)e^{-A(x)}&amp;=b(x)\\<br />\Leftrightarrow \quad c^{\prime}(x)&amp;=b(x)e^{A(x)}\end{align*}</p>


<p>Eine <strong>Alternative </strong>für das Vorgehen der Variation der Konstanten ist die folgende Formel:</p>
<div id="5f09f2d15005ddd9aae7d6b6" class="mceNonEditable extraContainerFormel">
<div class="extraContainerFormelHeader mceNonEditable">
<div class="icon-formel"> </div>
Formel</div>
<div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Lösung inhomogener linearer DGL</h2>
<p>Eine inhomogene lineare Differentialgleichung der Form $y^{\prime} + a(x)\cdot{y} = b(x)$ kann mit folgender Formel gelöst werden:<br />$$\quad y=e^{-P(x)}\left(c+\int e^{A(x)} b(x) d x\right)$$<br />Wobei $A(x)$ die Stammfunktion von $a(x)$ ist und $c$ eine Konstante, die mit Hilfe einer Anfangsbedingung ermittelt werden kann.</p>
</div>
</div>

Variation der Konstanten

Variation der Konstanten

Lösung inhomogener linearer DGL

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Variation der Konstanten (inhomogen)