Variation der Konstanten (inhomogen)

Theorie:

Anfangswertproblem

auch Anfangswertaufgabe oder Cauchy-Problem.

 

Definition

Anfangswertproblem (AWP)

Ein Anfangswertproblem (AWP) ist einfach eine DGL, zu der Anfangswerte gegeben sind, also .

Häufig ist nur ein und ein (z.B. in der Form ) gegeben. 
Um ein AWP zu lösen, löst du wie gewohnt die DGL, erstmal ohne die Anfangswerte zu beachten. 
Die Parameter, die in deiner Lösung auftauchen, kannst du dann durch Einsetzen der gegebenen Anfangswerte ermitteln, indem du nach den Konstanten umstellst.

Vorgehen

Anfangswertproblem lösen

  1. Löse die DGL.

  2. Stelle die Lösung deiner DGL nach dem unbekannten Parameter um.
    Falls die Parameter sich nicht zusammenfassen lassen, musst du das lineare Gleichungssystem mit mehreren Variablen lösen. 

  3. Setze den Anfangswert ein und berechne die Parameter.

  4. Setze die berechneten Parameter in deine Lösung ein.

Variation der Konstanten

Mit der Variation der Konstanten lassen sich inhomogene lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung der Form lösen.

 
Vorgehen

Variation der Konstanten

  1. Bringe die lineare DGL 1. Ordnung zunächst in die Form
  2. Löse dann die homogene lineare DGL 1. Ordnung mittels Trennung der Variablen
    Das Ergebnis ist von der Form
  3. Jetzt kommt die Variation der Konstanten ins Spiel: Ersetze die Konstante durch eine Funktion , die von abhängt. 
  4. Setze diesen Ausdruck für und seine  Ableitungen in die zu lösende DGL ( ) ein und löse nach auf.

Zu Schritt vier ist hier eine beispielhafte Rechnung für das Auflösen nach :

Eine Alternative für das Vorgehen der Variation der Konstanten ist die folgende Formel:

 
Formel

Lösung inhomogener linearer DGL

Eine inhomogene lineare Differentialgleichung der Form kann mit folgender Formel gelöst werden:

Wobei die Stammfunktion von ist und eine Konstante, die mit Hilfe einer Anfangsbedingung ermittelt werden kann.

Aufgaben:

Aufgabe 1

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems:

Aufgabe 2

Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung:

Aufgabe 3

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems:

Aufgabe 4

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL:

Aufgabe 5

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems:

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