Exakte DGL

Trennung der Variablen (Separation)

Trennung der Variablen

Anfangswertproblem

Satz von Picard-Lindelöf (Existenz der Lösung)

Satz von Picard-Lindelöf 

Bernoullische DGL

Riccatti-DGL

Riccatische DGL

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>\begin{align*}y(x)=\frac{1}{c \cdot e^{3 x}+\frac{4}{3}}\end{align*} mit $c \in \mathbb{R}$</p>

<p>Es wäre möglich hier Separation der Variablen zu verwenden. Alledings gäbe es dann ein sehr unschönes Integral zu Lösen.</p>


<p>Benutze hier die Lösungsvariante für Bernoullische Differentialgleichungen.</p>


<p>Wenn die DGL der Form: $y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{\alpha}=0$ ist, dann transformiere $z=y^{1-\alpha}$.</p>


<p>Wenn die DGL der Form: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{\alpha}=0" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="26.456ex" height="2.283ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 11693.3 1009" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9096-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 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transform="translate(8867.2, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9096-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(490, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9096-TEX-I-1D6FC"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(10137.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-9096-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(11193.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-9096-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist, dann transformiere <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z=y^{1-\alpha}" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.359ex" height="2.351ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 3694.8 1038.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9097-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 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-205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-9097-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-9097-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-9097-TEX-I-1D6FC" d="M34 156Q34 270 120 356T309 442Q379 442 421 402T478 304Q484 275 485 237V208Q534 282 560 374Q564 388 566 390T582 393Q603 393 603 385Q603 376 594 346T558 261T497 161L486 147L487 123Q489 67 495 47T514 26Q528 28 540 37T557 60Q559 67 562 68T577 70Q597 70 597 62Q597 56 591 43Q579 19 556 5T512 -10H505Q438 -10 414 62L411 69L400 61Q390 53 370 41T325 18T267 -2T203 -11Q124 -11 79 39T34 156ZM208 26Q257 26 306 47T379 90L403 112Q401 255 396 290Q382 405 304 405Q235 405 183 332Q156 292 139 224T121 120Q121 71 146 49T208 26Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9097-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(742.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-9097-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1798.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9097-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(490, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-9097-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(500, 0)"><use xlink:href="#MJX-9097-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1278, 0)"><use xlink:href="#MJX-9097-TEX-I-1D6FC"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>


<p>Hier ist $a=2$ und somit $y=z^{-1}$</p>
<p>Setze in die DGL ein:</p>


<p>Hier ist <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a=2" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.345ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2362.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9098-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-9098-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-9098-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9098-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(806.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-9098-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1862.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-9098-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und somit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y=z^{-1}" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.335ex" height="2.351ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 3242.2 1038.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9099-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-9099-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-9099-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-9099-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-9099-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9099-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-9099-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1823.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9099-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(465, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-9099-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-9099-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>
<p>Setze in die DGL ein:</p>


<p>\begin{align*}z^{\prime}-3 \cdot z+4=0\end{align*}</p>


<p>Es handelt sich um eine lineare DGL erster Ordnung. </p>


<p>Löse zuerst die homogene Version:</p>


<p>\begin{aligned}</p>
<p>z_{h}^{\prime}-3 \cdot z_{h} &amp;=0 \\</p>
<p>z_{h}^{\prime} &amp;=3 \cdot z_{h}</p>
<p>\end{aligned}</p>


<p>Setze $z^{\prime}=\frac{d z}{d x}$ und integriere:</p>


<p>Setze <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z^{\prime}=\frac{d z}{d x}" style="vertical-align: -0.798ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.365ex" height="2.8ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -884.7 3255.2 1237.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9102-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-9102-TEX-N-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path><path id="MJX-9102-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-9102-TEX-I-1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path id="MJX-9102-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9102-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(465, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9102-TEX-N-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(987.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-9102-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2043, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(257.8, 394) scale(0.707)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9102-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(520, 0)"><use xlink:href="#MJX-9102-TEX-I-1D467"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9102-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(520, 0)"><use xlink:href="#MJX-9102-TEX-I-1D465"></use></g></g><rect width="972.2" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> und integriere:</p>


<p>\begin{aligned}</p>
<p>\frac{1}{z_{h}} d z_{h} &amp;=3 \mathrm{d} x \\</p>
<p>\frac{1}{z_{h}} \mathrm{d} z_{h} &amp;=\int 3 \mathrm{d} x \\</p>
<p>\ln \left|z_{h}\right| &amp;=3 x+c \\</p>
<p>z_{h}(x) &amp;=c \cdot e^{3 x} \quad \quad \operatorname{mit} c \in \mathbb{R}</p>
<p>\end{aligned}</p>


<p>Setze <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z_{h}(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.141ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2272.3 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9104-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-9104-TEX-I-210E" d="M137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 685Q294 674 258 534Q220 386 220 383Q220 381 227 388Q288 442 357 442Q411 442 444 415T478 336Q478 285 440 178T402 50Q403 36 407 31T422 26Q450 26 474 56T513 138Q516 149 519 151T535 153Q555 153 555 145Q555 144 551 130Q535 71 500 33Q466 -10 419 -10H414Q367 -10 346 17T325 74Q325 90 361 192T398 345Q398 404 354 404H349Q266 404 205 306L198 293L164 158Q132 28 127 16Q114 -11 83 -11Q69 -11 59 -2T48 16Q48 30 121 320L195 616Q195 629 188 632T149 637H128Q122 643 122 645T124 664Q129 683 137 683Z"></path><path id="MJX-9104-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-9104-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-9104-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9104-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(465, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9104-TEX-I-210E"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(922.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-9104-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1311.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-9104-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1883.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-9104-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> in die DGL ein:</p>


<p>\begin{aligned}</p>
<p>z^{\prime}-3 z+4 &amp;=0 \\</p>
<p>\left(c(x) \cdot e^{3 x}\right)^{\prime}-3 \cdot c(x) \cdot e^{3 x}+4 &amp;=0 \\</p>
<p>c^{\prime}(x) \cdot e^{3 x}+c(x) \cdot 3 \cdot e^{3 x}-3 \cdot c(x) \cdot e^{3 x}+4 &amp;=0 \\</p>
<p>c^{\prime}(x) \cdot e^{3 x} &amp;=-4 \\</p>
<p>c^{\prime}(x) &amp;=-4 \cdot e^{-3 x}</p>
<p>\end{aligned}</p>


<p>Integriere <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="c^{\prime}(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.587ex" height="2.283ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 2027.5 1009" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9106-TEX-I-1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path><path id="MJX-9106-TEX-N-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path><path id="MJX-9106-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-9106-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-9106-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9106-TEX-I-1D450"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(433, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9106-TEX-N-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(677.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-9106-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1066.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-9106-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1638.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-9106-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>c(x)&amp;=\int-4 \cdot e^{-3 x} \mathrm{d} x \\</p>
<p>&amp;=\frac{4}{3} e^{-3 x}+k</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Setze <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="c(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.034ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1783 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9108-TEX-I-1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path><path id="MJX-9108-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-9108-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-9108-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9108-TEX-I-1D450"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(433, 0)"><use xlink:href="#MJX-9108-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(822, 0)"><use xlink:href="#MJX-9108-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1394, 0)"><use xlink:href="#MJX-9108-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> in <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z_{h}(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.141ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2272.3 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9109-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-9109-TEX-I-210E" d="M137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 685Q294 674 258 534Q220 386 220 383Q220 381 227 388Q288 442 357 442Q411 442 444 415T478 336Q478 285 440 178T402 50Q403 36 407 31T422 26Q450 26 474 56T513 138Q516 149 519 151T535 153Q555 153 555 145Q555 144 551 130Q535 71 500 33Q466 -10 419 -10H414Q367 -10 346 17T325 74Q325 90 361 192T398 345Q398 404 354 404H349Q266 404 205 306L198 293L164 158Q132 28 127 16Q114 -11 83 -11Q69 -11 59 -2T48 16Q48 30 121 320L195 616Q195 629 188 632T149 637H128Q122 643 122 645T124 664Q129 683 137 683Z"></path><path id="MJX-9109-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-9109-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-9109-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9109-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(465, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9109-TEX-I-210E"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(922.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-9109-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1311.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-9109-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1883.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-9109-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ein:</p>


<p>\begin{aligned}</p>
<p>z(x) &amp;=c(x) \cdot e^{3 x} \\</p>
<p>&amp;=\left(\frac{4}{3} e^{-3 x}+k\right) \cdot e^{3 x} \\</p>
<p>&amp;=k \cdot e^{3 x}+\frac{4}{3}</p>
<p>\end{aligned}</p>


<p>\begin{align*}y(x)&amp;=z(x)^{-1}\\</p>
<p>&amp;=\frac{1}{z(x)}\\</p>
<p>&amp;=\frac{1}{c \cdot e^{3 x}+\frac{4}{3}}\end{align*}</p>

<p>Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.</p>
<p>$$</p>
<p>y^{\prime}+3 y-4 y^{2}=0</p>
<p>$$</p>

<p>Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.</p>
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
y^{\prime}+3 y-4 y^{2}=0
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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Bernoullische DGL mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Nicht lineare DGL - Bernoullische DGL | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading">Bernoullische DGL</h2>
<p>Bernoullische Differentialgleichungen haben die Form:<br />$$y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{\alpha}=0$$</p>



<h2 class="content_sub_heading">Bernoullische DGL</h2>
<p>Bernoullische Differentialgleichungen haben die Form:<br /><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{\alpha}=0" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="26.605ex" height="2.396ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -809 11759.3 1059" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-761-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 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<h2 class="content_heading">Gewöhnliche DGL Lösungsansätze Übersicht</h2>
<p><span style="font-size: 18px; font-weight: bold;">Separierbare DGL 1. Ordnung<br /></span></p>
<p><span style="color: #000000;">Form: </span>$y^{\prime}=f(x) \cdot g(y)$</p>
<p>Lösung mithilfe Trennung der Variablen:</p>
<p style="padding-left: 40px;">$$\int \frac{1}{g(y)} d y=\int f(x) d x$$</p>
<p> </p>
<p><span style="font-size: 18px; font-weight: bold;">Durch Substitution lösbare DGL</span><br />Form: $\mathrm{y}^{\prime}=\mathrm{f}(\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{c})$ mit $b \neq 0$<br />Lösung durch Substitution und Trennung der Variablen:</p>
<p style="padding-left: 40px;">Substituiere: $u=a x+b y+c$, somit ist $y^{\prime}=f(u)$<br />Dann ist $u^{\prime}=\frac{d u}{d x}=a+b \frac{d y}{d x}=1 \cdot(a+b \cdot f(u))$<br />Durch Trennung der Variablen erhältst du die Lösung von $u(x)$. Die Rücksubstitution liefert dir dann $y(x)$</p>
<p> </p>
<h2 class="content_heading"><strong><span style="font-size: 24px;">Lineare DGLs</span></strong></h2>
<p>Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen DGL setzt sich aus <br />1. der allgemeinen Lösung $\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})$ der zugehörigen homogenen DGL<br />2. der partikulären Lösung $\mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})$ der inhomogenen DGL zusammen: <br />$\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})+\mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})$</p>
<p> </p>
<p><span style="font-size: 18px; font-weight: bold;">Homogene lineare DGL 1. Ordnung<br /></span>Form: $\mathrm{y}^{\prime}+\mathrm{f}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{y}=0$<br />Die allgemeine Lösung lautet:</p>
<p style="padding-left: 40px;">$\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{C} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{F}(\mathrm{x})}$, wobei $\mathrm{F}(\mathrm{x})=\int \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{d} \mathrm{x}$ und $\mathrm{C} \in \mathrm{R}$.</p>
<p> </p>
<p><span style="font-size: 18px; font-weight: bold;">Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung<br /></span>Form: $\mathrm{y}^{\prime}+\mathrm{a}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{y}=\mathrm{b}(\mathrm{x})$<br />Lösung durch Variation der Konstanten:</p>
<p style="padding-left: 40px;">$\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{c}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{A}(\mathrm{x})}$, wobei $c(x)=\int b(x) \cdot e^{+A(x)} d x$ und $\mathrm{A}(\mathrm{x})=\int \mathrm{a}(\mathrm{x}) \mathrm{d} \mathrm{x}$</p>
<p> </p>
<p><span style="font-size: 18px; font-weight: bold;">Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten<br /></span>Form: $y^{\prime}+a_{0} y=g(x)$, wobei $a_{0}=konstant$<br />Allgemeine Lösung der homogenen DGL:</p>
<p style="padding-left: 40px;">$\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})=\mathrm{C} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{a}_{0} \mathrm{x}}$</p>
<p> </p>
<p>Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL: </p>
<ol>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b_{0}+b_{1} x+b_{2} x^{2}+\ldots+b_{n} x^{n}$<br />Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})= c_{o}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+\ldots+c_{n} x^{n}$<br /><br /></li>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b \cdot e^{\alpha x}$ und $\alpha \neq-\mathrm{a}_{\mathrm{o}}$<br />Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})=c \cdot e^{\alpha x}$<br /><br /></li>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b \cdot e^{\alpha x}$ und $\alpha=-a_{0}$<br />Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})=c \cdot x \cdot e^{\alpha x}$<br /><br /></li>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b_{1} \cdot \sin (\beta x)+b_{2} \cdot \cos (\beta x)$<br />Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})= c_{1} \cdot \sin (\beta x)+c_{2} \cdot \cos (\beta x)$</li>
</ol>
<p>Die allgemeine Lösung ist dann: $\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})+\mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})$</p>



<h2 class="content_sub_heading">Bernoullische DGL (allgemeine Lösung)</h2>
<p>Für die allgemeine Lösung kannst du wie folgt vorgehen:</p>
<ol>
<li>Führe zuerst eine neue Variable $z=y^{1-\alpha}$ ein.<br /><br /></li>
<li>Setze diese Variable $z$ in deine Bernoullische DGL ein. Nach einigem Umformen* solltest du Folgendes erhalten: <br />$z^{\prime}+(1-\alpha) \cdot g(x) \cdot z+(1-\alpha) \cdot h(x)=0$<br /><br /></li>
<li>Stelle diese transformierte DGL nun folgendermaßen um: <br />$z^{\prime}+(1-\alpha) \cdot g(x) \cdot z=-(1-\alpha) \cdot h(x)$<br />Jetzt erkennst du, dass es sich hier um eine lineare DGL 1. Ordnung handelt. <br /><br /></li>
<li>Löse diese lineare DGL 1. Ordnung.<br /><br /></li>
<li>Mithilfe der allgemeinen Lösung $z(x)$ kannst du jetzt durch Rücktransformation (s. 1.) die Lösung der Bernoullischen DGL finden: <br />$y(x)=z(x)^{\frac{1}{1-\alpha}}$</li>
</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Typen von DGLs</h2>
<p><strong>Triviale Differentialgleichung</strong><br />$$y^{(n)}=f(x)$$<br /><strong>Getrennte Variablen</strong><br />$$y^{\prime}=f(x) \cdot g(y)$$<br /><strong>Linear 1. Ordnung</strong><br />$$y^{\prime}+a(x) \cdot y=b(x)$$<br /><strong>Euler-homogen</strong><br />$$y^{\prime}=f\left(\frac{y}{x}\right)$$<br /><strong>Lineare Transformation</strong><br />$$y^{\prime}=f(a x+b y+c)$$<br /><strong>Gebrochen rationale Transformation</strong><br />$$y^{\prime}=f\left(\frac{a x+b y+c}{d x+e y+f}\right)$$<br /><strong>Linear höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten</strong><br />$$y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\ldots+a_{1} y^{\prime}+a_{0} y=b(x)$$<br /><strong>Bernoulli</strong><br />$$y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{\alpha}=0$$<br /><strong>Ricatti</strong><br />$$y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{2}=k(x)$$</p>



<h2 class="content_sub_heading">Kategorien von DGLs</h2>
<p><strong>gewöhnliche</strong> DGL: nur Ableitungen von einer Variablen</p>
<p>Beispiel: $y(x) = 4y^{\prime}(x) + y^{\prime \prime}(x)$</p>
<p> </p>
<p><strong>partielle </strong>DGL: mehrere Variablen mit partiellen Ableitungen</p>
<p>Beispiel: $y(x,t) = 4 \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}} + 3 \frac{\partial{y}}{\partial{x}}$</p>
<p> </p>
<p><strong>Ordnung</strong>: Anzahl der höchsten Ableitung</p>
<p>Beispiel: $y = 4y^{\prime} + y^{\prime \prime}$ (diese DGL ist 2. Ordnung).</p>
<p> </p>
<p><strong>lineare </strong>DGL: nur Linearkombinationen der Funktion und ihrer Ableitungen</p>
<p>Beispiel: $y = 4x^2y^{\prime} + 3xy^{\prime \prime}$</p>
<p> </p>
<p><strong>nicht-lineare</strong> DGL: gesuchte Funktion hat Potenzen oder ist in anderen Funktionen verkettet</p>
<p>Beispiel: $y^{\prime} = sin(y)$</p>
<p> </p>
<p><strong>homogene </strong>DGL: es gibt keinen Term ohne $y$ (die gesuchte Funktion oder ihre Ableitungen)</p>
<p>Beispiel: $y + 2y^{\prime} + 3xy^{\prime \prime} = 0$</p>
<p> </p>
<p><strong>inhomogene </strong>DGL: es gibt Störfunktion (Term ohne $y$)</p>
<p>Beispiel: $y + 2y^{\prime} + 3xy^{\prime \prime} = 2x^2$</p>
<p> </p>
<p><strong>explizite </strong>DGL: höchste Ableitung steht alleine auf einer Seite. (Falls nicht, <strong>implizite </strong>DGL).</p>



<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem lösen</h2>
<ol>
<li>Löse die DGL.<br /><br /></li>
<li>Stelle die Lösung deiner DGL nach dem unbekannten Parameter um.<br />Falls die Parameter sich nicht zusammenfassen lassen, musst du das lineare Gleichungssystem mit mehreren Variablen lösen. <br /><br /></li>
<li>Setze den Anfangswert ein und berechne die Parameter.<br /><br /></li>
<li>Setze die berechneten Parameter in deine Lösung $y(x)$ ein.</li>
</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem lösen</h2>
<ol>
<li>Löse die DGL.<br /><br /></li>
<li>Stelle die Lösung deiner DGL nach dem unbekannten Parameter um.<br />Falls die Parameter sich nicht zusammenfassen lassen, musst du das lineare Gleichungssystem mit mehreren Variablen lösen. <br /><br /></li>
<li>Setze den Anfangswert ein und berechne die Parameter.<br /><br /></li>
<li>Setze die berechneten Parameter in deine Lösung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.163ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1840 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1114-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1114-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1114-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1114-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1114-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(490,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1114-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(879,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1114-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1451,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1114-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ein.</li>
</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Differentialgleichung</h2>
<p>Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, die eine Funktion und ihre Ableitungen enthält. Die Lösung einer DGL ist also eine differenzierbare Funktion, die diese Gleichung erfüllt.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem (AWP)</h2>
<p>Ein Anfangswertproblem (AWP) ist einfach eine DGL, zu der Anfangswerte gegeben sind, also $y(x_n) = y_n$.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem (AWP)</h2>
<p>Ein Anfangswertproblem (AWP) ist einfach eine DGL, zu der Anfangswerte gegeben sind, also <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y(x_n) = y_n" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.584ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4678.1 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1113-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(490,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1113-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(879,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D45B"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1958.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1113-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2625,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1113-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3680.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: