Exakte DGL

Trennung der Variablen (Separation)

Trennung der Variablen

Anfangswertproblem

Satz von Picard-Lindelöf (Existenz der Lösung)

Satz von Picard-Lindelöf 

Bernoullische DGL

Riccatti-DGL

Riccatische DGL

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>\begin{align*}y(x)=\frac{1}{\pi \cdot x-\ln |x| \cdot x}\end{align*} mit $c\in\mathbb{R}$</p>

<p>Dies ist eine bernoullische DGL der Form:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>y^{\prime}+\frac{1}{x} \cdot y-1 \cdot y^{2}=0 \\</p>
<p>\end{align*}mit $g(x)=\frac{1}{x}, h(x)=-1$ und $\alpha=2$</p>


<p>Mit $y=z^{-1}$ und der Bernoullische DGL Formel transformiert sich die DGL zu:</p>


<p>Mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y=z^{-1}" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.335ex" height="2.351ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 3242.2 1038.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9118-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-9118-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-9118-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-9118-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-9118-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9118-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-9118-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1823.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9118-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(465, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-9118-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-9118-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und der Bernoullische DGL Formel transformiert sich die DGL zu:</p>


<p>\begin{align*}z^{\prime}-\frac{1}{x} \cdot z=-1\end{align*}</p>


<p>Löse die homogene Version der transformierten DGL:</p>


<p>\begin{aligned}</p>
<p>z_{h}^{\prime}-\frac{1}{x} \cdot z_{h} &amp;=0 \\</p>
<p>z_{h}^{\prime} &amp;=\frac{1}{x} \cdot z_{h} \\</p>
<p>\frac{\mathrm{d} z_{h}}{\mathrm{d} x} \frac{1}{z_{h}} &amp;=\frac{1}{x}</p>
<p>\end{aligned}</p>


<p>Per Integration auf beiden Seiten folgt:</p>


<p>\begin{aligned}</p>
<p>\ln \left|z_{h}\right| &amp;=\ln |x|+c \\</p>
<p>\left|z_{h}\right| &amp;=e^{c}|x|</p>
<p>\end{aligned}</p>


<p>\begin{align*}z_{h}(x)=c \cdot x\end{align*} mit $c\in\mathbb{R}$</p>


<p>Benutze Variation der Konstanten für die inhomogene Lösung:</p>


<p>Setze $z$ in DGL ein und integriere</p>


<p>Setze <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.052ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 465 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9124-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9124-TEX-I-1D467"></use></g></g></g></svg></mjx-container> in DGL ein und integriere</p>


<p>\begin{aligned}</p>
<p>z^{\prime}-\frac{1}{x} \cdot z &amp;=-1 \\</p>
<p>(c(x) \cdot x)^{\prime}-\frac{1}{x} \cdot c(x) \cdot x &amp;=-1 \\</p>
<p>c^{\prime}(x) \cdot x+c(x)-c(x) &amp;=-1 \\</p>
<p>c^{\prime}(x) &amp;=-\frac{1}{x}</p>
<p>\end{aligned}</p>


<p>\begin{align*}\Rightarrow  \quad c(x)=-\ln |x|+k\end{align*}</p>


<p>Setze $c$ in $z$ ein für die allgemeine Lösung:</p>


<p>Setze <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="c" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 433 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9127-TEX-I-1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9127-TEX-I-1D450"></use></g></g></g></svg></mjx-container> in <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.052ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 465 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9128-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9128-TEX-I-1D467"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ein für die allgemeine Lösung:</p>


<p>\begin{aligned}</p>
<p>z(x) &amp;=c(x) \cdot x \\</p>
<p>&amp;=(-\ln |x|+k) \cdot x \\</p>
<p>&amp;=k \cdot x-\ln |x| \cdot x</p>
<p>\end{aligned}</p>


<p>\begin{align*}y(x)=\frac{1}{z(x)}=\frac{1}{c \cdot x-\ln |x| \cdot x}\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}\frac{1}{\pi}&amp;=y(1)\\</p>
<p>&amp;=\frac{1}{c \cdot 1-\ln |1| \cdot 1}\\</p>
<p>&amp;=\frac{1}{c}\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}\Rightarrow \quad c=\pi\end{align*}</p>

<p>Löse das folgende Anfangswertproblem:</p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>y^{\prime}+\frac{y}{x}-y^{2}&amp;=0 \\</p>
<p>y(1)&amp;=\frac{1}{\pi}</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Löse das folgende Anfangswertproblem:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
y^{\prime}+\frac{y}{x}-y^{2}&=0 \\
y(1)&=\frac{1}{\pi}
\end{align*}" style="vertical-align: -4.133ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.806ex" height="9.398ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2327 7428.5 4154" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9114-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Bernoullische DGL mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Nicht lineare DGL - Bernoullische DGL | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading">Bernoullische DGL</h2>
<p>Bernoullische Differentialgleichungen haben die Form:<br />$$y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{\alpha}=0$$</p>



<h2 class="content_sub_heading">Bernoullische DGL</h2>
<p>Bernoullische Differentialgleichungen haben die Form:<br /><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{\alpha}=0" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="26.605ex" height="2.396ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -809 11759.3 1059" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-761-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 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<h2 class="content_heading">Gewöhnliche DGL Lösungsansätze Übersicht</h2>
<p><span style="font-size: 18px; font-weight: bold;">Separierbare DGL 1. Ordnung<br /></span></p>
<p><span style="color: #000000;">Form: </span>$y^{\prime}=f(x) \cdot g(y)$</p>
<p>Lösung mithilfe Trennung der Variablen:</p>
<p style="padding-left: 40px;">$$\int \frac{1}{g(y)} d y=\int f(x) d x$$</p>
<p> </p>
<p><span style="font-size: 18px; font-weight: bold;">Durch Substitution lösbare DGL</span><br />Form: $\mathrm{y}^{\prime}=\mathrm{f}(\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{c})$ mit $b \neq 0$<br />Lösung durch Substitution und Trennung der Variablen:</p>
<p style="padding-left: 40px;">Substituiere: $u=a x+b y+c$, somit ist $y^{\prime}=f(u)$<br />Dann ist $u^{\prime}=\frac{d u}{d x}=a+b \frac{d y}{d x}=1 \cdot(a+b \cdot f(u))$<br />Durch Trennung der Variablen erhältst du die Lösung von $u(x)$. Die Rücksubstitution liefert dir dann $y(x)$</p>
<p> </p>
<h2 class="content_heading"><strong><span style="font-size: 24px;">Lineare DGLs</span></strong></h2>
<p>Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen DGL setzt sich aus <br />1. der allgemeinen Lösung $\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})$ der zugehörigen homogenen DGL<br />2. der partikulären Lösung $\mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})$ der inhomogenen DGL zusammen: <br />$\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})+\mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})$</p>
<p> </p>
<p><span style="font-size: 18px; font-weight: bold;">Homogene lineare DGL 1. Ordnung<br /></span>Form: $\mathrm{y}^{\prime}+\mathrm{f}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{y}=0$<br />Die allgemeine Lösung lautet:</p>
<p style="padding-left: 40px;">$\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{C} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{F}(\mathrm{x})}$, wobei $\mathrm{F}(\mathrm{x})=\int \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{d} \mathrm{x}$ und $\mathrm{C} \in \mathrm{R}$.</p>
<p> </p>
<p><span style="font-size: 18px; font-weight: bold;">Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung<br /></span>Form: $\mathrm{y}^{\prime}+\mathrm{a}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{y}=\mathrm{b}(\mathrm{x})$<br />Lösung durch Variation der Konstanten:</p>
<p style="padding-left: 40px;">$\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{c}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{A}(\mathrm{x})}$, wobei $c(x)=\int b(x) \cdot e^{+A(x)} d x$ und $\mathrm{A}(\mathrm{x})=\int \mathrm{a}(\mathrm{x}) \mathrm{d} \mathrm{x}$</p>
<p> </p>
<p><span style="font-size: 18px; font-weight: bold;">Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten<br /></span>Form: $y^{\prime}+a_{0} y=g(x)$, wobei $a_{0}=konstant$<br />Allgemeine Lösung der homogenen DGL:</p>
<p style="padding-left: 40px;">$\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})=\mathrm{C} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{a}_{0} \mathrm{x}}$</p>
<p> </p>
<p>Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL: </p>
<ol>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b_{0}+b_{1} x+b_{2} x^{2}+\ldots+b_{n} x^{n}$<br />Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})= c_{o}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+\ldots+c_{n} x^{n}$<br /><br /></li>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b \cdot e^{\alpha x}$ und $\alpha \neq-\mathrm{a}_{\mathrm{o}}$<br />Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})=c \cdot e^{\alpha x}$<br /><br /></li>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b \cdot e^{\alpha x}$ und $\alpha=-a_{0}$<br />Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})=c \cdot x \cdot e^{\alpha x}$<br /><br /></li>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b_{1} \cdot \sin (\beta x)+b_{2} \cdot \cos (\beta x)$<br />Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})= c_{1} \cdot \sin (\beta x)+c_{2} \cdot \cos (\beta x)$</li>
</ol>
<p>Die allgemeine Lösung ist dann: $\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})+\mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})$</p>



<h2 class="content_sub_heading">Bernoullische DGL (allgemeine Lösung)</h2>
<p>Für die allgemeine Lösung kannst du wie folgt vorgehen:</p>
<ol>
<li>Führe zuerst eine neue Variable $z=y^{1-\alpha}$ ein.<br /><br /></li>
<li>Setze diese Variable $z$ in deine Bernoullische DGL ein. Nach einigem Umformen* solltest du Folgendes erhalten: <br />$z^{\prime}+(1-\alpha) \cdot g(x) \cdot z+(1-\alpha) \cdot h(x)=0$<br /><br /></li>
<li>Stelle diese transformierte DGL nun folgendermaßen um: <br />$z^{\prime}+(1-\alpha) \cdot g(x) \cdot z=-(1-\alpha) \cdot h(x)$<br />Jetzt erkennst du, dass es sich hier um eine lineare DGL 1. Ordnung handelt. <br /><br /></li>
<li>Löse diese lineare DGL 1. Ordnung.<br /><br /></li>
<li>Mithilfe der allgemeinen Lösung $z(x)$ kannst du jetzt durch Rücktransformation (s. 1.) die Lösung der Bernoullischen DGL finden: <br />$y(x)=z(x)^{\frac{1}{1-\alpha}}$</li>
</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Typen von DGLs</h2>
<p><strong>Triviale Differentialgleichung</strong><br />$$y^{(n)}=f(x)$$<br /><strong>Getrennte Variablen</strong><br />$$y^{\prime}=f(x) \cdot g(y)$$<br /><strong>Linear 1. Ordnung</strong><br />$$y^{\prime}+a(x) \cdot y=b(x)$$<br /><strong>Euler-homogen</strong><br />$$y^{\prime}=f\left(\frac{y}{x}\right)$$<br /><strong>Lineare Transformation</strong><br />$$y^{\prime}=f(a x+b y+c)$$<br /><strong>Gebrochen rationale Transformation</strong><br />$$y^{\prime}=f\left(\frac{a x+b y+c}{d x+e y+f}\right)$$<br /><strong>Linear höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten</strong><br />$$y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\ldots+a_{1} y^{\prime}+a_{0} y=b(x)$$<br /><strong>Bernoulli</strong><br />$$y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{\alpha}=0$$<br /><strong>Ricatti</strong><br />$$y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{2}=k(x)$$</p>



<h2 class="content_sub_heading">Kategorien von DGLs</h2>
<p><strong>gewöhnliche</strong> DGL: nur Ableitungen von einer Variablen</p>
<p>Beispiel: $y(x) = 4y^{\prime}(x) + y^{\prime \prime}(x)$</p>
<p> </p>
<p><strong>partielle </strong>DGL: mehrere Variablen mit partiellen Ableitungen</p>
<p>Beispiel: $y(x,t) = 4 \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}} + 3 \frac{\partial{y}}{\partial{x}}$</p>
<p> </p>
<p><strong>Ordnung</strong>: Anzahl der höchsten Ableitung</p>
<p>Beispiel: $y = 4y^{\prime} + y^{\prime \prime}$ (diese DGL ist 2. Ordnung).</p>
<p> </p>
<p><strong>lineare </strong>DGL: nur Linearkombinationen der Funktion und ihrer Ableitungen</p>
<p>Beispiel: $y = 4x^2y^{\prime} + 3xy^{\prime \prime}$</p>
<p> </p>
<p><strong>nicht-lineare</strong> DGL: gesuchte Funktion hat Potenzen oder ist in anderen Funktionen verkettet</p>
<p>Beispiel: $y^{\prime} = sin(y)$</p>
<p> </p>
<p><strong>homogene </strong>DGL: es gibt keinen Term ohne $y$ (die gesuchte Funktion oder ihre Ableitungen)</p>
<p>Beispiel: $y + 2y^{\prime} + 3xy^{\prime \prime} = 0$</p>
<p> </p>
<p><strong>inhomogene </strong>DGL: es gibt Störfunktion (Term ohne $y$)</p>
<p>Beispiel: $y + 2y^{\prime} + 3xy^{\prime \prime} = 2x^2$</p>
<p> </p>
<p><strong>explizite </strong>DGL: höchste Ableitung steht alleine auf einer Seite. (Falls nicht, <strong>implizite </strong>DGL).</p>



<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem lösen</h2>
<ol>
<li>Löse die DGL.<br /><br /></li>
<li>Stelle die Lösung deiner DGL nach dem unbekannten Parameter um.<br />Falls die Parameter sich nicht zusammenfassen lassen, musst du das lineare Gleichungssystem mit mehreren Variablen lösen. <br /><br /></li>
<li>Setze den Anfangswert ein und berechne die Parameter.<br /><br /></li>
<li>Setze die berechneten Parameter in deine Lösung $y(x)$ ein.</li>
</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem lösen</h2>
<ol>
<li>Löse die DGL.<br /><br /></li>
<li>Stelle die Lösung deiner DGL nach dem unbekannten Parameter um.<br />Falls die Parameter sich nicht zusammenfassen lassen, musst du das lineare Gleichungssystem mit mehreren Variablen lösen. <br /><br /></li>
<li>Setze den Anfangswert ein und berechne die Parameter.<br /><br /></li>
<li>Setze die berechneten Parameter in deine Lösung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.163ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1840 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1114-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1114-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1114-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1114-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1114-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(490,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1114-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(879,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1114-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1451,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1114-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ein.</li>
</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Differentialgleichung</h2>
<p>Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, die eine Funktion und ihre Ableitungen enthält. Die Lösung einer DGL ist also eine differenzierbare Funktion, die diese Gleichung erfüllt.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem (AWP)</h2>
<p>Ein Anfangswertproblem (AWP) ist einfach eine DGL, zu der Anfangswerte gegeben sind, also $y(x_n) = y_n$.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem (AWP)</h2>
<p>Ein Anfangswertproblem (AWP) ist einfach eine DGL, zu der Anfangswerte gegeben sind, also <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y(x_n) = y_n" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.584ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4678.1 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1113-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(490,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1113-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(879,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D45B"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1958.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1113-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2625,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1113-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3680.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: