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Aufgabenstellung:

Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten
Schritt der Lösung anzuzeigen.

Dies ist eine Ricatti-DGL, diese haben immer die Form:

Rate eine spezielle Lösung :

Setze in die DGL ein und bestimme :

Mache einen Koeffizientenvergleich:

Die beiden konstanten Terme der Polynome verraten, dass sein muss. 

Prüfe durch einsetzen:

Somit ist die spezielle Lösung:

Setze in die DGL ein:

Nach vielen Umformungen kommst du zu der Form:  

Transformiere den Ausdruck mit

Dies ist eine lineare DGL 1. Ordnung.

Löse diese lineare DGL 1. Ordnung.

Finde die homogene Lösung: 

Die allgemeine Lösung dazu heißt:

Finde durch Variation der Konstanten mit der inhomogenen Gleichung:

Integriere mit partieller Integration

Somit ergibt sich für die allgemeine Lösung:

Bestimme (Rücktransformation)

Bestimme (Rücktransformation)

Lösung:

mit