Integralgleichung

Exakte DGL

Trennung der Variablen (Separation)

Trennung der Variablen

Anfangswertproblem

Satz von Picard-Lindelöf (Existenz der Lösung)

Satz von Picard-Lindelöf 

Bernoullische DGL

Riccatti-DGL

Riccatische DGL

Produkte

Cauchy

Differentialrechnung 

Lineare Abbildungen

Taylorreihe/Taylorpolynom

Konvergenz rekursiver nichtmonotoner Zahlenfolgen

dualraum

Jordan Normal FOrm

Körperaxiomen

intr

leerlaufspannung

Integrale 

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

<p>\begin{align*}<br />y(x)=\frac{1}{c \cdot e^{-x}+2}+3 e^{-5 x} \\<br />\end{align*} mit $c \in \mathbb{R}$ .</p>

<p>Rate eine spezielle Lösung $y_s$:</p>


<p>Rate eine spezielle Lösung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y_s" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.972ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 871.6 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11616-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-11616-TEX-I-1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11616-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(490, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-11616-TEX-I-1D460"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\begin{align*}y_{s}(x)=a \cdot e^{-5 x}\end{align*}</p>


<p>Setze $y_s$ in die DGL ein und bestimme $a$:</p>


<p>Setze <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y_s" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.972ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 871.6 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11618-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-11618-TEX-I-1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11618-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(490, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-11618-TEX-I-1D460"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> in die DGL ein und bestimme <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a" style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11619-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11619-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>mit $y_{s}^{\prime}(x)=-5 a \cdot e^{-5 x}$ ergibt sich:</p>


<p>mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y_{s}^{\prime}(x)=-5 a \cdot e^{-5 x}" style="vertical-align: -0.575ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.893ex" height="2.462ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 7908.8 1088" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11620-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-11620-TEX-N-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path><path id="MJX-11620-TEX-I-1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path id="MJX-11620-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-11620-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-11620-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-11620-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-11620-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-11620-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path id="MJX-11620-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-11620-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-11620-TEX-I-1D452" d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msubsup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11620-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(490, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11620-TEX-N-2032"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(490, -247) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11620-TEX-I-1D460"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(871.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-11620-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1260.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-11620-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1832.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-11620-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2499.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-11620-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3555.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-11620-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4333.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-11620-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4833.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-11620-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5584.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-11620-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(6084.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11620-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(466, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-11620-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-11620-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1278, 0)"><use xlink:href="#MJX-11620-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> ergibt sich:</p>


<p>\begin{align*}<br />y_{s}^{\prime}-\left(1+12 e^{-5 x}\right) \cdot y_{s}+2 \cdot y_{s}^{2}&amp;=-18 e^{-5 x}\left(1+e^{-5 x}\right) \\<br />-5 a \cdot e^{-5 x}-\left(1+12 e^{-5 x}\right) \cdot a \cdot e^{-5 x}+2 a^{2} \cdot e^{-10 x}&amp;=-18 e^{-5 x}\left(1+e^{-5 x}\right)<br />\end{align*}</p>


<p>Die Gleichung soll im besten Fall für alle $x$ gelten. Also auch für $x=0$. Setze dies ein:</p>


<p>Die Gleichung soll im besten Fall für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11622-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11622-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> gelten. Also auch für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x=0" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11623-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-11623-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-11623-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11623-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-11623-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-11623-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Setze dies ein:</p>


<p>\begin{aligned}<br />-5 a-13 a+2 a^{2} &amp;=-36 \\<br />2 a^{2}-18 a+36 &amp;=0 \\<br />a^{2}-9 a+18 &amp;=0<br />\end{aligned}</p>


<p>\begin{aligned}<br />a_{1,2} &amp;=\frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{81}{4}-18} \\<br />&amp;=\frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}} \\<br />&amp;=\frac{9}{2} \pm \frac{3}{2}<br />\end{aligned}</p>


<p>\begin{align*}y_{1}(x)&amp;=6 e^{-5 x}\\</p>
<p>y_{2}(x)&amp;=3 e^{-5 x}\end{align*}</p>


<p>Überprüfe die speziellen Lösungen durch Einsetzen in die DGL:</p>


<p>\begin{align*}\begin{array}{r}<br />-30 e^{-5 x}-\left(1+12 e^{-5 x}\right) \cdot 6 e^{-5 x}+72 \cdot e^{-10 x}=-18 e^{-5 x}\left(1+e^{-5 x}\right) \\<br />-30 e^{-5 x}-6 e^{-5 x}-72 e^{-10 x}+72 e^{-10 x}=-18 e^{-5 x}-18 e^{-10 x} \\<br />-36 e^{-5 x}=-18 e^{-5 x}-18 e^{-10 x}<br />\end{array}\end{align*}</p>


<p>Dies gilt nicht für alle $x$ und ist somit keine Lösung der DGL.</p>


<p>Dies gilt nicht für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11629-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11629-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und ist somit keine Lösung der DGL.</p>


<p>\begin{align*}<br />-15 e^{-5 x}-\left(1+12 e^{-5 x}\right) \cdot 3 e^{-5 x}+18 \cdot e^{-10 x}&amp;=-18 e^{-5 x}\left(1+e^{-5 x}\right) \\<br />-15 e^{-5 x}-3 e^{-5 x}-36 e^{-10 x}+18 e^{-10 x}&amp;=-18 e^{-5 x}-18 e^{-10 x} \\<br />-18 e^{-5 x}-18 e^{-10 x}&amp;=-18 e^{-5 x}-18 e^{-10 x} \\</p>
<p>0&amp;=0<br />\end{align*}</p>


<p>Dies gilt für alle $x$, also ist $y_2$ eine Lösung der DGL.</p>


<p>Dies gilt für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11632-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11632-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container>, also ist <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y_2" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.022ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 893.6 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11633-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-11633-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11633-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(490, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-11633-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> eine Lösung der DGL.</p>


<p>Setze $y(x)=v(x)+y_{s}(x)=v(x)+3 e^{-5 x}$ in die DGL ein:</p>


<p>Setze <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y(x)=v(x)+y_{s}(x)=v(x)+3 e^{-5 x}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="34.316ex" height="2.452ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 15167.8 1083.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11634-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-11634-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-11634-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-11634-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-11634-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-11634-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-11634-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-11634-TEX-I-1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path id="MJX-11634-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 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<p>\begin{align*}<br />y^{\prime}-\left(1+12 e^{-3 x}\right) \cdot y+2 \cdot y^{2}&amp;=-18 e^{-5 x}\left(1+e^{-5 x}\right) \\<br />\left(v+3 e^{-5 x}\right)^{\prime}-\left(1+12 e^{-5 x}\right) \cdot\left(v+3 e^{-5 x}\right)+2 \cdot\left(v+3 e^{-5 x}\right)^{2}&amp;=-18 e^{-5 x}\left(1+e^{-5 x}\right) \\<br />v^{\prime}-15 e^{-5 x}-\left(1+12 e^{-5 x}\right) \cdot v-3 e^{-5 x}-36 e^{-10 x}+2 \cdot v^{2}+12 e^{-5 x} \cdot v+18 e^{-10 x}&amp;=-18 e^{-5 x}-18 e^{-10 x} \\<br />v^{\prime}-\left(1+12 e^{-5 x}-12 e^{-5 x}\right) \cdot v+2 \cdot v^{2}-18 e^{-5 x}-18 e^{-10 x}&amp;=-18 e^{-5 x}-18 e^{-10 x} \\<br />v^{\prime}-v+2 \cdot v^{2}&amp;=0<br />\end{align*}</p>


<p>Transformiere den Ausdruck mit $v=z^{\frac{1}{1-a}}=z^{-1}$</p>


<p>Transformiere den Ausdruck mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="v=z^{\frac{1}{1-a}}=z^{-1}" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.254ex" height="2.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1007.1 6300.4 1089.1" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11636-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-11636-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-11636-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-11636-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-11636-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-11636-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11636-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(762.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-11636-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1818.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11636-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(465, 395.5) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(682.1, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-11636-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-11636-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(500, 0)"><use xlink:href="#MJX-11636-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1278, 0)"><use xlink:href="#MJX-11636-TEX-I-1D44E"></use></g></g><rect width="1477.7" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3826, 0)"><use xlink:href="#MJX-11636-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(4881.7, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11636-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(465, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-11636-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-11636-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{aligned}<br />\left(z^{-1}\right)^{\prime}-z^{-1}+2 \cdot\left(z^{-1}\right)^{2} &amp;=0 \\<br />-z^{-2} \cdot z^{\prime}-z^{-1}+2 \cdot z^{-2} &amp;=0 \\<br />z^{\prime}+z-2 &amp;=0<br />\end{aligned}</p>


<p>Für DGLs dieser Form gibt es eine Lösungsformel mit $A(x)=\int a(x) \mathrm{d} x$:</p>


<p>Für DGLs dieser Form gibt es eine Lösungsformel mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A(x)=\int a(x) \mathrm{d} x" style="vertical-align: -0.691ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.329ex" height="2.514ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -805.5 7217.2 1111" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11638-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-11638-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-11638-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-11638-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-11638-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-11638-TEX-SO-222B" d="M113 -244Q113 -246 119 -251T139 -263T167 -269Q186 -269 199 -260Q220 -247 232 -218T251 -133T262 -15T276 155T297 367Q300 390 305 438T314 512T325 580T340 647T361 703T390 751T428 784T479 804Q481 804 488 804T501 805Q552 802 581 769T610 695Q610 669 594 657T561 645Q542 645 527 658T512 694Q512 705 516 714T526 729T538 737T548 742L552 743Q552 745 545 751T525 762T498 768Q475 768 460 756T434 716T418 652T407 559T398 444T387 300T369 133Q349 -38 337 -102T303 -207Q256 -306 169 -306Q119 -306 87 -272T55 -196Q55 -170 71 -158T104 -146Q123 -146 138 -159T153 -195Q153 -206 149 -215T139 -230T127 -238T117 -242L113 -244Z"></path><path id="MJX-11638-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-11638-TEX-N-64" d="M376 495Q376 511 376 535T377 568Q377 613 367 624T316 637H298V660Q298 683 300 683L310 684Q320 685 339 686T376 688Q393 689 413 690T443 693T454 694H457V390Q457 84 458 81Q461 61 472 55T517 46H535V0Q533 0 459 -5T380 -11H373V44L365 37Q307 -11 235 -11Q158 -11 96 50T34 215Q34 315 97 378T244 442Q319 442 376 393V495ZM373 342Q328 405 260 405Q211 405 173 369Q146 341 139 305T131 211Q131 155 138 120T173 59Q203 26 251 26Q322 26 373 103V342Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11638-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(750, 0)"><use xlink:href="#MJX-11638-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1139, 0)"><use xlink:href="#MJX-11638-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1711, 0)"><use xlink:href="#MJX-11638-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2377.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-11638-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3433.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-11638-TEX-SO-222B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4210.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-11638-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4739.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-11638-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5128.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-11638-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5700.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-11638-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(6089.2, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11638-TEX-N-64"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(6645.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-11638-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\begin{align*}z^{\prime}+a(x) \cdot z=b(x)  \\</p>
<p>\Rightarrow z(x)=\left(\int b(x) \cdot e^{A(x)} \mathrm{d} x+c\right) \cdot e^{-A(x)}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{aligned}<br />z(x) &amp;=\left(\int 2 \cdot e^{x} \mathrm{d} x+c\right) \cdot e^{-x} \\<br />&amp;=\left(2 e^{x}+c\right) \cdot e^{-x} \\<br />&amp;=2+c \cdot e^{-x}<br />\end{aligned}</p>


<p>\begin{aligned}<br />v(x) &amp;=z(x)^{-1} \\<br />\Rightarrow \qquad  &amp;=\frac{1}{c \cdot e^{-x}+2}<br />\end{aligned}</p>


<p>\begin{aligned}<br />y(x)&amp;=v(x)+3 e^{-5 x} \\<br />\Rightarrow \qquad &amp;=\frac{1}{c \cdot e^{-x}+2}+3 e^{-5 x}<br />\end{aligned}</p>

<p>Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung:<br />\[<br />y^{\prime}-\left(1+12 e^{-5 x}\right) y+2 y^{2}=-18 e^{-5 x}\left(1+e^{-5 x}\right)<br />\]</p>

<p>Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung:<br /><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
y^{\prime}-\left(1+12 e^{-5 x}\right) y+2 y^{2}=-18 e^{-5 x}\left(1+e^{-5 x}\right)
" style="vertical-align: -0.791ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="45.076ex" height="2.791ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 19923.8 1233.4" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11615-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Riccatti-DGL mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Nicht lineare DGL - Riccatti-DGL | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_heading">Gewöhnliche DGL Lösungsansätze Übersicht</h2>
<p><span style="font-size: 18px; font-weight: bold;">Separierbare DGL 1. Ordnung<br /></span></p>
<p><span style="color: #000000;">Form: </span>$y^{\prime}=f(x) \cdot g(y)$</p>
<p>Lösung mithilfe Trennung der Variablen:</p>
<p style="padding-left: 40px;">$$\int \frac{1}{g(y)} d y=\int f(x) d x$$</p>
<p> </p>
<p><span style="font-size: 18px; font-weight: bold;">Durch Substitution lösbare DGL</span><br />Form: $\mathrm{y}^{\prime}=\mathrm{f}(\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{c})$ mit $b \neq 0$<br />Lösung durch Substitution und Trennung der Variablen:</p>
<p style="padding-left: 40px;">Substituiere: $u=a x+b y+c$, somit ist $y^{\prime}=f(u)$<br />Dann ist $u^{\prime}=\frac{d u}{d x}=a+b \frac{d y}{d x}=1 \cdot(a+b \cdot f(u))$<br />Durch Trennung der Variablen erhältst du die Lösung von $u(x)$. Die Rücksubstitution liefert dir dann $y(x)$</p>
<p> </p>
<h2 class="content_heading"><strong><span style="font-size: 24px;">Lineare DGLs</span></strong></h2>
<p>Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen DGL setzt sich aus <br />1. der allgemeinen Lösung $\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})$ der zugehörigen homogenen DGL<br />2. der partikulären Lösung $\mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})$ der inhomogenen DGL zusammen: <br />$\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})+\mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})$</p>
<p> </p>
<p><span style="font-size: 18px; font-weight: bold;">Homogene lineare DGL 1. Ordnung<br /></span>Form: $\mathrm{y}^{\prime}+\mathrm{f}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{y}=0$<br />Die allgemeine Lösung lautet:</p>
<p style="padding-left: 40px;">$\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{C} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{F}(\mathrm{x})}$, wobei $\mathrm{F}(\mathrm{x})=\int \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{d} \mathrm{x}$ und $\mathrm{C} \in \mathrm{R}$.</p>
<p> </p>
<p><span style="font-size: 18px; font-weight: bold;">Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung<br /></span>Form: $\mathrm{y}^{\prime}+\mathrm{a}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{y}=\mathrm{b}(\mathrm{x})$<br />Lösung durch Variation der Konstanten:</p>
<p style="padding-left: 40px;">$\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{c}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{A}(\mathrm{x})}$, wobei $c(x)=\int b(x) \cdot e^{+A(x)} d x$ und $\mathrm{A}(\mathrm{x})=\int \mathrm{a}(\mathrm{x}) \mathrm{d} \mathrm{x}$</p>
<p> </p>
<p><span style="font-size: 18px; font-weight: bold;">Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten<br /></span>Form: $y^{\prime}+a_{0} y=g(x)$, wobei $a_{0}=konstant$<br />Allgemeine Lösung der homogenen DGL:</p>
<p style="padding-left: 40px;">$\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})=\mathrm{C} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{a}_{0} \mathrm{x}}$</p>
<p> </p>
<p>Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL: </p>
<ol>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b_{0}+b_{1} x+b_{2} x^{2}+\ldots+b_{n} x^{n}$<br />Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})= c_{o}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+\ldots+c_{n} x^{n}$<br /><br /></li>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b \cdot e^{\alpha x}$ und $\alpha \neq-\mathrm{a}_{\mathrm{o}}$<br />Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})=c \cdot e^{\alpha x}$<br /><br /></li>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b \cdot e^{\alpha x}$ und $\alpha=-a_{0}$<br />Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})=c \cdot x \cdot e^{\alpha x}$<br /><br /></li>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b_{1} \cdot \sin (\beta x)+b_{2} \cdot \cos (\beta x)$<br />Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})= c_{1} \cdot \sin (\beta x)+c_{2} \cdot \cos (\beta x)$</li>
</ol>
<p>Die allgemeine Lösung ist dann: $\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})+\mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})$</p>



<h2 class="content_sub_heading">Typen von DGLs</h2>
<p><strong>Triviale Differentialgleichung</strong><br />$$y^{(n)}=f(x)$$<br /><strong>Getrennte Variablen</strong><br />$$y^{\prime}=f(x) \cdot g(y)$$<br /><strong>Linear 1. Ordnung</strong><br />$$y^{\prime}+a(x) \cdot y=b(x)$$<br /><strong>Euler-homogen</strong><br />$$y^{\prime}=f\left(\frac{y}{x}\right)$$<br /><strong>Lineare Transformation</strong><br />$$y^{\prime}=f(a x+b y+c)$$<br /><strong>Gebrochen rationale Transformation</strong><br />$$y^{\prime}=f\left(\frac{a x+b y+c}{d x+e y+f}\right)$$<br /><strong>Linear höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten</strong><br />$$y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\ldots+a_{1} y^{\prime}+a_{0} y=b(x)$$<br /><strong>Bernoulli</strong><br />$$y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{\alpha}=0$$<br /><strong>Ricatti</strong><br />$$y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{2}=k(x)$$</p>



<h2 class="content_sub_heading">Form der Riccatischen DGL</h2>
<p>\begin{align*}\quad y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{2}=k(x)\end{align*}</p>



<h2 class="content_sub_heading">Form der Riccatischen DGL</h2>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}\quad y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{2}=k(x)\end{align*}" style="vertical-align: -0.717ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="31.745ex" height="2.565ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -817 14031.3 1133.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-777-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 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<h2 class="content_sub_heading">Allgemeine Lösung einer Riccatischen DGL bestimmen<span style="font-size: 26px; font-weight: bold; text-decoration: underline;"><br /></span></h2>
<p>Mit gegebener spezieller Lösung $y_{s}(x)$, kannst du die allgemeine Lösung folgendermaßen bestimmen:</p>
<ol>
<li>Setze die Funktion $y(x)=v(x)+y_{s}(x)$ in deine Riccatische DGL ein. Nach einigem Umformen* erhältst du dann: <br />$\quad v^{\prime}+\left(g(x)+2 h(x) y_{s}(x)\right) \cdot v+h(x) \cdot v^{2}=0$<br /><br /></li>
<li>Jetzt hast du eine Bernoullische DGL für $v(x)$ und $\alpha=2$.<br /><br /></li>
<li>Ähnlich wie beim Lösen der Bernoulli-DGL transformierst du nun deine DGL mit $v=z^{-1}=\frac{1}{z}$ und erhältst dadurch eine lineare DGL 1. Ordnung für $z$:<br />\begin{align*}\quad z^{\prime}-\left(g(x)+2 h(x) y_{s}(x)\right) \cdot z-h(x)=0\end{align*}<br /><br /></li>
<li>Löse jetzt die lineare DGL 1. Ordnung. Dadurch erhältst du eine Lösung für $z$.<br /><br /></li>
<li>Jetzt setzt du diese allgemeine Lösung für $z(x)$ in die Transformationsgleichungen ein und transformierst zurück:<br />\begin{align*}\quad y(x) &amp;=v(x)+y_{s}(x) =\frac{1}{z(x)}+y_{s}(x) \end{align*}</li>
</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Differentialgleichung</h2>
<p>Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, die eine Funktion und ihre Ableitungen enthält. Die Lösung einer DGL ist also eine differenzierbare Funktion, die diese Gleichung erfüllt.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Kategorien von DGLs</h2>
<p><strong>gewöhnliche</strong> DGL: nur Ableitungen von einer Variablen</p>
<p>Beispiel: $y(x) = 4y^{\prime}(x) + y^{\prime \prime}(x)$</p>
<p> </p>
<p><strong>partielle </strong>DGL: mehrere Variablen mit partiellen Ableitungen</p>
<p>Beispiel: $y(x,t) = 4 \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}} + 3 \frac{\partial{y}}{\partial{x}}$</p>
<p> </p>
<p><strong>Ordnung</strong>: Anzahl der höchsten Ableitung</p>
<p>Beispiel: $y = 4y^{\prime} + y^{\prime \prime}$ (diese DGL ist 2. Ordnung).</p>
<p> </p>
<p><strong>lineare </strong>DGL: nur Linearkombinationen der Funktion und ihrer Ableitungen</p>
<p>Beispiel: $y = 4x^2y^{\prime} + 3xy^{\prime \prime}$</p>
<p> </p>
<p><strong>nicht-lineare</strong> DGL: gesuchte Funktion hat Potenzen oder ist in anderen Funktionen verkettet</p>
<p>Beispiel: $y^{\prime} = sin(y)$</p>
<p> </p>
<p><strong>homogene </strong>DGL: es gibt keinen Term ohne $y$ (die gesuchte Funktion oder ihre Ableitungen)</p>
<p>Beispiel: $y + 2y^{\prime} + 3xy^{\prime \prime} = 0$</p>
<p> </p>
<p><strong>inhomogene </strong>DGL: es gibt Störfunktion (Term ohne $y$)</p>
<p>Beispiel: $y + 2y^{\prime} + 3xy^{\prime \prime} = 2x^2$</p>
<p> </p>
<p><strong>explizite </strong>DGL: höchste Ableitung steht alleine auf einer Seite. (Falls nicht, <strong>implizite </strong>DGL).</p>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: