Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Fourierreihen

Implizite Funktionen

Partielle Ableitungen

Banachscher Fixpunktsatz

Satz über Umkehrabbildungen (lokal)

Jacobi-Matrix

Satz über Umkehrabbildung (mehrdimensional)

Lokaler Umkehrsatz

Taylorpolynome (mehrdimensional)

Der Gradient

Die Hesse-Matrix

Mehrdimensionale Taylorformel

Satz von Schwarz

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>\begin{align*}</p>
<p>T_{1, x_{0}}(x, y)&amp;=-1+x \\</p>
<p>T_{2, x_{0}}(x, y)&amp;=-1+x+x^{2}+\frac{1}{2} \cdot y^{2}</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Berechne die partiellen Ableitungen von $f$:</p>


<p>Berechne die partiellen Ableitungen von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9848-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9848-TEX-I-1D453"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\begin{align*}f_{x}=(1+x) \cdot \cos (x)+1 \cdot \sin (x)\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}f_{y}=\sin (y)\end{align*}</p>


<p>\begin{aligned}</p>
<p>f_{x x} &amp;=1 \cdot \cos (x)+(1+x) \cdot(-\sin (x))+\cos (x) \\</p>
<p>&amp;=2 \cos (x)-(1+x) \cdot \sin (x)</p>
<p>\end{aligned}</p>


<p>\begin{align*}f_{x y}=0\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}f_{y y}=\cos (y)\end{align*}</p>


<p>Stelle die Jakobi-Matrix auf und setze den Punkt $x_0$ ein:</p>


<p>Stelle die Jakobi-Matrix auf und setze den Punkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x_0" style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.207ex" height="1.375ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 975.6 607.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9854-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-9854-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9854-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(572, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-9854-TEX-N-30"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> ein:</p>


<p>\begin{aligned}</p>
<p>D f(0,0) &amp;=\left(f_{x}, f_{y}\right)_{x_{0}} \\</p>
<p>&amp;=((1+x) \cdot \cos (x)+\sin (x), \sin (y))_{x_{0}} \\</p>
<p>&amp;=(1,0)</p>
<p>\end{aligned}</p>


<p>Stelle die Hesse-Matrix auf und setze den Punkt $x_0$ ein:</p>


<p>Stelle die Hesse-Matrix auf und setze den Punkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x_0" style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.207ex" height="1.375ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 975.6 607.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9856-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-9856-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9856-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(572, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-9856-TEX-N-30"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> ein:</p>


<p>\begin{aligned}</p>
<p>H_{f}(0,0) &amp;=\left(\begin{array}{cc}</p>
<p>f_{x x} &amp; f_{x y} \\</p>
<p>f_{y x} &amp; f_{y y}</p>
<p>\end{array}\right)_{x_{0}} \\</p>
<p>&amp;=\left(\begin{array}{cc}</p>
<p>2 \cos (x)-(1+x) \cdot \sin (x) &amp; 0 \\</p>
<p>0 &amp; \cos (y)</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{aligned}</p>


<p>\begin{align*} \hphantom{H_{f}(0,0)}=\left(\begin{array}{ll}</p>
<p>2 &amp; 0 \\</p>
<p>0 &amp; 1</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}</p>


<p>Berechne das Taylorpolynom 2. Ordnung $T_{2, x_{0}}(x, y)$:</p>


<p>Berechne das Taylorpolynom 2. Ordnung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="T_{2, x_{0}}(x, y)" style="vertical-align: -0.65ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.409ex" height="2.347ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4158.6 1037.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9859-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path><path id="MJX-9859-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-9859-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-9859-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-9859-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-9859-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-9859-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-9859-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9859-TEX-I-1D447"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(584, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-9859-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(500, 0)"><use xlink:href="#MJX-9859-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(778, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9859-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-9859-TEX-N-30"></use></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1873.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-9859-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2262.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-9859-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2834.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-9859-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3279.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-9859-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3769.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-9859-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\begin{align*}T_{2, x_{0}}(x, y)=f(0,0)+D f(0,0) \cdot\left(\begin{array}{c}</p>
<p>x-0 \\</p>
<p>y-0</p>
<p>\end{array}\right)+\frac{1}{2 !} \cdot\left(\begin{array}{c}</p>
<p>x-0 \\</p>
<p>y-0</p>
<p>\end{array}\right)^{T} \cdot D^{2} f(0,0) \cdot\left(\begin{array}{c}</p>
<p>x-0 \\</p>
<p>y-0</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\hphantom{T_{2, x_{0}}(x, y)}=-1+(1,0) \cdot\left(\begin{array}{l}</p>
<p>x \\</p>
<p>y</p>
<p>\end{array}\right)+\frac{1}{2} \cdot(x, y) \cdot\left(\begin{array}{ll}</p>
<p>2 &amp; 0 \\</p>
<p>0 &amp; 1</p>
<p>\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}</p>
<p>x \\</p>
<p>y</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}\hphantom{T_{2, x_{0}}(x, y)}=-1-1 \cdot x+\frac{1}{2} \cdot(x, y) \cdot\left(\begin{array}{c}</p>
<p>2 x \\</p>
<p>y</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}\hphantom{T_{2, x_{0}}(x, y)}=-1+x+\frac{1}{2} \cdot\left(2 x^{2}+y^{2}\right)\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}\hphantom{T_{2, x_{0}}(x, y)}=-1+x+x^{2}+\frac{1}{2} \cdot y^{2}\end{align*}</p>


<p>Somit sind die Taylorpolynome 1. und 2. Ordnung:</p>

<p>Bestimme die Taylorpolynome erster und zweiter Ordnung $T_{1, x_{0}}(x), T_{2, x_{0}}(x)$ bzgl. des Entwicklungspunktes $x_{0}$ für die Funktion $f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R} \quad\left(\mathbb{D} \subset \mathbb{R}^{2}\right)$ </p>
<p>\[</p>
<p>f(x, y)=(1+x) \cdot \sin (x)-\cos (y)</p>
<p>\]</p>
<p>mit $x_{0}=(0,0)$</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Taylorpolynome (mehrdimensional) mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Funktionen (mehrdimensionale) - Taylorpolynome (mehrdimensional) | Auf


<h2 class="content_sub_heading">Partielle Ableitung</h2>
<p>Eine Partielle Ableitung, ist die Ableitung nach einer Varibalen von einer Funktion mit mehreren Veränderlichen. Sie gibt die Änderung in Richtung der entsprechenden Koordinaten-Achse an.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Partiell ableiten</h2>
<p>Leite deine Funktion mit mehreren Variablen jeweils nach einer Variablen ab (differenzieren) und behandel dabei die andereren Variablen wie Konstanten.<br />Das Ableiten an sich funktioniert dann wie gewohnt mit allen Ableitungsregeln.</p>


<p>Nach dem <strong>Satz von Schwarz</strong> gilt, dass du die Reihenfolge der Ableitungen hier vertauschen darfst. Es gilt also $f_{xy}=f_{yx}$</p>


<p>Nach dem <strong>Satz von Schwarz</strong> gilt, dass du die Reihenfolge der Ableitungen hier vertauschen darfst. Es gilt also <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f_{xy}=f_{yx}" style="vertical-align: -0.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.008ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 3981.5 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-869-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-869-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-869-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-869-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(572,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D466"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1601.7,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-869-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2657.5,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(490,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>



<h2 class="content_sub_heading">Gradient</h2>
<p>Der Gradient $grad(f) = \nabla f$ einer Funktion $f(x_1,x_2,...,x_n)$ ist ein Vektor. Seine Einträge bestehen jeweils aus den ersten partiellen Ableitungen der Funktion $f(x_1,x_2,...,x_n)$.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Gradient</h2>
<p>Der Gradient <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="grad(f) = \nabla f" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.623ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 6021.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-870-TEX-I-1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path><path id="MJX-870-TEX-I-1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 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data-mml-node="msub" transform="translate(939,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-871-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-871-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1947.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-871-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2392.2,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-871-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-871-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3400.8,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-871-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3845.4,0)"><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-871-TEX-N-2E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4290.1,0)"><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-871-TEX-N-2E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4734.8,0)"><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-871-TEX-N-2E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5179.4,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-871-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(5624.1,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-871-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-871-TEX-I-1D45B"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6703.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-871-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist ein Vektor. Seine Einträge bestehen jeweils aus den ersten partiellen Ableitungen der Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(x_1,x_2,...,x_n)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.046ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 7092.4 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-872-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 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-250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-872-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(939,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-872-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1947.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2392.2,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-872-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3400.8,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3845.4,0)"><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-2E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4290.1,0)"><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-2E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4734.8,0)"><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-2E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5179.4,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(5624.1,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-872-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-872-TEX-I-1D45B"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6703.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>


<p>Der Gradient ist also ein Vektor, der an jedem Punkt im Raum in Richtung der steilsten Steigung zeigt.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Gradient aufstellen</h2>
<p>Bestimme alle partiellen Ableitungen und schreibe sie in einen Vektor. $$grad(f) = \nabla f = \left(\begin{array}{c}f_{x_{1}} \\ f_{x_{2}} \\ \vdots \\ f_{x_{n}}\end{array}\right)$$</p>



<h2 class="content_sub_heading">Gradient aufstellen</h2>
<p>Bestimme alle partiellen Ableitungen und schreibe sie in einen Vektor. <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="grad(f) = \nabla f = \left(\begin{array}{c}f_{x_{1}} \\ f_{x_{2}} \\ \vdots \\ f_{x_{n}}\end{array}\right)" style="vertical-align: -5.966ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="23.623ex" height="13.063ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -3136.8 10441.3 5773.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-873-TEX-I-1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 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data-mml-node="mi" transform="translate(928,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1457,0)"><use data-c="1D451" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1977,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-873-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2366,0)"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2916,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-873-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3582.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-873-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4638.6,0)"><use data-c="2207" xlink:href="#MJX-873-TEX-N-2207"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5471.6,0)"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6299.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-873-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(7355.1,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="239B" xlink:href="#MJX-873-TEX-S4-239B" transform="translate(0,1982.8)"></use><use data-c="239D" xlink:href="#MJX-873-TEX-S4-239D" transform="translate(0,-1992.8)"></use><svg width="875" height="2355.7" y="-927.8" x="0" viewBox="0 531.9 875 2355.7"><use data-c="239C" xlink:href="#MJX-873-TEX-S4-239C" transform="scale(1,5.699)"></use></svg></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(875,0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,2386.8)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(25,0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-873-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,980.8)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(25,0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-873-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-975.3)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(529.1,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="22EE" xlink:href="#MJX-873-TEX-N-22EE"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-2375.3)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2211.2,0)"><use data-c="239E" xlink:href="#MJX-873-TEX-S4-239E" transform="translate(0,1982.8)"></use><use data-c="23A0" xlink:href="#MJX-873-TEX-S4-23A0" transform="translate(0,-1992.8)"></use><svg width="875" height="2355.7" y="-927.8" x="0" viewBox="0 531.9 875 2355.7"><use data-c="239F" xlink:href="#MJX-873-TEX-S4-239F" transform="scale(1,5.699)"></use></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>



<h2 class="content_sub_heading">Hesse-Matrix bestimmen</h2>
<ol>
<li>Berechne alle möglichen Kombinationen von den zweiten differentiellen Ableitungen.<br /><br /></li>
<li>Schreibe sie in eine Matrix.<br />Für eine Funktion mit drei Veränderlichen $f(x, y, z)$ sieht das so aus:<br />$$H_{f}(x, y, z)=\left(\begin{array}{lll}<br />f_{x x} &amp; f_{x y} &amp; f_{x z} \\<br />f_{y x} &amp; f_{y y} &amp; f_{y z} \\<br />f_{z x} &amp; f_{z y} &amp; f_{z z}<br />\end{array}\right)$$</li>
</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Hesse-Matrix bestimmen</h2>
<ol>
<li>Berechne alle möglichen Kombinationen von den zweiten differentiellen Ableitungen.<br /><br /></li>
<li>Schreibe sie in eine Matrix.<br />Für eine Funktion mit drei Veränderlichen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(x, y, z)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.471ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3744.3 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-886-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-886-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-886-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-886-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-886-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-886-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-886-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-886-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-886-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-886-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-886-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1955.7,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-886-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2445.7,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-886-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2890.3,0)"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-886-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3355.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-886-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> sieht das so aus:<br /><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="H_{f}(x, y, z)=\left(\begin{array}{lll}
f_{x x} & f_{x y} & f_{x z} \\
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data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(572,0)"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D467"></use></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,22.5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(490,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2381.9,0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(490,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4705.9,0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(490,0)"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D467"></use></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-1422.5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(465,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2381.9,0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(465,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4705.9,0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" 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</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Hesse-Matrix</h2>
<p>Die Hesse-Matrix $H_{f}(x, y)$ einer Funktion fasst alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung zusammen. In der ersten Zeile stehen alle Ableitungen, bei denen zuerst nach der ersten Variable abgeleitet wurde, in der zweiten Zeile wurde zuerst nach der zweiten Variablen abgeleitet und so weiter.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Hesse-Matrix</h2>
<p>Die Hesse-Matrix <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="H_{f}(x, y)" style="vertical-align: -0.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.117ex" height="2.364ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3587.6 1045" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-885-TEX-I-1D43B" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 219 683Q260 681 355 681Q389 681 418 681T463 682T483 682Q499 682 499 672Q499 670 497 658Q492 641 487 638H485Q483 638 480 638T473 638T464 637T455 637Q416 636 405 634T387 623Q384 619 355 500Q348 474 340 442T328 395L324 380Q324 378 469 378H614L615 381Q615 384 646 504Q674 619 674 627T617 637Q594 637 587 639T580 648Q580 650 582 660Q586 677 588 679T604 682Q609 682 646 681T740 680Q802 680 835 681T871 682Q888 682 888 672Q888 645 876 638H874Q872 638 869 638T862 638T853 637T844 637Q805 636 794 634T776 623Q773 618 704 340T634 58Q634 51 638 51Q646 48 692 46H723Q729 38 729 37T726 19Q722 6 716 0H701Q664 2 567 2Q533 2 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transform="translate(1691.9,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-885-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2263.9,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-885-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2708.6,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-885-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3198.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-885-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> einer Funktion fasst alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung zusammen. In der ersten Zeile stehen alle Ableitungen, bei denen zuerst nach der ersten Variable abgeleitet wurde, in der zweiten Zeile wurde zuerst nach der zweiten Variablen abgeleitet und so weiter.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Satz von Schwarz</h2>
<p>Bei mehrfach stetig differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen, ist die Reihenfolge, in der die partiellen Ableitungen für eine gemischte partielle Ableitung höherer Ordnung, durchgeführt werden, keinen Unterschied im Ergebnis macht. Für zwei Variablen gilt also:</p>
<p>\begin{align*}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial y} f(x, y)\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial}{\partial x} f(x, y)\right)\end{align*}</p>



<h2 class="content_sub_heading">Satz von Schwarz</h2>
<p>Bei mehrfach stetig differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen, ist die Reihenfolge, in der die partiellen Ableitungen für eine gemischte partielle Ableitung höherer Ordnung, durchgeführt werden, keinen Unterschied im Ergebnis macht. Für zwei Variablen gilt also:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial y} f(x, y)\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial}{\partial x} f(x, y)\right)\end{align*}" style="vertical-align: -2.148ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="36.414ex" height="5.428ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1449.5 16094.9 2399" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-975-TEX-I-1D715" d="M202 508Q179 508 169 520T158 547Q158 557 164 577T185 624T230 675T301 710L333 715H345Q378 715 384 714Q447 703 489 661T549 568T566 457Q566 362 519 240T402 53Q321 -22 223 -22Q123 -22 73 56Q42 102 42 148V159Q42 276 129 370T322 465Q383 465 414 434T455 367L458 378Q478 461 478 515Q478 603 437 639T344 676Q266 676 223 612Q264 606 264 572Q264 547 246 528T202 508ZM430 306Q430 372 401 400T333 428Q270 428 222 382Q197 354 183 323T150 221Q132 149 132 116Q132 21 232 21Q244 21 250 22Q327 35 374 112Q389 137 409 196T430 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<h2 class="content_sub_heading"><span style="font-size: 18px;">Aufstellen 1. bis 3. Taylorpolynom (mehrdimensional)</span></h2>
<p>Gegeben ist eine stetig partiell differenzierbare Funktion $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ und ein Entwicklungspunkt $a=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)^{T}$</p>
<ol>
<li>Berechne je nach gewünschtem Grad des Taylorpolynoms, den Gradienten $\nabla f(\boldsymbol{a})$ und Hese-Matrix $H_{f}(\boldsymbol{a})$ und alle benötigten partiellen Ableitungen.<br /><br /></li>
<li>Setze jetzt alles in das entsprechende Taylorpolynom ein.<br /><strong>Erstes Taylorpolynom:</strong><br />$T_{1, f, a}(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{a})+\nabla f(\boldsymbol{a})^{\top}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})$<br /><br /><strong>Zweites Taylorpolynom:</strong><br />$T_{2, f, a}(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{a})+\nabla f(\boldsymbol{a})^{\top}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})+\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})^{\top} H_{f}(\boldsymbol{a})(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})$<br /><br /><strong>Drittes Taylorpolynom:</strong><br />\begin{aligned}T_{3, f, a}(x)=&amp; T_{2, f, a}(x) \\<br />&amp;+\frac{1}{3 !} \cdot f_{x x x}(a) \cdot\left(x-a_{1}\right)^{3} \\<br />&amp;+\frac{1}{2 !} \cdot f_{x x y}(a) \cdot\left(x-a_{1}\right)^{2}\left(y-a_{2}\right)+\frac{1}{2 !} \cdot f_{x y y}(a) \cdot\left(x-a_{1}\right)\left(y-a_{2}\right)^{2} \\<br />&amp;+\frac{1}{3 !} \cdot f_{y y y}(a) \cdot\left(y-a_{2}\right)^{3}<br />\end{aligned}</li>
</ol>


<p>Der Satz von Schwarz lässt sich auf beliebig viele Variablen ausweiten. </p>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: