Mehrdimensionale Taylorformel

Wie im eindimensionalen Fall, kannst du eine Funktion auch in mehreren Dimensionen approximieren, indem du das Taylorpolynom benutzt. 

Wie du bereits weißt, lautet das Taylorpolynom einer eindimensionalen -fach differenzierbaren Funktion in einer Variablen um den Entwicklungspunkt :

Wenn es sich nun um ein Skalarfeld handelt, übernimmt der Gradient die Rolle der ersten Ableitung und die Hessematrix die Rolle der zweiten Ableitung .

Gegeben sei jetzt eine Funktion (stetig partiell differenzierbar) mit und zusätzlich ein Entwicklungspunkt .

ist das nullte Taylorpolynom im Entwicklungspunkt .

ist das erste Taylorpolynom im Entwicklungspunkt .

ist das zweite Taylorpolynom im Entwicklungspunkt .

Dieses Taylorpolynom kannst du analog zum eindimensionalen Taylorpolynom als Approximation des Skalarfeldes um den Entwicklungspunkt verstehen. 

Um nun auch noch das dritte Taylorpolynom im Entwicklungspunkt zu ermitteln, addierst du zu folgendermaßen: 

Vorgehen

Aufstellen 1. bis 3. Taylorpolynom (mehrdimensional)

Gegeben ist eine stetig partiell differenzierbare Funktion und ein Entwicklungspunkt

  1. Berechne je nach gewünschtem Grad des Taylorpolynoms, den Gradienten und Hese-Matrix und alle benötigten partiellen Ableitungen.

  2. Setze jetzt alles in das entsprechende Taylorpolynom ein.
    Erstes Taylorpolynom:


    Zweites Taylorpolynom:


    Drittes Taylorpolynom:

Zusatz:

Allgemein gilt für das -te Taylorpolynom:
Ist ein -mal stetig partiell differenzierbares Skalarfeld, dann lautet das -te Taylorpolynom in einem Entwicklungspunkt


mit