Taylorpolynome (mehrdimensional)

Der Gradient ist ein Vektor, der in jedem Punkt in die Richtung des steilsten Anstiegs zeigt. Um ihn zu berechnen genügt es, alle partiellen Ableitungen zu bestimmen und den Punkt, den du untersuchen willst, einzusetzen. 

Der erste Eintrag entspricht der partiellen Ableitung von nach (schreibe auch: ), der zweite entspricht der partiellen Ableitung von nach (schreibe auch: ) und so weiter.

Jeder Eintrag des Gradientenvektors gibt dabei den Anstieg der Funktion in Richtung der Variablen an, nach der abgeleitet wurde.

Notation
Man schreibt für den Gradienten von einer Funktion:

Das Symbol nennt man den Nabla-Operator ( sprich Nabla-).

In der mehrdimensionalen Analysis ist die Hesse-Matrix besonders häufig von Bedeutung, wenn es darum geht, Extremwerte von Funktionen mehrerer Variablen zu bestimmen. Sie enthält alle zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion. Wenn diese partiellen Ableitungen nun auch noch stetig sind, dann nennt man die Hesse-Matrix nach dem Satz von Schwarz symmetrisch. 

Man schreibt für eine Funktion die Hesse-Matrix: . Dabei ist die Menge der Veränderlichen, von denen abhängt.
Für eine Funktion mit zwei Variablen sieht die Hesse-Matrix im Allgemeinen so aus:

mit (zweimalige Ableitung von nach ) 
und ( zuerst nach , dann nach abgeleitet)
Analog funktioniert das bei einer Funktion drei Veränderlicher (und so weiter)

Nach dem Satz von Schwarz spielt die Reihenfolge der Ableitung im Normalfall keine Rolle, es gilt also:
und

Somit ist die Hesse-Matrix meistens eine symmetrische Matrix.
Eine wichtige Anwendung hat die Hesse-Matrix bei der Bestimmung der Art von Extremstellen.

Wie im eindimensionalen Fall, kannst du eine Funktion auch in mehreren Dimensionen approximieren, indem du das Taylorpolynom benutzt. 

Wie du bereits weißt, lautet das Taylorpolynom einer eindimensionalen -fach differenzierbaren Funktion in einer Variablen um den Entwicklungspunkt :

Wenn es sich nun um ein Skalarfeld handelt, übernimmt der Gradient die Rolle der ersten Ableitung und die Hessematrix die Rolle der zweiten Ableitung .

Gegeben sei jetzt eine Funktion (stetig partiell differenzierbar) mit und zusätzlich ein Entwicklungspunkt .

ist das nullte Taylorpolynom im Entwicklungspunkt .

ist das erste Taylorpolynom im Entwicklungspunkt .

ist das zweite Taylorpolynom im Entwicklungspunkt .

Dieses Taylorpolynom kannst du analog zum eindimensionalen Taylorpolynom als Approximation des Skalarfeldes um den Entwicklungspunkt verstehen. 

Um nun auch noch das dritte Taylorpolynom im Entwicklungspunkt zu ermitteln, addierst du zu folgendermaßen: 

Zusatz:

Allgemein gilt für das -te Taylorpolynom:
Ist ein -mal stetig partiell differenzierbares Skalarfeld, dann lautet das -te Taylorpolynom in einem Entwicklungspunkt

mit

Wie im eindimensionalen Fall, kannst du eine Funktion auch in mehreren Dimensionen approximieren, indem du das Taylorpolynom benutzt. 

Wie du bereits weißt, lautet das Taylorpolynom einer eindimensionalen -fach differenzierbaren Funktion in einer Variablen um den Entwicklungspunkt :

Wenn es sich nun um ein Skalarfeld handelt, übernimmt der Gradient die Rolle der ersten Ableitung und die Hessematrix die Rolle der zweiten Ableitung .

Gegeben sei jetzt eine Funktion (stetig partiell differenzierbar) mit und zusätzlich ein Entwicklungspunkt .

ist das nullte Taylorpolynom im Entwicklungspunkt .

ist das erste Taylorpolynom im Entwicklungspunkt .

ist das zweite Taylorpolynom im Entwicklungspunkt .

Dieses Taylorpolynom kannst du analog zum eindimensionalen Taylorpolynom als Approximation des Skalarfeldes um den Entwicklungspunkt verstehen. 

Um nun auch noch das dritte Taylorpolynom im Entwicklungspunkt zu ermitteln, addierst du zu folgendermaßen: 

Zusatz:

Allgemein gilt für das -te Taylorpolynom:
Ist ein -mal stetig partiell differenzierbares Skalarfeld, dann lautet das -te Taylorpolynom in einem Entwicklungspunkt

mit

Der Satz von Schwarz (auch Young-Theorem genannt) wird wichtig, wenn es um partielle Ableitungen höherer Ordnung geht. Er sagt aus, dass bei Funktionen mehrerer Variablen, die mehrfach stetig differenzierbar sind, die Reihenfolge der Durchführung der einzelnen partiellen Ableitungen keinen Unterschied für das Ergebnis macht. 

Ganz mathematisch lautet der Satz so: 

Sei in einer Umgebung des Punktes stetig. Außerdem sollen die partiellen Ableitungen und in existieren und in stetig sein.

Der Satz von Schwarz besagt jetzt, dass unter diesen Bedingungen auch die partielle Ableitung in existiert und es gilt:

( und  sind hier einfach beliebige Variablen, von denen die Funktion abhängt.)

Beispielsweise gilt also für die Funktionen und

wenn die Bedingungen erfüllt sind. 

Bestimme die Taylorpolynome erster und zweiter Ordnung bzgl. des Entwicklungspunktes für die Funktion  

mit

Bestimme die Taylorpolynome nullter, erster und zweiter Ordnung bzgl. des Entwicklungspunktes für die Funktion  

mit

Bestimme die Taylorpolynome erster und zweiter Ordnung bzgl. des Entwicklungspunktes für die Funktion  

mit

Entwickle das Taylorpolynom 2. Ordnung der Funktion

im Punkt

Bestimme die Taylorpolynome erster und zweiter Ordnung bzgl. des Entwicklungspunktes für die Funktion  

mit

Bestimme das Taylorpolynom 2. Ordnung der Funktion

im Entwicklungspunkt .

Bestimme das Taylorpolynom 3. Ordnung der Funktion

im Entwicklungspunkt