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Taylorpolynome (mehrdimensional)

Theorie:

Die Hesse-Matrix

In der mehrdimensionalen Analysis ist die Hesse-Matrix besonders häufig von Bedeutung, wenn es darum geht, Extremwerte von Funktionen mehrerer Variablen zu bestimmen. Sie enthält alle zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion. Wenn diese partiellen Ableitungen nun auch noch stetig sind, dann nennt man die Hesse-Matrix nach dem Satz von Schwarz symmetrisch. 

Definition

Hesse-Matrix

Die Hesse-Matrix einer Funktion fasst alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung zusammen. In der ersten Zeile stehen alle Ableitungen, bei denen zuerst nach der ersten Variable abgeleitet wurde, in der zweiten Zeile wurde zuerst nach der zweiten Variablen abgeleitet und so weiter.

Man schreibt für eine Funktion die Hesse-Matrix: . Dabei ist die Menge der Veränderlichen, von denen abhängt.
Für eine Funktion mit zwei Variablen sieht die Hesse-Matrix im Allgemeinen so aus:

mit (zweimalige Ableitung von nach
und ( zuerst nach , dann nach abgeleitet)
Analog funktioniert das bei einer Funktion drei Veränderlicher (und so weiter)



Vorgehen

Hesse-Matrix bestimmen

  1. Berechne alle möglichen Kombinationen von den zweiten differentiellen Ableitungen.

  2. Schreibe sie in eine Matrix.
    Für eine Funktion mit drei Veränderlichen sieht das so aus:

Nach dem Satz von Schwarz spielt die Reihenfolge der Ableitung im Normalfall keine Rolle, es gilt also:
und

Somit ist die Hesse-Matrix meistens eine symmetrische Matrix.
Eine wichtige Anwendung hat die Hesse-Matrix bei der Bestimmung der Art von Extremstellen.

Mehrdimensionale Taylorformel

Wie im eindimensionalen Fall, kannst du eine Funktion auch in mehreren Dimensionen approximieren, indem du das Taylorpolynom benutzt. 

Wie du bereits weißt, lautet das Taylorpolynom einer eindimensionalen -fach differenzierbaren Funktion in einer Variablen um den Entwicklungspunkt :

Wenn es sich nun um ein Skalarfeld handelt, übernimmt der Gradient die Rolle der ersten Ableitung und die Hessematrix die Rolle der zweiten Ableitung .

Gegeben sei jetzt eine Funktion (stetig partiell differenzierbar) mit und zusätzlich ein Entwicklungspunkt .

ist das nullte Taylorpolynom im Entwicklungspunkt .

ist das erste Taylorpolynom im Entwicklungspunkt .

ist das zweite Taylorpolynom im Entwicklungspunkt .

Dieses Taylorpolynom kannst du analog zum eindimensionalen Taylorpolynom als Approximation des Skalarfeldes um den Entwicklungspunkt verstehen. 

Um nun auch noch das dritte Taylorpolynom im Entwicklungspunkt zu ermitteln, addierst du zu folgendermaßen: 

Vorgehen

Aufstellen 1. bis 3. Taylorpolynom (mehrdimensional)

Gegeben ist eine stetig partiell differenzierbare Funktion und ein Entwicklungspunkt

  1. Berechne je nach gewünschtem Grad des Taylorpolynoms, den Gradienten und Hese-Matrix und alle benötigten partiellen Ableitungen.

  2. Setze jetzt alles in das entsprechende Taylorpolynom ein.
    Erstes Taylorpolynom:


    Zweites Taylorpolynom:


    Drittes Taylorpolynom:

Zusatz:

Allgemein gilt für das -te Taylorpolynom:
Ist ein -mal stetig partiell differenzierbares Skalarfeld, dann lautet das -te Taylorpolynom in einem Entwicklungspunkt


mit

Mehrdimensionale Taylorformel

Wie im eindimensionalen Fall, kannst du eine Funktion auch in mehreren Dimensionen approximieren, indem du das Taylorpolynom benutzt. 

Wie du bereits weißt, lautet das Taylorpolynom einer eindimensionalen -fach differenzierbaren Funktion in einer Variablen um den Entwicklungspunkt :

Wenn es sich nun um ein Skalarfeld handelt, übernimmt der Gradient die Rolle der ersten Ableitung und die Hessematrix die Rolle der zweiten Ableitung .

Gegeben sei jetzt eine Funktion (stetig partiell differenzierbar) mit und zusätzlich ein Entwicklungspunkt .

ist das nullte Taylorpolynom im Entwicklungspunkt .

ist das erste Taylorpolynom im Entwicklungspunkt .

ist das zweite Taylorpolynom im Entwicklungspunkt .

Dieses Taylorpolynom kannst du analog zum eindimensionalen Taylorpolynom als Approximation des Skalarfeldes um den Entwicklungspunkt verstehen. 

Um nun auch noch das dritte Taylorpolynom im Entwicklungspunkt zu ermitteln, addierst du zu folgendermaßen: 

Vorgehen

Aufstellen 1. bis 3. Taylorpolynom (mehrdimensional)

Gegeben ist eine stetig partiell differenzierbare Funktion und ein Entwicklungspunkt

  1. Berechne je nach gewünschtem Grad des Taylorpolynoms, den Gradienten und Hese-Matrix und alle benötigten partiellen Ableitungen.

  2. Setze jetzt alles in das entsprechende Taylorpolynom ein.
    Erstes Taylorpolynom:


    Zweites Taylorpolynom:


    Drittes Taylorpolynom:

Zusatz:

Allgemein gilt für das -te Taylorpolynom:
Ist ein -mal stetig partiell differenzierbares Skalarfeld, dann lautet das -te Taylorpolynom in einem Entwicklungspunkt


mit

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