Hauptminorantenkriterium

Das Hauptminorenkriterium (Hurwitzkriterium, Kriterium von Sylvester) dient der Untersuchung darüber, ob eine Matrix positiv oder negativ definit ist. Eine Aussage über die semidefinitheit kann nicht getroffen werden (hierfür brauchst du die Eigenwertmethode).

Die Berechnung erfolgt über die Untersuchung der Hauptdeterminanten (Hauptminoren) der vorliegenden Matrix, mit dem folgenden Schema:

Vorgehen

Definitheit mittels Hauptminorantenkriterium

  1. Bestimme alle Hauptminoren der vorliegenden Matrix. Diese erhälst du, indem du die Determinanten aller Untermatrizen berechnest, die durch sukzessives streichen der letzten Zeile und Spalte der Matrix entstehen. Also ,


  2. Unterscheide:
    • Gilt für alle Hauptminoren , so ist die Matrix positiv definit.
    • Ist und anschließend alle weiteren Hauptminoren in ihrem Vorzeichen alternierend (abwechselnd positiv und negativ), so ist die Matrix negativ definit.
      Kurz: Prüfe ob
    • Trifft keiner der beiden Fälle zu, so ist die Matrix semidefinit oder indefinit und es kann keine Aussage mit dem Hurwitzkriterium getroffen werden.

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