Extrema (mehrdimensional)

Theorie: Mehrdimensionale Extremstellen

Das Bestimmen von Extremstellen von Funktionen mit mehreren Variablen funktioniert ganz ähnlich wie bei eindimensionalen Funktionen. Du musst zunächst die kritischen Stellen finden, indem du die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmst. Dann kannst du mithilfe der zweiten Ableitung die Art der gefundenen Extrema bestimmen.

Mehrdimensionale Extremstellen

 
  1. Bestimme den Gradienten von der Funktion .

  2. Setze jede Zeile des Gradienten gleich und löse das entstandene Gleichungssystem. Die Lösungen liefern dir die kritischen Punkte.

  3. Berechne die Hesse-Matrix von .

  4. Setze deine kritischen Punkte in ein und bestimme jeweils die Definitheit dieser Matrix:
    • positiv definit: Minimum
    • negativ definit: Maximum
    • indefinit: Sattelpunkt
    • positiv semidefinit: Minimum oder Sattelpunkt
    • negativ semidefinit: Maximum oder Sattelpunkt

Wenn noch nach der Unterscheidung von lokalen und globalen Extrema gefragt ist, dann beachte:

  • Falls die berechnete Hesse-Matrix schon vor dem Einsetzen der Werte nicht mehr von den Veränderlichen abhängt, dann ist der entsprechende kritische Punkt ein globales Maximum ( negativ definit) bzw. ein globales Minimum ( positiv definit).
  • Ansonsten musst du noch die Randpunkte deiner gegebenen Definitionsmenge untersuchen. Das globale Minimum bzw. Maximum entspricht dann einfach den kleinsten bzw. größten Funktionswert aus lokalen Extremstellen und Randpunkten.

Ist positiv oder negativ semidefinit, lässt sich erstmal keine genauere Aussage über die Art der Extremstelle treffen, du musst also die Umgebung des kritischen Punktes betrachten.

Spezialfall:

Falls die Hesse-Matrix am kritischen Punkt der Null-Matrix entspricht, musst du die dritten partiellen Ableitungen der Funktion bilden. Falls nur eine dieser Ableitungen am kritischen Punkt ungleich Null ist, befindet sich dort ein Sattelpunkt, ansonsten lässt sich keine Aussage treffen.

Theorie: Definitheit von Matrizen

Die Definitheit ist eine Eigenschaft, welche einer quadratischen Matrix zugeordnet werden kann. Die Definitheit einer Matrix zu kennen, ist sowohl in der Physik als auch in der Mathematik oft sehr wichtig. Ein Beispiel sind die Extremwertaufgaben im mehrdimensionalen Raum. Falls z.B. die Hesse-Matrix einer Funktion an einem kritischen Punkt positiv definit ist, so weisst du das in diesem Punkt ein lokales Minimum besitzt.

Kategorisierung:

Bei der Frage nach der Definitheit werden insgesamt 5 Arten unterschieden, die formal über die folgende Definition festegelegt sind:

Definitheit einer Matrix 

 

Sei ein beliebiger n-zeiliger Spaltenvektor mit . Eine quadratische Matrix heißt:

 

positiv definit falls
positiv semidefinit falls
negativ definit falls
negativ semidefinit falls
indefinit falls weder positiv noch negativ (semi-)definit

Bestimmen der Definitheit:

Um die Definitheit einer Matrix zu bestimmen gibt es verschiedene Vorgehensweisen. Die beiden bekanntesten sind das Hauptminorantenkriterium und die Eigenwertmethode. Bei ersterem erfolgt die Berechnung über die Hauptminoren der Matrix und bei der Eigenwertmethode über die Bestimmung der Eigenwerte.

Die Entscheidung, welches Verfahren sich im einzelnen anbietet liegt daran, ob du nur Informationen über positiv/negativ Definitheit suchst oder auch über semidefinit und indefinit. Merke dir hierfür:

  • Willst du lediglich untersuchen ob eine Matrix positiv oder negativ Definit ist, so nutze das Hauptminorantenkriterium.
  • Ist zusätzlich interessant ob die Matrix semidefinit/undefinit ist, so nutze die Eigenwertmethode.
 
Theorie: Die Hesse-Matrix

In der mehrdimensionalen Analysis ist die Hesse-Matrix besonders häufig von Bedeutung, wenn es darum geht, Extremwerte von Funktionen mehrerer Variablen zu bestimmen. Sie enthält alle zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion. Wenn diese partiellen Ableitungen nun auch noch stetig sind, dann nennt man die Hesse-Matrix nach dem Satz von Schwarz symmetrisch. 

Hesse-Matrix

 

Die Hesse-Matrix einer Funktion fasst alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung zusammen. In der ersten Zeile stehen alle Ableitungen, bei denen zuerst nach der ersten Variable abgeleitet wurde, in der zweiten Zeile wurde zuerst nach der zweiten Variablen abgeleitet und so weiter.

Man schreibt für eine Funktion die Hesse-Matrix: . Dabei ist die Menge der Veränderlichen, von denen abhängt.
Für eine Funktion mit zwei Variablen sieht die Hesse-Matrix im Allgemeinen so aus:

mit (zweimalige Ableitung von nach
und ( zuerst nach , dann nach abgeleitet)
Analog funktioniert das bei einer Funktion drei Veränderlicher (und so weiter)



Hesse-Matrix bestimmen

 
  1. Berechne alle möglichen Kombinationen von den zweiten differentiellen Ableitungen.

  2. Schreibe sie in eine Matrix.
    Für eine Funktion mit drei Veränderlichen sieht das so aus:

Nach dem Satz von Schwarz spielt die Reihenfolge der Ableitung im Normalfall keine Rolle, es gilt also:
und

Somit ist die Hesse-Matrix meistens eine symmetrische Matrix.
Eine wichtige Anwendung hat die Hesse-Matrix bei der Bestimmung der Art von Extremstellen.

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