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Aufgabenstellung:

Sei mit

Beweise

  1. Zu jedem in gibt es eine Umgebung von sodasss injektiv ist.
  2. selbst ist nicht injektiv.

Lösungsweg:

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Schritt der Lösung anzuzeigen.

Die Voraussetzung für den Satz über Umkehrfunktionen ist stetige Differenzierbarkeit:

Die Komponenten von sind stetig differenzierbar und damit auch .

Berechne die Determinante der Jakobi-Matrix:

Somit ist die Jacobi-Matrix also invertierbar und damit ist an jedem Punkt in lokal umkehrbar. Daraus folgt auch direkt, dass injektiv ist.

Zeige ist insgesamt nicht injektiv:

Finde ein Beispiel dafür, dass die Abbildung nicht immer eindeutig ist.

z.B. gilt

Somit ist selbst nicht injektiv.

Lösung:

  1. Die Determinante ist lokal umkehrbar.
  2. Somit ist selbst nicht injektiv.