DGL Systeme


DGL Systeme

 

Ein DGL System ist ein System aus mehreren Differentialgleichungen, die man allgemein nicht einzeln lösen kann. DGL Systeme haben die folgende Form:

 

Dabei sind und stetige Funktionen, die auf einem Intervall definiert sein sollten. Man will nun versuchen, Funktionen zu finden, die das Gleichungssystem lösen. 

Um alles ein bisschen kompakter darstellen zu können, schreibt man: 

 

Jetzt kannst du das DGL System auch als Gleichung schreiben: 

Dies sieht fast aus wie eine lineare DGL (mit dem Unterschied, dass eine Matrix ist) und wird daher auch lineares DGL System genannt. Entsprechend nennt man das System homogen, wenn , also wenn das DGL System so aussieht:

Die Lösung solcher DGL-Systeme ist eine stetig differenzierbare Funktion mit den Komponentenfunktionen . Die Menge der Lösungen, also die Komponenten bilden eine Basis, die man auch Fundamentalsystem nennt. 

DGL Systeme sind auch zum Lösen von Differentialgleichungen -ter Ordnung sehr nützlich, weil sich jede Differentialgleichung höherer Ordnung auf ein DGL System zurückführen lässt. Das funktioniert ganz einfach folgendermaßen: 

Wenn du eine DGL höherer Ordnung gegeben hast, sieht das so aus:  

Das kannst du in die oben eingeführte Form eines DGL Systems bringen, indem du schreibst: 

usw. 

 

Fundamentalsystem eines homogenen DGL Systems 1. Ordnung finden

 

Gegeben sei ein DGL System mit diagonalisierbarer Matrix in der Form

 

  1. Bestimme die Eigenwerte der Matrix und ihre zugehörigen Eigenvektoren

  2. Setze die Eigenwerte und deren zugehörige Eigenvektoren in die Form mit ein, wodurch du ein Fundamentalsystem (also Vektoren, die eine Basis bilden) erhältst. 

 

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