<p>Gegeben sei das lineare Differentialgleichungssystem:<br />\[<br />x^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{cc}<br />0 &amp; 1 \\<br />-1 &amp; 0<br />\end{array}\right) \cdot x(t)<br />\]</p><p>Bestimme die Lösung $x(t)$ des Differentialgleichungssystems.</p>

<p>Gegeben sei das lineare Differentialgleichungssystem:<br /><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
x^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right) \cdot x(t)
" style="vertical-align: -2.149ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="22.562ex" height="5.43ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1450 9972.5 2400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12203-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-12203-TEX-N-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 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data-mml-node="mo" transform="translate(1322, 0)"><use xlink:href="#MJX-12204-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> des Differentialgleichungssystems.</p>

<p>Gegeben sei das folgende Differentialgleichungssystem: $\dot{x}(t)=A \cdot x(t)$ mit:<br />\[<br />A=\left(\begin{array}{ll}<br />6 &amp; -17 \\<br />8 &amp; -6<br />\end{array}\right)<br />\]</p>
<p>Bestimme die Lösungsgesamtheit (Fundamentalsystem) des DGL-Systems.</p>

<p>Gegeben sei das folgende Differentialgleichungssystem: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\dot{x}(t)=A \cdot x(t)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.09ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 6228 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12225-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-12225-TEX-N-2D9" d="M190 609Q190 637 208 653T252 669Q275 667 292 652T309 609Q309 579 292 564T250 549Q225 549 208 564T190 609Z"></path><path id="MJX-12225-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-12225-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-12225-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-12225-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-12225-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-12225-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12225-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(63.8, -47)"><use xlink:href="#MJX-12225-TEX-N-2D9"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(572, 0)"><use xlink:href="#MJX-12225-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(961, 0)"><use xlink:href="#MJX-12225-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1322, 0)"><use xlink:href="#MJX-12225-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1988.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-12225-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3044.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-12225-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4016.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-12225-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4517, 0)"><use xlink:href="#MJX-12225-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5089, 0)"><use xlink:href="#MJX-12225-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5478, 0)"><use xlink:href="#MJX-12225-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5839, 0)"><use xlink:href="#MJX-12225-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> mit:<br /><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
A=\left(\begin{array}{ll}
6 & -17 \\
8 & -6
\end{array}\right)
" style="vertical-align: -2.149ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.461ex" height="5.43ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1450 6833.6 2400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12226-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-12226-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-12226-TEX-S3-28" 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<p>Bestimme die Lösungsgesamtheit (Fundamentalsystem) des DGL-Systems.</p>

<p>Gegeben sei das folgende Differentialgleichungssystem:</p><p>\[ x^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{ccc} 0 &amp; 1 &amp; 0 \\ 0 &amp; -2 &amp; -5 \\ 0 &amp; 1 &amp; 2 \end{array}\right) \cdot x(t) \]</p><p>Bestimme hierfür ein Fundamentalsystem.</p>

<p>Gegeben sei das folgende Differentialgleichungssystem:</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt=" x^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -5 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right) \cdot x(t) " style="vertical-align: -3.733ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="28.345ex" height="8.597ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2150 12528.5 3800" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12165-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-12165-TEX-N-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path><path id="MJX-12165-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-12165-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 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1154H819H837Z"></path><path id="MJX-12165-TEX-S4-239D" d="M843 -635Q843 -638 837 -644H820Q801 -644 800 -643Q792 -635 785 -626Q684 -503 605 -363T473 -75T385 216T330 518T302 809T291 1093Q291 1144 291 1153T296 1164Q298 1165 366 1165Q409 1165 411 1164Q415 1163 416 1157T417 1119Q417 529 517 109T833 -617Q843 -631 843 -635Z"></path><path id="MJX-12165-TEX-S4-239C" d="M413 -9Q412 -9 407 -9T388 -10T354 -10Q300 -10 297 -9Q294 -8 293 -5Q291 5 291 127V300Q291 602 292 605L296 609Q298 610 366 610Q382 610 392 610T407 610T412 609Q416 609 416 592T417 473V127Q417 -9 413 -9Z"></path><path id="MJX-12165-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-12165-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 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136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path id="MJX-12165-TEX-S4-239E" d="M31 1143Q31 1154 49 1154H59Q72 1154 75 1152T89 1136Q190 1013 269 873T401 585T489 294T544 -8T572 -299T583 -583Q583 -634 583 -643T577 -654Q575 -655 508 -655Q465 -655 463 -654Q459 -653 458 -647T457 -609Q457 -58 371 340T100 1037Q87 1059 61 1098T31 1143Z"></path><path id="MJX-12165-TEX-S4-23A0" d="M56 -644H50Q31 -644 31 -635Q31 -632 37 -622Q69 -579 100 -527Q286 -228 371 170T457 1119Q457 1161 462 1164Q464 1165 520 1165Q575 1165 577 1164Q582 1162 582 1153T583 1093Q581 910 570 752T527 400T442 40T300 -303T89 -626Q78 -640 75 -642T61 -644H56Z"></path><path id="MJX-12165-TEX-S4-239F" d="M579 -9Q578 -9 573 -9T554 -10T520 -10Q466 -10 463 -9Q460 -8 459 -5Q457 5 457 127V300Q457 602 458 605L462 609Q464 610 532 610Q548 610 558 610T573 610T578 609Q582 609 582 592T583 473V127Q583 -9 579 -9Z"></path><path id="MJX-12165-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12165-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12165-TEX-N-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(816.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-12165-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1205.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-12165-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1566.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-12165-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2233.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-12165-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(3289, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-12165-TEX-S4-239B" transform="translate(0, 996)"></use><use xlink:href="#MJX-12165-TEX-S4-239D" transform="translate(0, -1006)"></use><svg width="875" height="382" y="59" x="0" viewBox="0 86.3 875 382"><use xlink:href="#MJX-12165-TEX-S4-239C" transform="scale(1, 0.924)"></use></svg></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(875, 0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 1400)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-12165-TEX-N-30"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1889, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-12165-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4167, 0)"><g data-mml-node="mn"><use 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xlink:href="#MJX-12165-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5931, 0)"><use xlink:href="#MJX-12165-TEX-S4-239E" transform="translate(0, 996)"></use><use xlink:href="#MJX-12165-TEX-S4-23A0" transform="translate(0, -1006)"></use><svg width="875" height="382" y="59" x="0" viewBox="0 86.3 875 382"><use xlink:href="#MJX-12165-TEX-S4-239F" transform="scale(1, 0.924)"></use></svg></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(10317.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-12165-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(10817.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-12165-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(11389.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-12165-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(11778.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-12165-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(12139.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-12165-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>Bestimme hierfür ein Fundamentalsystem.</p>

<p>Gegeben sei das folgende Differentialgleichungssystem:<br />\[<br />x^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{ccc}<br />-2 &amp; 2 &amp; -3 \\<br />2 &amp; 1 &amp; -6 \\<br />-1 &amp; -2 &amp; 0<br />\end{array}\right) \cdot x(t)<br />\]<br />Bestimme hierfür ein Fundamentalsystem.</p>

<p>Gegeben sei das folgende Differentialgleichungssystem:<br /><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
x^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{ccc}
-2 & 2 & -3 \\
2 & 1 & -6 \\
-1 & -2 & 0
\end{array}\right) \cdot x(t)
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<p>Gegeben sei das folgende Differentialgleichungssystem: $\dot{x}(t)=A \cdot x(t)$ mit:<br />\[<br />A=\left(\begin{array}{lll}<br />1 &amp; 3 &amp; 1 \\<br />3 &amp; 1 &amp; 1 \\<br />1 &amp; 1 &amp; 5<br />\end{array}\right)<br />\]</p><p>Bestimme die Lösungsgesamtheit (Fundamentalsystem) des DGL-Systems.</p>

<p>Gegeben sei das folgende Differentialgleichungssystem: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\dot{x}(t)=A \cdot x(t)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.09ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 6228 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12254-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-12254-TEX-N-2D9" d="M190 609Q190 637 208 653T252 669Q275 667 292 652T309 609Q309 579 292 564T250 549Q225 549 208 564T190 609Z"></path><path id="MJX-12254-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-12254-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-12254-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-12254-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-12254-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-12254-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12254-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(63.8, -47)"><use xlink:href="#MJX-12254-TEX-N-2D9"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(572, 0)"><use xlink:href="#MJX-12254-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(961, 0)"><use xlink:href="#MJX-12254-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1322, 0)"><use xlink:href="#MJX-12254-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1988.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-12254-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3044.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-12254-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4016.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-12254-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4517, 0)"><use xlink:href="#MJX-12254-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5089, 0)"><use xlink:href="#MJX-12254-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5478, 0)"><use xlink:href="#MJX-12254-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5839, 0)"><use xlink:href="#MJX-12254-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> mit:<br /><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
A=\left(\begin{array}{lll}
1 & 3 & 1 \\
3 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 5
\end{array}\right)
" style="vertical-align: -3.733ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.592ex" height="8.597ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2150 7333.6 3800" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12255-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-12255-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path 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210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path id="MJX-12255-TEX-S4-239E" d="M31 1143Q31 1154 49 1154H59Q72 1154 75 1152T89 1136Q190 1013 269 873T401 585T489 294T544 -8T572 -299T583 -583Q583 -634 583 -643T577 -654Q575 -655 508 -655Q465 -655 463 -654Q459 -653 458 -647T457 -609Q457 -58 371 340T100 1037Q87 1059 61 1098T31 1143Z"></path><path id="MJX-12255-TEX-S4-23A0" d="M56 -644H50Q31 -644 31 -635Q31 -632 37 -622Q69 -579 100 -527Q286 -228 371 170T457 1119Q457 1161 462 1164Q464 1165 520 1165Q575 1165 577 1164Q582 1162 582 1153T583 1093Q581 910 570 752T527 400T442 40T300 -303T89 -626Q78 -640 75 -642T61 -644H56Z"></path><path id="MJX-12255-TEX-S4-239F" d="M579 -9Q578 -9 573 -9T554 -10T520 -10Q466 -10 463 -9Q460 -8 459 -5Q457 5 457 127V300Q457 602 458 605L462 609Q464 610 532 610Q548 610 558 610T573 610T578 609Q582 609 582 592T583 473V127Q583 -9 579 -9Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12255-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1027.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-12255-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(2083.6, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-12255-TEX-S4-239B" transform="translate(0, 996)"></use><use xlink:href="#MJX-12255-TEX-S4-239D" transform="translate(0, -1006)"></use><svg width="875" height="382" y="59" x="0" viewBox="0 86.3 875 382"><use xlink:href="#MJX-12255-TEX-S4-239C" transform="scale(1, 0.924)"></use></svg></g><g data-mml-node="mtable" 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transform="translate(1500, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-12255-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(3000, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-12255-TEX-N-35"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4375, 0)"><use xlink:href="#MJX-12255-TEX-S4-239E" transform="translate(0, 996)"></use><use xlink:href="#MJX-12255-TEX-S4-23A0" transform="translate(0, -1006)"></use><svg width="875" height="382" y="59" x="0" viewBox="0 86.3 875 382"><use xlink:href="#MJX-12255-TEX-S4-239F" transform="scale(1, 0.924)"></use></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>Bestimme die Lösungsgesamtheit (Fundamentalsystem) des DGL-Systems.</p>

DGL Systeme

Regel von Sarrus (3x3 Determinante)

<p>Die Determinante von $3\times3$ Matrizen kannst du mit der Regel von Sarrus berechnen:</p>


<p>Die Determinante von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="3\times3" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 2222.4 687" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-716-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-716-TEX-N-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-716-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJX-716-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-716-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Matrizen kannst du mit der Regel von Sarrus berechnen:</p>


<div id=5f076c6bf6dbaf42244f972b class="mceNonEditable extraContainerVorgehen"><div class="extraContainerVorgehenHeader mceNonEditable"><div class="icon-vorgehen"></div>Vorgehen</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Determinate einer 3x3 Matrix über Sarrus</h2>
<ol>
<li>Schreibe die ersten beiden Spalten der Matrix noch einmal rechts neben die Matrix.<br />
<p>\begin{align*}</p>
<p>\\</p>
<p>\quad A:=\left(\begin{array}{lll}</p>
<p>a &amp; b &amp; c \\</p>
<p>d &amp; e &amp; f \\</p>
<p>g &amp; h &amp; i</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\Rightarrow</p>
<p>\begin{array}{|lll|ll}</p>
<p>\color{#5FAFD2}{a} &amp;\color{#AAC869}{ b} &amp;\color{#DC6955}{c} &amp;a&amp;b\\</p>
<p>d &amp;\color{#5FAFD2}{ e} &amp;\color{#AAC869}{ f} &amp;\color{#DC6955}{d}&amp;e\\</p>
<p>g &amp; h &amp; \color{#5FAFD2}{i}&amp;\color{#AAC869}{g}&amp;\color{#DC6955}{h}</p>
<p>\end{array} \qquad \qquad</p>
<p>\begin{array}{|lll|ll}</p>
<p>a &amp;b &amp;\color{#5FAFD2}{c} &amp; \color{#AAC869}{a}&amp;\color{#DC6955}{b}\\</p>
<p>d &amp;\color{#5FAFD2}{e} &amp;\color{#AAC869}{f} &amp;\color{#DC6955}{d}&amp;e\\</p>
<p>\color{#5FAFD2}{g} &amp; \color{#AAC869}{h} &amp; \color{#DC6955}{i}&amp;g&amp;h</p>
<p>\end{array}</p>
<p>\end{align*}<br /><br /></p>
</li>
<li>
<p>Addiere die Produkte der entstandenen drei Diagonalen von links oben nach rechts unten und subtrahiere dann die Produkte der Diagonalen von rechts oben nach links unten:</p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>\quad \Rightarrow\det(A) =\color{#5FAFD2}{a e i} \ \color{#000}{+} \ \color{#AAC869}{b f g} \ \color{#000}{+} \ \color{#DC6955}{c d h} \ \color{#000}{-} \ \color{#DC6955}{b d i} \ \color{#000}{-} \ \color{#AAC869}{a f h} \ \color{#000}{-} \ \color{#5FAFD2}{c e g}</p>
<p>\end{align*}</p>
</li>
</ol>
</div></div>


<div id=5f196834582835c1f96351b0 class="mceNonEditable extraContainerDefinition"><div class="extraContainerDefinitionHeader mceNonEditable"><div class="icon-definition"></div>Definition</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">DGL Systeme</h2>
<p>Ein DGL System ist ein System aus mehreren Differentialgleichungen, die man allgemein nicht einzeln lösen kann. DGL Systeme haben die folgende Form:</p>
<p> </p>
<p>\[\begin{aligned}<br />x_{1}^{\prime} &amp;=a_{11}(t) x_{1}+\cdots+a_{1 n}(t) x_{n}+b_{1}(t) \\<br />&amp; \vdots \\<br />x_{n}^{\prime} &amp;=a_{n 1}(t) x_{1}+\cdots+a_{n n}(t) x_{n}+b_{n}(t)<br />\end{aligned}\]</p>
</div></div>


<div id=5f196834582835c1f96351b0 class="mceNonEditable extraContainerDefinition"><div class="extraContainerDefinitionHeader mceNonEditable"><div class="icon-definition"></div>Definition</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">DGL Systeme</h2>
<p>Ein DGL System ist ein System aus mehreren Differentialgleichungen, die man allgemein nicht einzeln lösen kann. DGL Systeme haben die folgende Form:</p>
<p> </p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{aligned}
x_{1}^{\prime} &=a_{11}(t) x_{1}+\cdots+a_{1 n}(t) x_{n}+b_{1}(t) \\
& \vdots \\
x_{n}^{\prime} &=a_{n 1}(t) x_{1}+\cdots+a_{n n}(t) x_{n}+b_{n}(t)
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transform="translate(5093.1,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-4835-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6093.4,0)"><use data-c="22EF" xlink:href="#MJX-4835-TEX-N-22EF"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7487.6,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-4835-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(8487.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-4835-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-4835-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(600,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-4835-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9948.3,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-4835-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(10337.3,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-4835-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(10698.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-4835-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(11087.3,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-4835-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-4835-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(12388.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-4835-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(13389.1,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJX-4835-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(462,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-4835-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(14325.3,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-4835-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(14714.3,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-4835-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(15075.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-4835-TEX-N-29"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>
</div></div>


<p>Dabei sind $a_{i j}(t)$ und $b_{i}(t)$ stetige Funktionen, die auf einem Intervall $I$ definiert sein sollten. Man will nun versuchen, Funktionen $x_{1}, \ldots, x_{n}$ zu finden, die das Gleichungssystem lösen. </p>
<p>Um alles ein bisschen kompakter darstellen zu können, schreibt man: </p>


<p>Dabei sind <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a_{i j}(t)" style="vertical-align: -0.666ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.173ex" height="2.363ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2286.3 1044.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4836-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-4836-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 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transform="translate(756,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-4837-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1145,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-4837-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1506,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-4837-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> stetige Funktionen, die auf einem Intervall <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="I" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.14ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 504 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4838-TEX-I-1D43C" d="M43 1Q26 1 26 10Q26 12 29 24Q34 43 39 45Q42 46 54 46H60Q120 46 136 53Q137 53 138 54Q143 56 149 77T198 273Q210 318 216 344Q286 624 286 626Q284 630 284 631Q274 637 213 637H193Q184 643 189 662Q193 677 195 680T209 683H213Q285 681 359 681Q481 681 487 683H497Q504 676 504 672T501 655T494 639Q491 637 471 637Q440 637 407 634Q393 631 388 623Q381 609 337 432Q326 385 315 341Q245 65 245 59Q245 52 255 50T307 46H339Q345 38 345 37T342 19Q338 6 332 0H316Q279 2 179 2Q143 2 113 2T65 2T43 1Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43C" xlink:href="#MJX-4838-TEX-I-1D43C"></use></g></g></g></svg></mjx-container> definiert sein sollten. Man will nun versuchen, Funktionen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x_{1}, \ldots, x_{n}" style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.764ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 4315.8 636" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4839-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-4839-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-4839-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-4839-TEX-N-2026" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60ZM525 60Q525 84 542 102T585 120Q609 120 627 104T646 61Q646 36 629 18T586 0T543 17T525 60ZM972 60Q972 84 989 102T1032 120Q1056 120 1074 104T1093 61Q1093 36 1076 18T1033 0T990 17T972 60Z"></path><path id="MJX-4839-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-4839-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-4839-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1008.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-4839-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1453.2,0)"><use data-c="2026" xlink:href="#MJX-4839-TEX-N-2026"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2791.9,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-4839-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3236.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-4839-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-4839-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> zu finden, die das Gleichungssystem lösen. </p>
<p>Um alles ein bisschen kompakter darstellen zu können, schreibt man: </p>


<p>\[x=\left(\begin{array}{c}<br />x_{1} \\<br />\vdots \\<br />x_{n}<br />\end{array}\right), \quad A(t)=\left(\begin{array}{ccc}<br />a_{11}(t) &amp; \ldots &amp; a_{1 n}(t) \\<br />\vdots &amp; &amp; \vdots \\<br />a_{n 1}(t) &amp; \ldots &amp; a_{n n}(t)<br />\end{array}\right) \quad \text { und } \quad b(t)=\left(\begin{array}{c}<br />b_{1}(t) \\<br />\vdots \\<br />b_{n}(t)<br />\end{array}\right)\] </p>


<p>Jetzt kannst du das DGL System auch als Gleichung schreiben: </p>


<p>Dies sieht fast aus wie eine lineare DGL (mit dem Unterschied, dass $A(t)$ eine Matrix ist) und wird daher auch lineares DGL System genannt. Entsprechend nennt man das System homogen, wenn $b(t)=0$, also wenn das DGL System so aussieht: $x^{\prime}=A(t) x$</p>
<p>Die Lösung solcher DGL-Systeme ist eine stetig differenzierbare Funktion $x$ mit den Komponentenfunktionen $x_1, \cdots ,x_n$. Die Menge der Lösungen, also die Komponenten $x_1, \cdots ,x_n$ bilden eine Basis, die man auch <strong>Fundamentalsystem </strong>nennt. </p>


<p>Dies sieht fast aus wie eine lineare DGL (mit dem Unterschied, dass <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A(t)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.274ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1889 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4842-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-4842-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-4842-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-4842-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-4842-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(750,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-4842-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1139,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-4842-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1500,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-4842-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> eine Matrix ist) und wird daher auch lineares DGL System genannt. Entsprechend nennt man das System homogen, wenn <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="b(t)=0" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.696ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3401.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4843-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path id="MJX-4843-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 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transform="translate(1179,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-4843-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1845.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-4843-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2901.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-4843-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container>, also wenn das DGL System so aussieht: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x^{\prime}=A(t) x" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.507ex" height="2.283ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 4644 1009" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4844-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 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<p>Die Lösung solcher DGL-Systeme ist eine stetig differenzierbare Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4845-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-4845-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> mit den Komponentenfunktionen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x_1, \cdots ,x_n" style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.764ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 4315.8 636" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4846-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-4846-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-4846-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-4846-TEX-N-22EF" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250ZM525 250Q525 274 542 292T585 310Q609 310 627 294T646 251Q646 226 629 208T586 190T543 207T525 250ZM972 250Q972 274 989 292T1032 310Q1056 310 1074 294T1093 251Q1093 226 1076 208T1033 190T990 207T972 250Z"></path><path id="MJX-4846-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-4846-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-4846-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1008.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-4846-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1453.2,0)"><use data-c="22EF" xlink:href="#MJX-4846-TEX-N-22EF"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2791.9,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-4846-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3236.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-4846-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-4846-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>. Die Menge der Lösungen, also die Komponenten <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x_1, \cdots ,x_n" style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.764ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 4315.8 636" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4847-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-4847-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-4847-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-4847-TEX-N-22EF" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250ZM525 250Q525 274 542 292T585 310Q609 310 627 294T646 251Q646 226 629 208T586 190T543 207T525 250ZM972 250Q972 274 989 292T1032 310Q1056 310 1074 294T1093 251Q1093 226 1076 208T1033 190T990 207T972 250Z"></path><path id="MJX-4847-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-4847-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-4847-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1008.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-4847-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1453.2,0)"><use data-c="22EF" xlink:href="#MJX-4847-TEX-N-22EF"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2791.9,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-4847-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3236.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-4847-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-4847-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> bilden eine Basis, die man auch <strong>Fundamentalsystem </strong>nennt. </p>


<div id=5f195d65582835c1f963389c class="mceNonEditable extraContainerHinweis"><div class="extraContainerHinweisHeader mceNonEditable"><div class="icon-merke"></div>Hinweis</div><div class="theoryExtraContent mceEditable"><p>DGL Systeme sind auch zum Lösen von Differentialgleichungen $n$-ter Ordnung sehr nützlich, weil sich jede Differentialgleichung höherer Ordnung auf ein DGL System zurückführen lässt. Das funktioniert ganz einfach folgendermaßen: </p>
<p>Wenn du eine DGL höherer Ordnung gegeben hast, sieht das so aus: \[x^{(n)}=f\left(t, x, x^{\prime}, \ldots, x^{(n-1)}\right)\] </p>
<p>Das kannst du in die oben eingeführte Form eines DGL Systems bringen, indem du schreibst: </p>
<p>\[x \rightarrow x_1\] \[x^{\prime} \rightarrow x_2\] \[x^{\prime \prime} \rightarrow x_3\] usw. </p>
</div></div>


<div id=5f195d65582835c1f963389c class="mceNonEditable extraContainerHinweis"><div class="extraContainerHinweisHeader mceNonEditable"><div class="icon-merke"></div>Hinweis</div><div class="theoryExtraContent mceEditable"><p>DGL Systeme sind auch zum Lösen von Differentialgleichungen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4848-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-4848-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></svg></mjx-container>-ter Ordnung sehr nützlich, weil sich jede Differentialgleichung höherer Ordnung auf ein DGL System zurückführen lässt. Das funktioniert ganz einfach folgendermaßen: </p>
<p>Wenn du eine DGL höherer Ordnung gegeben hast, sieht das so aus: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="x^{(n)}=f\left(t, x, x^{\prime}, \ldots, x^{(n-1)}\right)" style="vertical-align: -1.469ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="27.843ex" height="4.07ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1149.5 12306.5 1799" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4849-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-4849-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-4849-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-4849-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-4849-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-4849-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-4849-TEX-LO-28" d="M180 96T180 250T205 541T266 770T353 944T444 1069T527 1150H555Q561 1144 561 1141Q561 1137 545 1120T504 1072T447 995T386 878T330 721T288 513T272 251Q272 133 280 56Q293 -87 326 -209T399 -405T475 -531T536 -609T561 -640Q561 -643 555 -649H527Q483 -612 443 -568T353 -443T266 -270T205 -41Z"></path><path id="MJX-4849-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-4849-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-4849-TEX-V-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path><path id="MJX-4849-TEX-N-2026" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60ZM525 60Q525 84 542 102T585 120Q609 120 627 104T646 61Q646 36 629 18T586 0T543 17T525 60ZM972 60Q972 84 989 102T1032 120Q1056 120 1074 104T1093 61Q1093 36 1076 18T1033 0T990 17T972 60Z"></path><path id="MJX-4849-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-4849-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-4849-TEX-LO-29" d="M35 1138Q35 1150 51 1150H56H69Q113 1113 153 1069T243 944T330 771T391 541T416 250T391 -40T330 -270T243 -443T152 -568T69 -649H56Q43 -649 39 -647T35 -637Q65 -607 110 -548Q283 -316 316 56Q324 133 324 251Q324 368 316 445Q278 877 48 1123Q36 1137 35 1138Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-4849-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-4849-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-4849-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(989,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-4849-TEX-N-29"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1907.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-4849-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2962.9,0)"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-4849-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(3679.6,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-4849-TEX-LO-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(597,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-4849-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(958,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-4849-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1402.7,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-4849-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1974.7,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-4849-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2419.3,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-4849-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2032" xlink:href="#MJX-4849-TEX-V-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3268.8,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-4849-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3713.5,0)"><use data-c="2026" xlink:href="#MJX-4849-TEX-N-2026"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5052.1,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-4849-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(5496.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-4849-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-4849-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-4849-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(989,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-4849-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1767,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-4849-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2267,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-4849-TEX-N-29"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8029.9,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-4849-TEX-LO-29"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> </p>
<p>Das kannst du in die oben eingeführte Form eines DGL Systems bringen, indem du schreibst: </p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="x \rightarrow x_1" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.095ex" height="1.495ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -511 3136.1 661" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4850-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-4850-TEX-N-2192" d="M56 237T56 250T70 270H835Q719 357 692 493Q692 494 692 496T691 499Q691 511 708 511H711Q720 511 723 510T729 506T732 497T735 481T743 456Q765 389 816 336T935 261Q944 258 944 250Q944 244 939 241T915 231T877 212Q836 186 806 152T761 85T740 35T732 4Q730 -6 727 -8T711 -11Q691 -11 691 0Q691 7 696 25Q728 151 835 230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-4850-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-4850-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="2192" xlink:href="#MJX-4850-TEX-N-2192"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2127.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-4850-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-4850-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="x^{\prime} \rightarrow x_2" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.723ex" height="2.17ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -809 3413.6 959" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4851-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 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143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-4852-TEX-V-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path><path id="MJX-4852-TEX-N-2192" d="M56 237T56 250T70 270H835Q719 357 692 493Q692 494 692 496T691 499Q691 511 708 511H711Q720 511 723 510T729 506T732 497T735 481T743 456Q765 389 816 336T935 261Q944 258 944 250Q944 244 939 241T915 231T877 212Q836 186 806 152T761 85T740 35T732 4Q730 -6 727 -8T711 -11Q691 -11 691 0Q691 7 696 25Q728 151 835 230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-4852-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-4852-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2032" xlink:href="#MJX-4852-TEX-V-2032"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(275,0)"><use data-c="2032" xlink:href="#MJX-4852-TEX-V-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1321.7,0)"><use data-c="2192" xlink:href="#MJX-4852-TEX-N-2192"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2599.5,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-4852-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-4852-TEX-N-33"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> usw. </p>
</div></div>


<div id=5f195dda582835c1f96338d9 class="mceNonEditable extraContainerVorgehen"><div class="extraContainerVorgehenHeader mceNonEditable"><div class="icon-vorgehen"></div>Vorgehen</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Fundamentalsystem eines homogenen DGL Systems 1. Ordnung finden</h2>
<p>Gegeben sei ein DGL System mit diagonalisierbarer Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ in der Form \[x^{\prime}=A(t) x\]</p>
<p> </p>
<ol>
<li>Bestimme die Eigenwerte $\lambda_i$ der Matrix $A$ und ihre zugehörigen Eigenvektoren $\boldsymbol v_i$. <br /><br /></li>
<li>Setze die Eigenwerte und deren zugehörige Eigenvektoren in die Form \[x_i (t) = c_i \cdot e^{\lambda_i t} \cdot \boldsymbol v_i \] mit $c_i \in \mathbb{C}$ ein, wodurch du ein Fundamentalsystem (also Vektoren, die eine Basis bilden) erhältst. </li>
</ol>
<p> </p>
</div></div>
