(Matrix-) Normen berechnen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

<p>\begin{align*}</p>
<p>\|A\|_{1}&amp;=7 \\</p>
<p>\|A\|_{2}&amp;=5 \\</p>
<p>\|A\|_{\infty}&amp;=7</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\|A\|_{1}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.872ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2153.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10829-TEX-N-2225" d="M133 736Q138 750 153 750Q164 750 170 739Q172 735 172 250T170 -239Q164 -250 152 -250Q144 -250 138 -244L137 -243Q133 -241 133 -179T132 250Q132 731 133 736ZM329 739Q334 750 346 750Q353 750 361 744L362 743Q366 741 366 679T367 250T367 -178T362 -243L361 -244Q355 -250 347 -250Q335 -250 329 -239Q327 -235 327 250T329 739Z"></path><path id="MJX-10829-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-10829-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-10829-TEX-N-2225"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500, 0)"><use xlink:href="#MJX-10829-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1250, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-10829-TEX-N-2225"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(500, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-10829-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> folgt:</p>


<p>\begin{align*}\|A\|_{1}&amp;=\max _{i \in\{1,2,3\}} \sum_{j=1}^{3}\left|a_{j i}\right| \\</p>
<p>&amp;=\{3,3,7\} \\</p>
<p>&amp;=7\end{align*}</p>


<p>Für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\|A\|_{2}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.872ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2153.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10831-TEX-N-2225" d="M133 736Q138 750 153 750Q164 750 170 739Q172 735 172 250T170 -239Q164 -250 152 -250Q144 -250 138 -244L137 -243Q133 -241 133 -179T132 250Q132 731 133 736ZM329 739Q334 750 346 750Q353 750 361 744L362 743Q366 741 366 679T367 250T367 -178T362 -243L361 -244Q355 -250 347 -250Q335 -250 329 -239Q327 -235 327 250T329 739Z"></path><path id="MJX-10831-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-10831-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-10831-TEX-N-2225"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500, 0)"><use xlink:href="#MJX-10831-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1250, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-10831-TEX-N-2225"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(500, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-10831-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> ergibt sich:</p>


<p>Die 2-Norm berechnet man normalerweise über $\|A\|_{2}=\sqrt{\lambda_{\max }\left(A^{T} A\right)}$, da hier aber $A=A^T$ ist folgt $\|A\|_{2}=\max \{|\lambda |\}.$ Dabei ist $\lambda$ der Eigenwert von $A$.</p>


<p>Berechne also den Eigenwert über das charakteristische Polynom:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\chi_{A}(\lambda)&amp;=\left|\begin{array}{ccc}<br />-\lambda &amp; -1 &amp; -2 \\<br />-1 &amp; -\lambda &amp; -2 \\<br />-2 &amp; -2 &amp; -3-\lambda<br />\end{array}\right| \\ \\</p>
<p>&amp;=\left|\begin{array}{cccc}<br />-\lambda &amp; -1 &amp; -2 \\<br />-1+\lambda &amp; -\lambda+1 &amp; 0 \\<br />-2 &amp; -2 &amp; -3-\lambda<br />\end{array}\right| \\ \\</p>
<p>&amp;=\left|\begin{array}{ccc}<br />-\lambda-1 &amp; -1 &amp; -2 \\<br />0 &amp; -\lambda+1 &amp; 0 \\<br />-4 &amp; -2 &amp; -3-\lambda<br />\end{array}\right| \\ \\</p>
<p>&amp;=(1-\lambda)((\lambda+1)(\lambda+3)-8) \\</p>
<p>&amp;=(1-\lambda)\left(\lambda^{2}+4 \lambda-5\right) \\</p>
<p>&amp;=-(1-\lambda)^{2}(\lambda+5)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\Rightarrow \; \lambda_{1}&amp;=\lambda_{2}=1 \\</p>
<p>\Rightarrow \; \lambda_{3}&amp;=-5</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}\Rightarrow\|A\|_{2}=5\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\|A\|_{\infty}&amp;=\max _{j \in\{1,2,3\}} \sum_{i=1}^{3}\left|a_{j i}\right| \\</p>
<p>&amp;=\{3,3,7\} \\</p>
<p>&amp;=7</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Bestimme die 3 induzierten Matrixnormen $\|A\|_{1},\|A\|_{2}$ und $\|A\|_{\infty}$ für die Matrix:</p>
<p>\begin{align*}A=\left(\begin{array}{ccc}<br />0 &amp; -1 &amp; -2 \\<br />-1 &amp; 0 &amp; -2 \\<br />-2 &amp; -2 &amp; -3<br />\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\end{align*}</p>

<p>Bestimme die 3 induzierten Matrixnormen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\|A\|_{1},\|A\|_{2}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.751ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4751.8 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10826-TEX-N-2225" d="M133 736Q138 750 153 750Q164 750 170 739Q172 735 172 250T170 -239Q164 -250 152 -250Q144 -250 138 -244L137 -243Q133 -241 133 -179T132 250Q132 731 133 736ZM329 739Q334 750 346 750Q353 750 361 744L362 743Q366 741 366 679T367 250T367 -178T362 -243L361 -244Q355 -250 347 -250Q335 -250 329 -239Q327 -235 327 250T329 739Z"></path><path id="MJX-10826-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-10826-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-10826-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-10826-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: (Matrix-) Normen berechnen mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Normen - (Matrix-) Normen berechnen | Aufgabe mit Lösung

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