QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Cholesky Zerlegung

Singulärwertzerlegung

LR-Zerlegung

LR - Zerlegung

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>Die Lösung des Gleichungssystems ergibt: $x=(-1,0,2,-3)^{T}$ </p>

<p>Die Lösung des Gleichungssystems ergibt: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x=(-1,0,2,-3)^{T}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="18.374ex" height="2.47ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -841.7 8121.4 1091.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10965-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-10965-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-10965-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-10965-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-10965-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-10965-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-10965-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-10965-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-10965-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-10965-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-10965-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10965-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-10965-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1905.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-10965-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2294.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-10965-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3072.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-10965-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3572.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-10965-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4017.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-10965-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4517.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-10965-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4961.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-10965-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5461.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-10965-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5906.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-10965-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6684.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-10965-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(7184.6, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-10965-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10965-TEX-I-1D447"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> </p>

<p>Zeilenstufenform mit "überschriebenen" Einträgen berechnen:</p>


<p>\begin{align*}\left(\begin{array}{cccc}<br />2 &amp; 1 &amp; 2 &amp; -2 \\<br />4 &amp; 7 &amp; 3 &amp; -2 \\<br />0 &amp; 5 &amp; -4 &amp; 3 \\<br />-2 &amp; 14 &amp; 1 &amp; 8<br />\end{array}\right) \\\\</p>
<p>\rightarrow\left(\begin{array}{cccc}<br />2 &amp; 1 &amp; 2 &amp; -2 \\<br />\color{red}{2} &amp; 5 &amp; -1 &amp; 2 \\<br />\color{red}{0} &amp; 5 &amp; -4 &amp; 3 \\<br />\color{red}{-1} &amp; 15 &amp; 3 &amp; 6<br />\end{array}\right)\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}\rightarrow\left(\begin{array}{cccc}<br />2 &amp; 1 &amp; 2 &amp; -2 \\<br />\color{red}{2} &amp; 5 &amp; -1 &amp; 2 \\<br />\color{red}{0} &amp; \color{red}{1} &amp; -3 &amp; 1 \\<br />\color{red}{-1} &amp; \color{red}{3} &amp; 6 &amp; 0<br />\end{array}\right)\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}\rightarrow\left(\begin{array}{cccc}<br />2 &amp; 1 &amp; 2 &amp; -2 \\<br />\color{red}{2} &amp; 5 &amp; -1 &amp; 2 \\<br />\color{red}{0} &amp; \color{red}{1} &amp; -3 &amp; 1 \\<br />\color{red}{-1} &amp; \color{red}{3} &amp; \color{red}{-2} &amp; 2<br />\end{array}\right)\end{align*}</p>


<p>Schreibe die ermittelte $L$ und $R$ Matrix auf, sodass gilt $A=L R:$</p>


<p>Schreibe die ermittelte <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="L" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.541ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 681 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10955-TEX-I-1D43F" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10955-TEX-I-1D43F"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="R" style="vertical-align: -0.048ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.593ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 704" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10956-TEX-I-1D445" d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10956-TEX-I-1D445"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Matrix auf, sodass gilt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A=L R:" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.229ex" height="1.805ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 4079.3 798" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10957-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-10957-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-10957-TEX-I-1D43F" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path id="MJX-10957-TEX-I-1D445" d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z"></path><path id="MJX-10957-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10957-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1027.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-10957-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2083.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-10957-TEX-I-1D43F"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2764.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-10957-TEX-I-1D445"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3801.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-10957-TEX-N-3A"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{align*}\Rightarrow L=\left(\begin{array}{cccc}<br />1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\<br />\color{red}{2} &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\<br />\color{red}{0} &amp; \color{red}{1} &amp; 1 &amp; 0 \\<br />\color{red}{-1} &amp; \color{red}{3} &amp; \color{red}{-2} &amp; 1<br />\end{array}\right), \quad R=\left(\begin{array}{cccc}<br />2 &amp; 1 &amp; 2 &amp; -2 \\<br />0 &amp; 5 &amp; -1 &amp; 2 \\<br />0 &amp; 0 &amp; -3 &amp; 1 \\<br />0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 2<br />\end{array}\right)\end{align*}</p>


<p>Löse $L \cdot y=b$ durch Vorwärtseinsetzen, um $y$ zu erhalten:</p>


<p>Löse <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="L \cdot y=b" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.271ex" height="2.034ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 3656 899" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10959-TEX-I-1D43F" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path id="MJX-10959-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-10959-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-10959-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-10959-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10959-TEX-I-1D43F"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(903.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-10959-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1403.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-10959-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2171.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-10959-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3227, 0)"><use xlink:href="#MJX-10959-TEX-I-1D44F"></use></g></g></g></svg></mjx-container> durch Vorwärtseinsetzen, um <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10960-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10960-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></mjx-container> zu erhalten:</p>


<p>\begin{align*}(L \mid b)=\left(\begin{array}{cccc|c}<br />1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 8 \\<br />2 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 8 \\<br />0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 0 &amp; -17 \\<br />-1 &amp; 3 &amp; -2 &amp; 1 &amp; -20<br />\end{array}\right) \Rightarrow \ \begin{array}{l}<br />y_{1}=8 \\<br />y_{2}=8-2 y_{1}=-8 \\<br />y_{3}=-17-y_{2}=-9 \\<br />y_{4}=-20+y_{1}-3 y_{2}+2 y_{3}=-6<br />\end{array}\end{align*}</p>


<p>Löse $R x=y$ durch Rückwärtseinsetzen, um $x$ zu erhalten:</p>


<p>Löse <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="R x=y" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.137ex" height="2.009ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 3154.6 888" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10962-TEX-I-1D445" d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z"></path><path id="MJX-10962-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-10962-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-10962-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10962-TEX-I-1D445"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(759, 0)"><use xlink:href="#MJX-10962-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1608.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-10962-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2664.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-10962-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></mjx-container> durch Rückwärtseinsetzen, um <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10963-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10963-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> zu erhalten:</p>


<p>\begin{align*}(R \mid y)=\left(\begin{array}{cccc|c}<br />2 &amp; 1 &amp; 2 &amp; -2 &amp; 8 \\<br />0 &amp; 5 &amp; -1 &amp; 2 &amp; -8 \\<br />0 &amp; 0 &amp; -3 &amp; 1 &amp; -9 \\<br />0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 2 &amp; -6<br />\end{array}\right) \Rightarrow \ \begin{array}{l}<br />x_{1}=\frac{1}{2}\left(8-x_{2}-2 x_{3}+2 x_{4}\right)=-1 \\<br />x_{2}=\frac{1}{5}\left(-8+x_{3}-2 x_{4}\right)=0 \\<br />x_{3}=-\frac{1}{3}\left(-9-x_{4}\right)=2 \\<br />x_{4}=-3<br />\end{array}\end{align*}</p>

<p>Bestimme eine LR-Zerlegung der Matrix $A$ und löse anschließend das lineare Gleichungssystem $A x=b$ mit $b=(8,8,-17,-20)^{7}$ mit Hilfe der Zerlegung.</p>
<p> </p>
<p>\begin{align*}A=\left(\begin{array}{cccc}<br />2 &amp; 1 &amp; 2 &amp; -2 \\<br />4 &amp; 7 &amp; 3 &amp; -2 \\<br />0 &amp; 5 &amp; -4 &amp; 3 \\<br />-2 &amp; 14 &amp; 1 &amp; 8<br />\end{array}\right)\end{align*}</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: LR-Zerlegung mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Zerlegungen - LR-Zerlegung | Aufgabe mit Lösung

<p>$PA x=Pb \Leftrightarrow L(R x)=Pb$ (mit Zeilenvertauschung)</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="PA x=Pb \Leftrightarrow L(R x)=Pb" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="25.895ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 11445.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1081-TEX-I-1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z"></path><path id="MJX-1081-TEX-I-1D434" d="M208 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<p>$A x=b \Leftrightarrow L(R x)=b$ (ohne Zeilenvertauschung)</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A x=b \Leftrightarrow L(R x)=b" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="20.798ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 9192.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1080-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-1080-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 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<h2 class="content_sub_heading">LGS mit LR-Zerlegung lösen</h2>
<p>Gesucht ist die Lösung eines LGS $A x=b$. Gegeben ist eine $LR$-Zerlegung von $A$ mit $PA=LR$</p>
<ol>
<li>Falls eine Permutationsmatrix $P$ vorliegt so multipliziere sie mit dem Vektor $b$. Kurz: Führe alle während der Zerlegung durchgeführten Zeilenvertauschungen auch an $b$ durch.<br />$\quad \Rightarrow  Pb=\ldots$<br /><br /></li>
<li>Löse das lineare Gleichungssystem $Ly=Pb$ durch Vorwärtseinsetzen:<br />$\quad \Rightarrow y=\ldots$<br /><br /></li>
<li>Löse nun das lineare Gleichungssystem $Rx=y$ durch Rückwärtseinsetzen:<br />$\quad \Rightarrow x=\ldots$</li>
</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Bestimmung einer LR-Zerlegung</h2>
<p>Gegeben ist eine invertierbare Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n} .$ Man erhält Matrizen $L, R$ und $P$ mit $P A=L R$ wie folgt:</p>
<ol>
<li>Nutze den Gaußalgorithmus, um mit $a_{kk}$ $(k=1,\ldots,n)$ iterativ alle Einträge unterhalb von $a_{kk}$ (Diagonaleinträge) zu eleminieren. <br />Falls $a_{kk}=0$ sein sollte, so vertausche (permutiere) Zeilen deiner Matrix und merke dir diese Vertauschungen.<br /><br />
<ul>
<li>Starte mit $a_{11} \not = 0$ (Pivotelement): Ziehe Vielfache der ersten Zeile von den übrigen ab, sodass die Einträge der ersten Spalte zu Null werden.</li>
<li>Überschreibe die entstehenden Nullen mit:<br />$$l_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}, l_{31}=, \frac{a_{31}}{a_{11}}, \ldots, l_{n 1}=\frac{a_{n 1}}{a_{11}}$$<br />Wiederhole diese Schritte anschließend mit $a_{22}, a_{33}, \ldots, a_{nn}$<br /><br /></li>
</ul>
</li>
<li>Lies die gesuchte $L$ und $R$ Matrix ab. $L$ besteht dabei aus dem linken unteren Teil deiner gefundenen Matrix, ergänzt um Einsen auf der Diagonalen. $R$ besteht aus dem rechten oberen Teil inklusive der Diagonaleinträge.<br />
<p>\begin{align*}</p>
<p>L=\left(\begin{array}{rrrr}<br />1 &amp; &amp; &amp;  0 \\<br />\star &amp;  \ddots &amp; &amp; \\<br />\vdots &amp; \ddots &amp;  \ \ddots &amp;  \\<br />\star &amp; \cdots &amp; \star &amp;  1<br />\end{array}\right), \quad </p>
<p>R = \left(\begin{array}{cccc}<br />r_{11} &amp; \star &amp; \dots &amp; \star \\<br />&amp; \ddots &amp; \ddots &amp; \vdots \\<br />&amp; &amp; \ \ddots &amp; \star \\<br />0 &amp; &amp; &amp; r_{n n}</p>
<p>\end{array}\right)<br />\end{align*}<br /><br /></p>
</li>
<li>Falls du Zeilen getauscht hast, so musst du noch die Permutationsmatrix $P$ aufstellen. Schreibe dafür eine $n \times n$ Einheitsmatrix auf und führe alle unter 1) gemerkten Vertauschungen an ihr durch.</li>
</ol>


<p>Bei der <strong>Spaltenpivotisierung </strong>musst du vor der Elimination deine Zeilen tauschen, sodass immer die betragsmäßig größte Zahl dein Pivotelement bildet.</p>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: