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Aufgabenstellung:

Berechne den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius , dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt. Also das Integral:

 

  mit

 

Fertige eine Skizze an und rechne jeweils:

1.  mit kartesischen Koordinaten

2. mit Polarkoordinaten

Die Aufgabe soll verdeutlichen, welchen Vorteil Polarkoordinaten gegenüber kartesischen Koordinaten haben können.

Lösungsweg:

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Fertige eine Skizze an und trage die zur Berechnung relevanten Größen und Funktionen ein:

Skizze eines Kreises mit dem Mittelpunkt im Ursprung. Alle Funktionen und geometrischen Größen sind angetragen.

1. Lösung über kartesische Koordinaten:

Schreibe die Gleichung des Kreises so um, das du sie als Integralgrenzen nutzen kannst. (Nominalbereich)

Bilde das zu lösende Doppelintegral mit angetragenen Integralgrenzen:

Löse das Integral von innen nach außen:

Löse weiter über eine geeignete Substitution:

Es gilt für die Substitution:

Und somit weiter für das Integral:

Nutze das Additionstheorem

2. Lösung über kartesichen Koordinaten:

Führe Polarkoordinten ein:

und es gilt

Löse das umgeschriebene Integral:

Lösung: