Satz von Green

Satz von Stokes

Satz von Gauß

Mehrfachintegrale berechnen

Gebietsintegrale

Kurvenintegrale

Oberflächenintegrale und Fluss

Oberflächenintegral 1. Art

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

\begin{align*}
\int_{k} y \cdot e^{-x} d s =\left(\frac{\pi}{4}\right)^{2}-\frac{\ln 2}{2}+\frac{3 \pi}{4}
\end{align*}

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\int_{k} y \cdot e^{-x} d s =\left(\frac{\pi}{4}\right)^{2}-\frac{\ln 2}{2}+\frac{3 \pi}{4}
\end{align*}" style="vertical-align: -2.007ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="33.144ex" height="5.145ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1387.1 14649.8 2274.1" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11783-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-11783-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 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-183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-11783-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-11783-TEX-I-1D452" d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 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Bilde die Ableitungen der gegebenen Kurve und den Betrag der Ableitung. Nutze $(\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}$:

Bilde die Ableitungen der gegebenen Kurve und den Betrag der Ableitung. 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transform="translate(1648.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2037.5, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(1213.5, 676)"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -719.9)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1722.4, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(361, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><rect width="2687" 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0)"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2037.5, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(1213.5, 676)"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -719.9)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1722.4, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(361, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><rect width="2687" height="60" x="120" 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Für den Betrag gilt:
\begin{align*} \sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} &amp;=\sqrt{\frac{4 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}+\left(\frac{2}{1+t^{2}}-1\right)^{2}} \\
&amp;=\sqrt{\frac{4 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}+\frac{\left(2-1-t^{2}\right)^{2}}{1+t^{2}}} \\ &amp;=\frac{1}{1+t^{2}} \cdot \sqrt{4 t^{2}+1-2 t^{2}+t^{4}} \\
&amp;=\frac{1}{1+t^{2}} \cdot \sqrt{t^{4}+2 t^{2}+1} \\ &amp;=\frac{1}{1+t^{2}} \cdot \sqrt{\left(t^{2}+1\right)^{2}} \\
&amp;=1 \end{align*}

Stelle das gesuchte Integral auf und löse es:

\begin{align*}
\int_{k} y \cdot e^{-x} d s&amp;=\int_{0}^{1} \frac{2 \arctan t-t+3}{e^{\ln \left(1+t^{2}\right)}} \cdot 1 d t \\ &amp;=\int_{0}^{1} \frac{2 \arctan t-t+3}{1+t^{2}} d t \\ &amp;=\int_{0}^{1} \frac{2 \arctan t}{1+t^{2}} d t-\int_{0}^{1} \frac{t}{1+t^{2}} d t+\int_{0}^{1} \frac{3}{1+t^{2}} d t
\end{align*}

\begin{align*}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \ \ \ \ \;  &amp;=2 \cdot \int_{0}^{1} \arctan t \cdot(\arctan t)^{\prime} d t-\frac{1}{2} \cdot \ln \left(1+t^{2}\right)\bigg|_{0} ^{1}+3 \ \underbrace{ \arctan t \bigg|_{0} ^{1}}_{\pi / 4} \\
&amp;=2 \cdot \frac{1}{2} \cdot\left[\arctan ^{2} t\right]_{0}^{1}-\frac{\ln 2}{2}+3 \cdot \frac{\pi}{4} \\ &amp;=\left(\frac{\pi}{4}\right)^{2}-\frac{\ln 2}{2}+\frac{3 \pi}{4}
\end{align*}

In der vorletzten Zeile wurde folgender Trick verwendet: 
\begin{align*}f(t) \cdot f^{\prime}(t)&amp;=\frac{1}{2}\left(f^{2}(t)\right)^{\prime} \\
\Rightarrow \quad \int_{0}^{1} f(t) \cdot f^{\prime}(t) d t&amp;=\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{1}\left(f^{2}(t)\right)^{\prime} d t=\left.\frac{1}{2}\left(f^{2}(t)\right)\right|_{0} ^{1}\end{align*}

In der vorletzten Zeile wurde folgender Trick verwendet: 
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}f(t) \cdot f^{\prime}(t)&=\frac{1}{2}\left(f^{2}(t)\right)^{\prime} \\
\Rightarrow \quad \int_{0}^{1} f(t) \cdot f^{\prime}(t) d t&=\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{1}\left(f^{2}(t)\right)^{\prime} d t=\left.\frac{1}{2}\left(f^{2}(t)\right)\right|_{0} ^{1}\end{align*}" style="vertical-align: -4.863ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="54.627ex" height="10.857ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2649.5 24145.3 4798.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11782-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 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Berechne das Kurvenintegral
 
$$\int_{k} y e^{-x} d s$$
 
Dabei ist $k$ ein Bogen der durch die folgende Kurve, mit $t$ zwischen $t=0$ und $t=1$, beschrieben wird:
 
\begin{align*}
x&amp;=\varphi(t):=\ln \left(1+t^{2}\right) \\
y&amp;=\psi(t):=2 \arctan t-t+3
\end{align*}

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Kurvenintegrale mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Vektoranalysis und Mehrfachintegrale - Kurvenintegrale | Aufgabe mit L

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: