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Aufgabenstellung:

Gegeben ist ein Kreiskegel der Höhe (siehe Skizze) und ein Vektorfeld .
Berechne:

  1. Den Fluss des Vektorfeldes durch den Mantel .
    Die Normale ist dabei nach außen gerichtet ist.

  2. Den Fluss durch den Deckel wobei die Normale nach oben gerichtet sei.

Skizze eines im Ursprung aufgestellten Kreiskegels mit einer höhe h

Für den Mantel bietet sich die Darstellung mit den Zylinderkoorinaten an.

Lösungsweg:

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1. Fluss durch Mantel:

hat die Darstellung und Grenzen (Aufgabenstellung):

Bilde , und deren Kreuzprodukt :

Stelle das Integral für auf und löse es:

2. Fluss durch den Deckel:

Der Fluss durch den Deckel wird über das folgende Integral bestimmt:

mit

Finde eine Darstellung für den Deckel :

Bestimme , und das Kreuzprodukt :

Stelle nun das Integral auf und löse es:

Lösung: